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专题1-2 二次根式的性质
模块一：知识清单
二次根式的性质
1）≥0，（≥0）； 2）（≥0）；3）.
注意：
1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可写成它的算术平方根的形式，即.
2）与要注意区别与联系：
（1)的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
（2)≥0时，==；<0时，无意义，=.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江金华·八年级统考阶段练习）下列四个等式：①；②；③；④其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】解：①，正确；②，原式错误；
③，正确；④，原式错误；正确的是①③，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2022·浙江·八年级阶段练习）已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
【答案】D
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的符号，然后再根据来确定、各自的符号，再去根式化简．
【详解】解：由题意：，即，
，，，所以原式，故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是根据已知条件确定出、的符号，以确保二次根式的双重非负性．
3．（2012春·浙江·八年级统考期中）若＝1﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质，化简得，，由已知，可得，，最后根据绝对值的性质，得到x的取值范围．
【详解】解：∵，，∴，
∴，解得，，故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，充分理解以上知识是解题的关键．
4．（2022春·浙江嘉兴·八年级期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是（ ）
A．﹣2a＋b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A
【分析】利用绝对值的意义和二次根式的性质化简运算即可．
【详解】解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可得：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴-a＞0，a-b＜0，∴原式=-a+（b-a）=-a+b-a=-2a+b，故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质，利用实数a，b在数轴上对应点的位置确定相关式子的符号是解题的关键．
5．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）若1≤x≤4，化简的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
【答案】B
【分析】由1≤x≤4，根据去绝对值符号法则及完全平方公式，即可解答．
【详解】解：，，，
故选：B．
【点睛】本题考查了去绝对值符号法则及完全平方公式，熟练掌握和运用去绝对值符号法则是解决本题的关键．
6．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由二次根式有意义，可知2﹣a≥0，从而可判断a﹣3＜0，化简后，相加，即可得出结果．
【详解】解：∵2﹣a≥0，∴a≤2，∴a-3＜0．
∴原式=（2﹣a）+（3-a）=5-2a．故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简．利用=a（a≥0）这一性质是解题的关键．
7．（2022春·浙江金华·八年级浙江省东阳市外国语学校校考阶段练习）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接利用数轴上点位置得出的取值范围，再利用二次根式以及绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，，
原式，故选：A．
【点睛】此题考查了数轴以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2022春·浙江·八年级期末）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长与3与4，则第三边的长是5；②；③若点在第三象限，则点在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（ ）
A．只有①错误，其他正确 B．①②错误，③④正确
C．①④错误，②④正确 D．只有④错误，其他正确
【答案】A
【分析】①应明确边长为4的边是直角边还是斜边；②隐含条件a≥0，根据二次根式的定义解答；③根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号，再判断出-a、-b的符号即可；④用“倍长中线法”可证明两个三角形全等．
【详解】解：①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4，则第三边的长是5；
②正确，隐含条件a≥0，根据二次根式的意义，等式成立；
③正确，若点P（a，b）在第三象限，则a＜0，b＜0；则-a＞0，-b＞0，点Q（-a，-b）在第一象限；
④正确，已知：如图，AB=A'B'，AC=A'C'，AD=A'D'，BD=CD，B'D'=C'D'，
求证：△ABC≌△A'B'C'；
证明：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，
∵∠BAD=∠E，∠ABD=∠ECD，
∵BD=CD，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=CE，AD=DE，
过点C'作C'E'∥A'B'交A'D'的延长线于E'，
同理：A'B'=C'E'，A'D'=D'E'，
∵AD=A'D'，AB=A'B'，
∴AE=A'E'，CE=C'E'，
∵AC=A'C'，
∴△ACE≌△A'C'E'（SSS），
∴∠CAE=∠C'A'E'，∠E=∠E'=∠BAD=∠B'A'D'，
∴∠BAC=∠B'A'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），
即：两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法．
9．（2021春·浙江杭州·八年级校联考期中）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：由题意可得：，∴
∴
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
10．（2022春·浙江杭州·八年级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式的结果为2a﹣1
B．的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
C．当的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
D．若，则字母a必须满足a≥1
【答案】B
【分析】首先将原式变形为a+，然后再根据=|a|，将原式变形为a+|a-1|，然后依据绝对值的性质分类化简即可得出结论．
【详解】解：＝|﹣1|＝．
当＞1时，＝+﹣1＝2﹣1，
当＝1时，＝+﹣1＝2﹣1＝1，
当＜1时，＝﹣+1＝1，因此
A．在＞1的条件下化简代数式= +| -1|=2﹣1，正确，故选项不符合题意；
B．= +| -1|= 的值随>1时增大而增大，当取何值时，代数式≥1 0.6，故选项符合题意；
C．当的值恒为定值时，字母的取值范围是≤1，正确，故选项不符合题意；
D．，由根式有意义-1≥0，则必须满足≥1，正确，选项不符合题意.
故选择：B．
【点睛】本题考查非负数的性质：二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件．掌握非负数的性质：二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）计算：________．
【答案】2
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：．故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
12．（2022春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）计算：＝_____．
【答案】##
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟知是解题的关键．
13．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）若实数a、b、c在数轴的位置如图所示，则化简________．
【答案】##
【分析】根据数轴上各点的位置判断出，的符号及与的符号，再进行计算．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，原式．故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简、实数与数轴，解题的关键是正确地根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
14．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知xy＜0，化简：＝_____．
【答案】
【分析】根据被开方数非负可得y＜0，进行化简即可．
【详解】解：∵xy＜0，∴x＜0 ，y＞0或者y＜0 ，x＞0，
∵被开方数≥0，x2＞0∴-y＜0，∴x＜0 ，y＞0，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
15．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）当x取______时，4﹣的值最大．
【答案】5
【分析】根据≥0，所以=0时，4﹣的值最大求解即可．
【详解】解：因为≥0，∴当最小时，此时4﹣的值最大，
当5﹣x＝0时，即x＝5时，4﹣的值最大，故答案为：5．
【点睛】本题考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性≥0（a≥0）是解题的关键．
16．（2021春·浙江杭州·八年级统考期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|﹣＝________．
【答案】3k﹣11
【分析】根据三角形的三边关系得出3＜k＜5，再根据|2k﹣5|﹣＝|2k﹣5|﹣|k﹣6|，进行化简即可．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，∴3＜k＜5，∴2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|﹣＝
=|2k﹣5|﹣|k﹣6|＝2k﹣5﹣（6﹣k）＝3k﹣11；故答案为：3k﹣11．
【点睛】此题考查了二次根式的性质和化简以及绝对值的化简，用到的知识点是三角形的三边关系，关键是根据三角形的三边关系求出k的取值范围．
17．（2022秋·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，∴，，，
∴，，，∴，，，∴，故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
18．（2021春·浙江·八年级期中）已知，当分别取1、2、3、…、2021时，所对应值的总和是_____．
【答案】2033
【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和．
【详解】解：∵
∴当x＜4时，，
即当x=1时，y=9-2=7；当x=2时，y=9-4=5；当x=3时，y=9-6=3；
当x≥4时，，
即当x分别取4，5，…，2021时，y的值均为1，
综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，
所对应的y值的总和是7+5+3+2018×1=2033，故答案为：2033．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2021春·浙江绍兴·八年级校考期中）当时，化简代数式．
【答案】1
【分析】根据二次根式的性质得出绝对值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，最后合并即可．
【详解】解：，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质解答．
21．（2020秋·浙江温州·八年级乐清市芙蓉镇中学校考阶段练习）实数，在数轴上对应点，的位置如图，化简．
【答案】
【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可．
【详解】解：由数轴得：，，，
，
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，二次根式的性质等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键．
21．（2022·八年级课时练习）计算：
.
【答案】
【分析】利用进行化简，然后根据二次根式的加减进行计算即可.
【详解】原式=
=
=.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
22．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）观察下列各式：
；；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：______；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整）表示的等式，并验证；
(3)利用上述规律计算．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案；
（2）由题意的规律即可用n表示该等式；
（3）根据（2）中的结论即可求出答案．
（1）
=；
故答案为：
（2）
.
验证：等式左边＝＝＝等式右边．
（3）
＝
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．
23．（2022秋·八年级课时练习）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
【答案】x＝7
【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．
【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得：
（﹣）×（+）＝m，
x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3，
∴+＝3，与原方程相加得：
（﹣）+（+）＝3＋1，
2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根．
【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题．
24．（2022秋·山东济南·八年级山东省济南实验初级中学校考阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m， ＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m=7，n=12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴＝＝＝
由上述例题的方法化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
（2）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
（3）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
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专题1-2 二次根式的性质
模块一：知识清单
二次根式的性质
1）≥0，（≥0）； 2）（≥0）；3）.
注意：
1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可写成它的算术平方根的形式，即.
2）与要注意区别与联系：
（1)的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
（2)≥0时，==；<0时，无意义，=.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江金华·八年级统考阶段练习）下列四个等式：①；②；③；④其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．（2022·浙江·八年级阶段练习）已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
3．（2012春·浙江·八年级统考期中）若＝1﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
4．（2022春·浙江嘉兴·八年级期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是（ ）
A．﹣2a＋b B．2a﹣b C．﹣b D．b
5．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）若1≤x≤4，化简的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
6．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
7．（2022春·浙江金华·八年级浙江省东阳市外国语学校校考阶段练习）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·浙江·八年级期末）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长与3与4，则第三边的长是5；②；③若点在第三象限，则点在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（ ）
A．只有①错误，其他正确 B．①②错误，③④正确
C．①④错误，②④正确 D．只有④错误，其他正确
9．（2021春·浙江杭州·八年级校联考期中）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·浙江杭州·八年级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式的结果为2a﹣1
B．的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
C．当的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
D．若，则字母a必须满足a≥1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）计算：________．
12．（2022春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）计算：＝_____．
13．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）若实数a、b、c在数轴的位置如图所示，则化简________．
14．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知xy＜0，化简：＝_____．
15．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）当x取______时，4﹣的值最大．
16．（2021春·浙江杭州·八年级统考期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|﹣＝________．
17．（2022秋·浙江·八年级期末）已知，则的值是________．
18．（2021春·浙江·八年级期中）已知，当分别取1、2、3、…、2021时，所对应值的总和是_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2021春·浙江绍兴·八年级校考期中）当时，化简代数式．
21．（2020秋·浙江温州·八年级乐清市芙蓉镇中学校考阶段练习）实数，在数轴上对应点，的位置如图，化简．
21．（2022·八年级课时练习）计算：
.
22．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）观察下列各式：
；；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：______；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整）表示的等式，并验证；
(3)利用上述规律计算．
23．（2022秋·八年级课时练习）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
24．（2022秋·山东济南·八年级山东省济南实验初级中学校考阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m， ＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m=7，n=12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴＝＝＝
由上述例题的方法化简：
(1)；(2)；(3)．
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