第二章一元二次方程导学案

八年级下数学第二章导学案及答案：
2.1一元二次方程（1）
【课前预习导学】
1. 的方程是一元一次方程,其中“一元”指的是 ；“一次”指的是 .若关于x的方程kx+b=0是一元一次方程，则一定有k . 2.已知两个数的和为8，积为12，求这两个数.如果设一个数为x，那么另一个数为 ，根据题意可列出方程 .
3.判断下列未知数的值是不是方程3x2=4-4x的解.
（1）x=1 （2）x=-2 （3）x=2 (4) x=
【课外资料导学】
人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢.古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了.
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛?冯塔纳（Niccolo Fontana）.冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一.由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思.后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳.
【课中生成导学】
1.关于x的方程ax2+bx+c=0.当a≠0时，是 方程；当a=0，且b≠0时，是 方程.
2.在将一个一元二次方程化为一般形式时，等号左边要按未知数从高次到低次排列，等号右边化为零.
3.要寻找一元二次方程的项或项的系数，一定要先把方程化为一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.要注意项或项的系数要包含它前面的符号.
得 分
【课堂测评导学】（共10分）
1．下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
（A） （B）
（C） (D)
2.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
3.若x=－1是方程x2－ax+5=0的解，则= .
4.把下列关于x的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数
项。
(1)5x2-2=-3x （2）(8-2x)(5-2x)=18
（3）
5.已知x2+3x+1的值为5，则代数式2x2 +6x－2的值为多少？
【课后拓展导学】
1.若关于x的方程（m－2）x2 + x + 1 =0是一元二次方程，则m的取值范
围是（ ）
(A)m≠2 (B)m＞0 (C)m≥0且m≠2 (D)m为任何实数
2.构造一个一元二次方程，要求：（1）一次项系数为零；（2）有一个根为.

【课前预习导学】
1.将下列各式分解因式：
（1）y2-3y= ；
(2)4x2-9= ；
（3）x2-2x+1= ；
(4)（3x-4）2-(4x-3)2= .
把一个多项式化为几个 的形式叫做因式分解.
2.若A·B=0,则 ；若y(y-3)=0,则 =0或 =0.
3.一元二次方程y2=3y的根是（ ）
(A)y=0 (B)y=3 (C)y1=0,y2=3 (D) y1=0,y2=-3
4.若x2=9,则x= ；若x2-16=0，则x= .
【课外资料导学】
约瑟夫问题与因式分解
有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64.敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀.最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？
这就是数学上有名的“约瑟夫问题”.给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了.剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码.按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？
答案解析：由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，……64.把它们全部用2除，得1，2，3，4，……32．这是第二圈重新编的号码。第二圈杀过之后，又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人.如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号.64＝2×2×2×2×2×2，它可以连续被2整除6次，是从1到64中质因数里2最多的数，因此，最后必然把64号剩下.从64＝2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫剩下来的.
【课中生成导学】
1.运用因式分解法解一元二次方程，关键在于把方程化为一般式后，将等号左边的多项式进行因式分解.等号左边的多项式常见类型有：
(1)用公式法因式分解.如:①a2-b2可分解为（a+b）(a-b)（a,b都是单项式）；
②A2-B2=(A+B)(A-B)(A,B是多项式，此时用到整体思想)；
③a2±2ab+b2可分解为（a±b）2；
(2)用提取公因式法因式分解.
2.解一元二次方程的基本思想：降次.即化二次为一次.
得 分
【课堂测评导学】（共10分）
1．方程x2-3x=0的解为__________．
2.方程x（x-1）=2的两根为（ ）
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
3. 用因式分解法解下列方程：
（1）x2+3x=0； （2）y2=4y；
（3）（n－2）（2n + 3）=0； （4）x（3x+2）+3（3x+2）=0
4. 已知关于x的方程2x2－kx +1 =0的一个解与方程的解相同.
求k的值；
【课后拓展导学】
小明打算用总长24cm的铁丝折出面积为32cm2的矩形，请你帮他分析一下能否做到？
2.2一元二次方程的解法（2）
【课前预习导学】
1.若一个数x的平方等于a,则这个数x就叫做a的 ；一个正数有 个平方根，它们互为 ；求一个数的平方根的运算叫做 .
2.填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+ =(x+6)2； (2)x2-4x+ =(x- )2；
（3）x2+8x+ =(x+ )2； (4)x2+7x+ =(x+ )2；
(5)x2-x+ =(x- )2；
3.方程x2-4=0的根是 .
4.已知，当y=2时,x= .
5.如果是一个完全平方式，则m的值为 .
【课外资料导学】
一元二次方程的解法由来（1）
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程.在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式.但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的.埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式.希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一.
【课中生成导学】
1.运用配方法解一元二次方程，关键在于配方.配方的对象是含有未知数的二次三项式.
2.用配方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）先把方程移项，得 ；
（2）方程两边同时加上 ，得
，
（3）若 0，就可以用开平方法求出方程的根.
3.在配方过程中，一定要牢记方程两边要同时加；同时配成完全平方式时要关注符号.
得 分
【课堂测评导学】（共10分）
1．（2011甘肃兰州中考）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2.一个数的平方与它的的平方的和等于90，则这个数是（ ）
A．9 B．9或6 C． D．
3. 用开平方法解下列方程：
（1）3x2=12 （2）
4. 用配方法解下列方程：
（1） （2）
（3）
【课后拓展导学】
说明多项式的值恒大于零.
2.2一元二次方程的解法（3）
【课前预习导学】
1.用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2.请在横线上填上适当的数，使下列等式成立.
（1）x- )2+2；
(2) x+ )2.
3.若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为 .
4.用配方法解下列方程：
（1） （2）
【课外资料导学】
一元二次方程的解法由来（2）
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为1的一个求根公式.在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数.把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法.阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识.十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根.韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系.我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的.我国数学家还在方程的研究中应用了内插法.
【课中生成导学】
当一元二次方程的二次项系数不为1时，用配方法解的一般步骤：
一除：即方程两边同除以二次项系数，目的是化二次项系数为1；
二移：将常数项移到等号右边；
三配：等式两边同时加上 ，目的是将等式左边配成完全平方式；
四开：用直接开平方法将二次方程转化为一次方程；
五解：求解一次方程.
得 分
【课堂测评导学】（共10分）
1．填空：x2-x+_____=（x- ）2
2．已知方程x2－6x+q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x+q=2可以配方成下列的（ ）
A．（x－p）2=5 B.（x－p）2=9
C.（x－p+2）2=9 D.（x－p+2）2=5
3．用配方法解下列方程：
（1）x2-2x-1=0 （2）0.1x2-x-0.2=0
4．已知y=2x2+7x-1．当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？
【课后拓展导学】
不论x，y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）．
A．总不小于2 B.总不小于7 C.为任意实数 D.为负数
2.2一元二次方程的解法（4）
【课前预习导学】
1.解方程较简便的解法是（ ）
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．都一样
2.一元二次方程的一般形式为 ；把方程化为一般形式是 ；其中a= ,b= ,c= , = .
3.用配方法解下列方程:(p,q为常数，且).
【课外资料导学】
一元二次方程求根公式的历史
一元二次方程的求根公式──历史上著名的探讨王学功编译古代的数学家们曾使用了多种方法求解一元二次方程．古希腊人善长于应用几何方法求解，印度人和阿拉伯人曾用过一种类似现今＂完全平方＂的步骤并借用修辞学的表现手法详细地描述了解答过程．他们考虑了方程的各种不同的类型，如ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０，ｘ２－ｐｘ＝ｑ和ｘ２＋ｑ＝ｐｘ等．所不同的是，我们今天可以把它们写成统一的形式十六世纪开始出现了近代数学符号．卡当和基拉德提出了负根和成对虚根的可能性．根据笛卡尔的负数的几何意义和高斯等人创立的复数的几何意义，这些数可以成为二次方程的根．
【课中生成导学】
1.对于一元二次方程.当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 0时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程没有实数根；反之也成立.
2.解一元二次方程一般有四种方法 、 、 和
.要选哪一种方法来解一元二次方程，应该根据方程本身的特征作出选择.
得 分
【课堂测评导学】（共10分）
1．的求根公式为x= .
2．中，c= ；= .
3．一元二次方程，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（ ）
A． B.
C. D.
4．用公式法解下列方程：
（1） （2）
5．选择恰当的方法解下列方程：
（1） （2）
【课后拓展导学】
（2011江苏苏州中考）下列四个结论中，正确的是（ ）
A.方程x＋=－2有两个不相等的实数根
B.方程x＋=1有两个不相等的实数根
C.方程x＋=2有两个不相等的实数根
D.方程x＋=a（其中a为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根
2.3一元二次方程的应用（1）
【课前预习导学】
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
2．要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是528cm3的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？
设长方体的宽为xcm，则长为 cm，底面积为 cm2.
由题意，可列出方程 .
3．某种手表，原来每只售价960元.现商场决定降价销售，若每只下降的百分率为x，则降价后的售价为 ；若以同样的百分率连续降价两次，则售价为 .
【课外资料导学】
列方程的技巧——语言的翻译
代数的语言就是方程.牛顿在《普遍的算术》一书里写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题时，只要把题目中的日常语言翻译成代数的语言就行了”.列方程的诀窍就是这里的翻译技巧.
方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用.中国古代对方程就有研究.在《九章算术》中载有“方程”一章，距今已近2000年，书中方程是指多元联立一次方程组.13世纪秦九韶首创正负开方术，即一元高次方程的数值解法.在西方，英国W.G.霍纳于1819年才发现类似的近似方法.14世纪朱世杰对含有四个未知数的高次联立方程组的研究已达到了很高的水平.
【课中生成导学】
1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤同列一元一次方程解应用题；解题的关键在于找出题目中的 .
2.常见的几种应用题类型及相应的等量关系：
应用题类型
等量关系
增长率问题
利润问题
总利润=单利润×数量 单利润=售价-进价
得 分
【课堂测评导学】（共10分）
1．某厂2010年的年产值是100万元，计划2012年产值达到144万元.设年平均增长率为x，则可得到关于x的方程 .
2．小张买了10本练习本，店主给他八折（即标价的80℅）优惠，结果便宜了1.60元，则每本练习本的标价是（ ）
A．0.20元 B. 0.40元 C. 0.60元 D. 0.80元
3．某品牌彩电原价为每台3600元，经两次降价后，每台售价为2500元.如果每次降价的百分率都是x，根据题意可列出方程（ ）
A． B.
C. D.
4．（2011浙江义乌中考）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快
减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【课后拓展导学】
一个容器装满40升纯酒精倒出一部分后用水注满，再倒出与第一次同量的混合液后用水加满，此时容器内含纯酒精10升，求每次倒出的升数.
2.3一元二次方程的应用（2）
【课前预习导学】
1.有一张长40cm、宽25cm的长方形硬纸板，裁去角上四个边长为4cm的小正方形之后，折成一个无盖纸盒，那么这个无盖纸盒底面的长是 cm,宽是 cm.
若裁去角上四个边长为xcm的小正方形后，折成的无盖纸盒的底面长为 cm，宽为 cm.
2.一个立方体的表面积是384cm2,求这个立方体的棱长.设这个立方体的棱长为xcm，根据题意可列出方程 ，解这个方程得 .
3．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B.
C. D.
【课外资料导学】
一元二次方程的几何解法
对于一元二次方程，我国及其他国家的古代数学家都研究过几何解法.以为例，三国时期的数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图形，一方面使大正方形的面积是；另一方面，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此可得x=5.公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图形，一方面正方形的面积为，另一方面，它又等于35+1，据此同样可得x=5.
【课中生成导学】
1.用一元二次方程解决实际问题，先弄清题意，设好未知数，根据等量关系，列好方程，而后求解这个方程，并检验所得解是否符合题意，最后写出正确答案.
2.几种常见题型的等量关系：
（1）行程问题：路程=速度×时间 （2）工程问题：工作量=工作效率×工作时间
（3）购物问题：总价=单价×数量 （4）面积问题：长方形的面积=长×宽
得 分
【课堂测评导学】（共10分）
1．直角三角形斜边与它的一条直角边的比等于5:4，而另一条直角边的长等于15cm，则这个三角形的周长为 cm.
2．要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，设一直角边长为xcm，可列方程 .
3．从正方形铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积为48cm2,则原来的正方形铁片面积是（ ）
A．8cm2 B.36cm2 C.49cm2 D.64cm2
4．（2011江苏宿迁中考）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围
墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，求AB的长（可利用的围
墙长度超过6m）．
5．如图，甲船从O点出发，以40海里∕时的速度自南向北航行；此时乙船从位于O点
正东方向120海里的A处出发，以30海里∕时的速度自东向西航行．问经过多少时间，
两船相距100海里？
【课后拓展导学】
在矩形场地的中央修建一个正方形花坛，花坛四周的面积与花坛面积相等，如果场地的长比花坛的边长多6m，场地的宽比花坛的边长多4m,求矩形的长和宽.
2.4一元二次方程根与系数的关系
【课前预习导学】
1. 一元二次方程的一般形式是 . 当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 0时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程没有实数根.
2. 设分别是一元二次方程的两个根，请计算填表.
方 程
?x1
?x2
x1+x2?
x1x2?
?x2+3x-4=0
?
?
?
?
6x2+x-2=0?
?
?
?
?
2x2-3x?+1=0
?
?
?
?
【课外资料导学】 韦达定理的应用
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．它的应用主要包括以下几个方面：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数； 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值； 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值； 4.已知两数的和与积，求这两个数； 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 ； 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) .
【课中生成导学】
1. 一元二次方程根与系数的关系：如果是一元二次方程ax2+bx+c =0的两个根，那么= ?；= .根与系数的这种关系又称为韦达定理. 它的逆定理也是成立的，即当= ?，= ?时，那么是方程ax2+bx+c =0的两根.
2. 有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.
得 分
【课堂测评导学】（共10分）
设分别是一元二次方程的根，填空：
（1）x2-7x-2 =0. = ?，= ?.
（2）5x2+3x-1 =0. = ?，= ?.
（3）25x2-5 =0. = ?，= ?.
（4）2x2-5x =2. = ?，= ?.
2. 已知方程x2+px+q=0的两个根为-2和4，则p=______，q=______.
3. 已知方程x2-bx+22=0的一根为，则另一根为_______，b=_________.
4. 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根是另一根的2倍，则a，b，c的关系应是（?? ）
A．?b2=8ac? B．4b2=3ac? C．2b2=9ac? D．3b2=5ac
5. k为何值时，方程x2-6x+k-1=0：（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.
【课后拓展导学】
已知，是方程的两个实数根，求的值.
2.1一元二次方程（1）
【课前预习导学】
1.只含一个未知数，且未知 数的最高次数是1次；一个未知数；未知数的最高次数是1次； k≠0 2. 8-x； x(8-x)=12 3.（1）不是（2）是（3）不是(4)是
【课中生成导学】1.一元二次；一元一次
【课堂测评导学】
1． D 2. a≠1 3. 4.(1) 一般形式5x2+3x-2=0； 二次项系数为5，一次项系数为
3，常数项为-2.（2）一般形式4x2-26x+22=0；二次项系数为4，一次项系数为-26，常数
项为22.（3）一般形式2x2+（1+）x-25=0；二次项系数为2，一次项系数为1+，常数项为-25. 5.解：由题意知x2+3x+1=5 则x2+3x=4 所以2x2 +6x－2=2(x2+3x)-2=2×4-2=6，故代数式2x2 +6x－2的值为6.
【课后拓展导学】
1. C 2.答案不唯一.如等
2.2一元二次方程的解法（1）
【课前预习导学】
1.（1） (2) （3）(4) ；整式的积
2.A=0或B=0；y；y-3 3. C 4.±3；±4
【课堂测评导学】
1． 2. D 3.（1） （2）
（3） （4）
4.解方程得,把代入方程2x2－kx+1=0得k=3.
【课后拓展导学】
能做到.矩形相邻两边长分别为8厘米和4厘米.
2.2一元二次方程的解法（2）
【课前预习导学】
1.平方根；正、负两；相反数；开平方 2.（1）36 (2)4；2 （3）16；4 (4) (5) 3. 4. 3或-1
5.±8
【课中生成导学】
2.（1）（2）；；（3）
【课堂测评导学】
1． C 2. C 3.（1） （2）
4.（1） （2）（3）
【课后拓展导学】
因为
≥0，≥0，所以的值恒大于零.
2.2一元二次方程的解法（3）
【课前预习导学】
1. C 2.（1）1 (2)2 3. 4.（1）（2）
【课中生成导学】
一次项系数的一半的平方
【课堂测评导学】
1． 2．B 3．（1）
（2） 4．当x为或-2时，y的值与4x+1的值相等
【课后拓展导学】
A
2.2一元二次方程的解法（4）
【课前预习导学】
1. B 2. ；；2；-5；3；1
3.
【课中生成导学】
1.﹥；=；﹤ 2.因式分解法；开平方法；配方法；公式法
【课堂测评导学】
1． 2．-2；25 3．B
4．（1）（2）
5．（1）（2）
【课后拓展导学】
D
2.3一元二次方程的应用（1）
【课前预习导学】
1.审、设、列、解、验、答 2．（x+5）；x(x+5)；8x(x+5)=528 3．
【课中生成导学】
1.等量关系
【课堂测评导学】
1． 2．D. 3．B
4．（1）2x ；（50－x）（2）由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100 化简得：x2－35x+300=0
解得：x1=15， x2=20 ∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. ∴x=20
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.
【课后拓展导学】
解：设每次倒出x升，由题意得 解得（不合题意，舍去） 答：每次倒出20升.

2.3一元二次方程的应用（2）
【课前预习导学】
1.32；17；（40-2x）；（25-2x） 2. ；8 3．C
【课堂测评导学】
1．60 2． 3．D 4．1m
5．经过小时或2小时，两船相距100海里.
【课后拓展导学】
矩形的长为18m,宽为16m.
2.4一元二次方程根与系数的关系
【课前预习导学】
1. ax2+bx+c =0(a≠0) ＞ = ＜ 2．-4， 1 ，-3，-4；，，，；1，，，
【课堂测评导学】
1.（1）7，-2 （2）， （3）0， （4），-1 2．-2，-8
3． ,10 4. C 5.(1)k=10 (2)k=1 (3)k=2
【课后拓展导学】0