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面积专题
2.3 一元二次方程的应用
21世纪教育网总部门口建造一个面积为20平方米，长比宽多 1 米的长方形喷泉，问它的宽是多少？
解：
设这个喷泉的宽为x米，
x
则长为（x+1）米，
x+1
根据题意得：
x ( x+1) = 20
即 x 2 + x - 20 = 0
x + x - 20 = 0
2
观察方程
③等号两边都是整式
①只含有一个未知数
②未知数的最高次数是2次
这样的方程叫
一元二次方程
特征如下：
有何特征？
(1) 2x = y 2 - 1
(3) x 2- - 3 = 0
2
x
(4) 3z2+1 = z (2z2 - 1)
(5) x 2 = 0
结论：以上方程中(2)、(5)、(6)是一元二次方程
(6) ( x + 2) 2 = 4
请判断下列方程是否为一元二次方程：
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为以下形式
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
2
1
-3
1
1
-1
-7
1
0
3
0
-6
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。
请填写下表:
解决问题：
21世纪教育网总部门口建造一个面积为20平方米，长比宽多 1 米的长方形喷泉，问它的宽是多少？
解：
设这个喷泉的宽为x米，
x
则长为（x+1）米，
x+1
根据题意得：
x ( x+1) = 20
即 x 2 + x - 20 = 0
解得:
答:这个长方形的喷泉的宽为4米。
经检验， 不符合题意，舍去。
一元二次方程的解法
1.因式分解法。
2.开平方法。
3.配方法。
4.公式法
1.把二次项,一次项移到等号左边,常数项移到等号右边。
2.两边同加上一次项系数一半的平方。
在21世纪教育网总部主办公楼后一块长32米,宽20米的长方形空地上,计划修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，请你在这块空地上设计一个方案, 要求草坪面积为540m2，并求出方案中道路的宽为多少米？
20
32
分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下
答：道路宽为2米。
32
20
解：设道路的宽为 米，根据题意得，
化简，得
解得 1＝2， 2＝50
要求草坪面积为540平方米，并求出方案中道路的宽为多少米？
经检验， 不符合题意，舍去。
32
20
答：道路宽为1米。
解：设道路宽为x 米,则草坪的长为
解得
X
X
X
X
(32-2x)米，宽为（20-2x) 米，根据题意得：
要求草坪面积为540平方米，并求出方案中道路的宽为多少米？
经检验， 不符合题意，舍去。
问题: 从2012年初到现在,木材的价格提高了44% ,若每一年比前一年提高的这个百分比相同,求这个百分数
解：设这个百分数为X，根据题意得：
解得：
21世纪教育网为了丰富员工的业余生活，要建一个长方形的活动场，活动场的一边靠墙,另三边用长40米的木栏围成。到木材店买木材,老板说只要我们能帮他解决一个问题,他就给我们打个折。
答：这个百分比为20%
经检验， 不符合题意，舍去。
长方形的活动基地，基地的一边靠墙，另三边用长度为40米的木栏围成。
（1）要使基地的面积达到150平方米，则这个长方形基地的两边长分别为多少？
X
X
40-2X
解：设长方形的一边为X米，则另一边为（40-2X）米，根据题意得：
经检验， 都符合题意。
解得：
答：长方形基地的两边分别为5米，30米或15米，10米。
长方形的活动基地，基地的一边靠墙，另三边用长度为40m的木栏围成。
（2）基地的面积能达到250平方米吗？为什么？（通过计算说明）
X
X
40-2X
解：设长方形的一边为X米，则另一边为（40-2X）米，根据题意得：
化简得：
所以方程无实数根,即长方形基地的面积不能达到250。
长方形的活动基地，基地的一边靠墙，另三边用长为40m的木栏围成。
（3）基地的面积最大能达到多少平方米？
X
X
40-2X
解：设长方形的一边为X米，则另一边为（40-2X）米，根据题意得：
原式=
所以当X=10米时，长方形的最大面积为200平方米。
？
小结：
这节课你有哪些收获？
作业：作业本
1.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是_________ ,它的二次项系数是_____,一次项是_____,
2.已知方程 的一个根是- 1，则k= , 另一根为______
2y2-6y+4=0
2
-6y
4
x=-32.3 一元二次方程的应用---面积专题
1.某中学准备建一个面积为375cm2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程………………………………………………（ ）
A. x(x－10)=375 B. x(x+10)=375 C. 2x(2x－10)=375 D. 2x(2x+10)=375
2. 从一块正方形的铁片上剪掉2cm宽的长方形铁片, 剩下的面积是48cm2, 则原来铁片的面积为………………………………………………………………………（ ）
A. 64cm2 B. 100cm2 C. 121cm2 D. 144cm2
3. 直角三角形的斜边长为8, 周长为18, 若设一条直角边长为x, 则可得方程 .
4.如图, 已知A, B, C, D为长方形的四个顶点, AB=16cm, AD=6cm, 动点P, Q分别从点A,C同时出发, 点P以3cm/s的速度向点B移动, 一直到点B为止, 点Q以2cm/s的速度向点D移动.
(1) P, Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33cm2
(2) P, Q两点从出发开始几秒时, 点P和点Q间的距离是10cm
5. 第4题中, P, Q两点从出发开始几秒时, 点P, Q, D组成的三角形是等腰三角形 (精确到0.1s)
6.如图，要建一个面积为130平方米的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板.
(1) 求养鸡场的长和宽各是多少？
(2) 利用所给的木板，按上述条件建一个面积超过130平方米的养鸡场可行吗？如果行，请设计出两个方案.
7. (1) 将例3中的条件“墙长16米”改为“墙长a米”，例3中的问题(1)又将如何解答？
(2) 由于养鸡场的需要，准备在原条件不变的情况下，把鸡场改成如图所示，面积为96平方米的两个鸡舍（门宽都是1米），你还能求出鸡场的长与宽吗？
参考答案
1.某中学准备建一个面积为375cm2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程………………………………………………（ ）
A. x(x－10)=375 B. x(x+10)=375 C. 2x(2x－10)=375 D. 2x(2x+10)=375
答案：A
2. 从一块正方形的铁片上剪掉2cm宽的长方形铁片, 剩下的面积是48cm2, 则原来铁片的面积为………………………………………………………………………（ ）
A. 64cm2 B. 100cm2 C. 121cm2 D. 144cm2
答案：A
3. 直角三角形的斜边长为8, 周长为18, 若设一条直角边长为x, 则可得方程 .
答案：x2+(18－8－x)2=82
4.如图, 已知A, B, C, D为长方形的四个顶点, AB=16cm, AD=6cm, 动点P, Q分别从点A,C同时出发, 点P以3cm/s的速度向点B移动, 一直到点B为止, 点Q以2cm/s的速度向点D移动.
(1) P, Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33cm2
(2) P, Q两点从出发开始几秒时, 点P和点Q间的距离是10cm
【解】设P, Q两点同时出发的时间为ts, 得
6.如图，要建一个面积为130平方米的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板.
(1) 求养鸡场的长和宽各是多少？
(2) 利用所给的木板，按上述条件建一个面积超过130平方米的养鸡场可行吗？如果行，请设计出两个方案.
【分析】(1) 设未知数时，图中哪一条边是长，哪一条是宽没有确定，故只有根据边与墙的位置关系来设定未知数；(2)用配方法来求面积的最大值，由此来判断方案的可行性.
【解】 (1) 设与墙垂直的一边为x米，则另一边长为(32+1－2x)米，由题意得
x(32+1－2x)=130，解得x1=10，x2=6.5.
当x=10时，33－2x=13<16；
当x=6.5时，33－2x=20>16.
∴养鸡场的长和宽分别为13米和10米.
(2) 养鸡场的面积S= x(32+1－2x)=－2x2+33x=－2(x2x)=－2(x)2+
∴S的最大值为>130.
∴可以建一个比130平方米更大的养鸡场. 如长为16米，宽为8.5米的养鸡场；又如长为15米，宽为9米的养鸡场.
7. (1) 将例3中的条件“墙长16米”改为“墙长a米”，例3中的问题(1)又将如何解答？
(2) 由于养鸡场的需要，准备在原条件不变的情况下，把鸡场改成如图所示，面积为96平方米的两个鸡舍（门宽都是1米），你还能求出鸡场的长与宽吗？
【分析】(1) 要结合实际背景，不要因为方程的根是正数，就以为它符合题意；(2) 问题虽然发生了变化，但其解题思想与解题方法没变.
【解】(1) 由例3中问题(1)的解答过程可知：
当a≥20时，有两种方案：长20米，宽6.5米；长13米，宽10米.
当13≤a≤20时，有一种方案：长13米，宽10米.
当0
(2) x(32+2－3x)=96，解得x1=6，x2=.
当x=6时，34－3x=16=16；当x=时，34－3x=20>16.
∴养鸡场的长和宽分别为16米和6米.
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