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专题1-1 二次根式
模块一：知识清单
1.二次根式：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；
注意：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江台州·八年级校联考期中）下列的式子中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件挨个判断即可
【详解】二次根式有意义的条件是根号内的数为非负数
A选项：，-1是负数，无意义，不是二次根式
B选项：，是负数，无意义，不是二次根式
C选项：，是三次根式，不是二次根式 D选项：正确 故答案为：D
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，注意有意义的条件是根号内的数为非负数
2．（2022春·浙江·八年级期末）下列判断正确的是（ ）
A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式
C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，如=2，故此选项错误；
B、一定是二次根式，故此选项正确；
C、不一定是二次根式，如a=0，故此选项错误；
D、二次根式的值不一定是无理数，如=2，故此选项错误；故选B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）以下二次根式中，未知数取任意实数都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件,逐项分析计算得出答案．
【详解】A.当时，，二次根式无意义，A选项不符合题意；
B.当时，，二次根式无意义，B选项不符合题意；
C.当 时，，二次根式无意义，C选项不符合题意；
D.在实数范围内，，，D选项符合题意．故选：D
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，注意题干中“任意实数都有意义”，掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
4．（2022春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．x为一切实数
【答案】A
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，解得：，故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．
5．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）当时，二次根式的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，故选：A
【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
6．（2022·浙江宁波·八年级校考阶段练习）下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）
A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=中，x取x≠-1的实数
C．y=中，x取x≥2的实数 D．y=中，x取x≥-3的实数
【答案】D
【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】解：A、中，取全体实数，此项正确；
B、，即，中，取的实数，此项正确；
C、，，中，取的实数，此项正确；
D、，且，，中，取的实数，此项错误；故选：D．
【点睛】本题考查函数自变量、分式和二次根式，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．
7．（2022春·浙江·八年级统考期末）若是二次根式，则x的值可以是（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．－3
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质性：被开方数不能为负数，即可选出答案。
【详解】A选项为非负数，符合题意。B、C、D都是负数，不符合题意。故选：A
【点睛】本题主要考查的是二次根式的性质，被开方数不能为负数。
8．（2022春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）已知，则x的值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】根据被开方数不能为负数，解不等式求得x的取值即可．
【详解】解：由5-x≥0，可得x≤5，由x-5≥0，可得x≥5，∴x=5，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握二次根式的定义是解题关键．
9．（2021春·浙江台州·八年级统考期中）要使代数式有意义，则（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．不存在
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵代数式有意义，∴m≥0，-m≥0，∴m=0，故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
10．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知a满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：由题意知：，解得：，∴ ，
∵，∴，得：，
∴ ，即．故选：D
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）当时，二次根式的值是______．
【答案】1
【分析】将x的值代入计算可得．
【详解】解：当x=0时，，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次根式求值，要懂得将x=0代入计算，能准确化简二次根式是关键．
12．（2021春·浙江温州·八年级校联考期中）若是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 _____（写出一个即可）．
【答案】12、11、8、3（写出一个即可）
【分析】先求出n的取值范围，根据是整数，找出符合条件的值即可．
【详解】解：∵12﹣n≥0，∴n≤12，
∵是整数，∴当12﹣n＝0时，n＝12；当12﹣n＝1时，n＝11；
当12﹣n＝4时，n＝8；当12﹣n＝9时，n＝3，故答案为：12、11、8、3（写出一个即可）．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数是非负数是解题的关键．
13．（2021秋·浙江·八年级期末）请写出一个当时有意义的二次根式_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵当x＞2时二次根式有意义，
则符合条件的二次根式可以为：，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，属开放性题目，答案不唯一．
14．（2021春·浙江·八年级期末）当x＝_______ 时，的值最小．
【答案】3
【分析】根据二次根式成立的条件即可求出答案．
【详解】解：∵有意义，∴
∴当，即时的值最小，最小值为0．故答案为：3．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
15．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为___________.
【答案】15
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可．
【详解】解：，，，解得：，，
若等腰三角形ABC的三边分别为，则，不能构成三角形；
若等腰三角形ABC的三边分别为，则此三角形周长为，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握基础知识点是解本题的关键．
16．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知，均为实数，，则的值为_________．
【答案】7
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，∴x=2，y=5，∴x+y=7．故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
17．（2021春·浙江·八年级期末）已知实数x满足则的值为____．
【答案】2016
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的范围，根据绝对值的性质求出x的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，x-2016≥0，解得，x≥2016，
则x-2015+=x，∴=2015，
解得x=20152+2016，则x-20152=2016，故答案为：2016．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
18．（2022·八年级课时练习）若满足关系+=+，则的值为 ．
【答案】21
【分析】由二次根式有意义的条件可求得x＋y＝19，则有＋＝0，再根据非负数的性质列式求出x，y，进而可求的值．
【详解】解：由题意得：x 19＋y≥0，19 x y≥0，
则x＋y≥19，x＋y≤19，∴x＋y＝19，
∴＋＝0，
则3x＋5y 2 m＝0①，2x＋3y m＝0②，
① ②得：x＋2y 2＝0，∵x＝19－y，∴y＝ 17，∴x＝36，
∴2×36＋3×（ 17） m＝0，∴m＝21．故答案为：21．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解二元一次方程组，解答的关键是由二次根式有意义的条件求出x＋y＝19．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·全国·八年级专题练习）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）x为任意实数；（2）x为任意实数；（3）；（4）
【分析】（1）根据平方的性质即可求解；（2）根据平方的性质即可求解；
（3）根据分式的性质即可求解；（4）根据分式的性质即可求解．
【详解】（1）∵＞0∴x为任意实数；
（2）∵≥0∴x为任意实数；
（3）依题意可得，∴；
（4）依题意可得∴．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知被开方数为非负数，分式的分母不为零．
20．（2023春·全国·八年级专题练习）下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式
，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0).
【答案】,(x>0),,-,(x≥0,y≥0)是二次根式；,,不是二次根式
【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定.
【详解】解:根据二次根式的概念可判定,是二次根式的有,(x>0),,-,(x≥0,y≥0),
,,.
【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开发数为非负数.
21．（2022秋·浙江·八年级专题练习）求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)且(3)且
【分析】（1）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得，由此即可得；
（2）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得且，由此即可得；
（3）根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性可得且，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
所以函数中自变量的取值范围为．
（2）解：由题意得：且，
解得且，
所以函数中自变量的取值范围为且．
（3）解：由题意得：且，
解得且，
所以函数中自变量的取值范围为且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围、分式、二次根式，熟练掌握分式的分母不能为0、二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
22．（2021秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
【答案】17
【分析】由二次根式有意义的条件可得，解不等式可得a的值，进而可得b的值，然后再分两种情况进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，解得：a=3，则b=7，
若c=a=3时，3+3＜7，不能构成三角形．若c=b=7，此时周长为17．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的性质，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
23．（2022秋·八年级单元测试）已知实数，，满足，求的值．
【答案】-40
【分析】根据绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质求出x、y、z，再代入即可求解；
【详解】解：原式配方得：，
∴x+11=0，2x-3y-2=0，z-2=0，则x=-11，y=-8，z=2，
．
【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质，实数的运算，掌握相关知识是解题的关键．
24．（2020春·浙江·八年级期中）已知x，y都是实数，且，求的平方根．
【答案】±4
【分析】由可得，进而可得，则有，代入可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，∴，∴的平方根为±4．
【点睛】本题主要考查平方根及根式的意义，熟练掌握平方根及根式的意义是解题的关键．
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专题1-1 二次根式
模块一：知识清单
1.二次根式：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；
注意：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江台州·八年级校联考期中）下列的式子中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·浙江·八年级期末）下列判断正确的是（ ）
A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式
C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数
3．（2023春·全国·八年级专题练习）以下二次根式中，未知数取任意实数都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．x为一切实数
5．（2022春·浙江温州·八年级统考期末）当时，二次根式的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
6．（2022·浙江宁波·八年级校考阶段练习）下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）
A．y=2x2中，x取全体实数 B．y=中，x取x≠-1的实数
C．y=中，x取x≥2的实数 D．y=中，x取x≥-3的实数
7．（2022春·浙江·八年级统考期末）若是二次根式，则x的值可以是（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．－3
8．（2022春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）已知，则x的值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
9．（2021春·浙江台州·八年级统考期中）要使代数式有意义，则（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．不存在
10．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知a满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）当时，二次根式的值是______．
12．（2021春·浙江温州·八年级校联考期中）若是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 _____（写出一个即可）．
13．（2021秋·浙江·八年级期末）请写出一个当时有意义的二次根式_______．
14．（2021春·浙江·八年级期末）当x＝_______ 时，的值最小．
15．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为___________.
16．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知，均为实数，，则的值为_________．
17．（2021春·浙江·八年级期末）已知实数x满足则的值为____．
18．（2022·八年级课时练习）若满足关系+=+，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·全国·八年级专题练习）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
20．（2023春·全国·八年级专题练习）下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式
，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0).
21．（2022秋·浙江·八年级专题练习）求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)；(2)；(3)．
22．（2021秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．
23．（2022秋·八年级单元测试）已知实数，，满足，求的值．
24．（2020春·浙江·八年级期中）已知x，y都是实数，且，求的平方根．
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