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专题1-3 二次根式的运算
模块一：知识清单
1.二次根式的乘法法则及逆用：；
2.二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.最简二次根：我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
4.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
5.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
6.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别计算即可．
【详解】解：A.．，计算错误，不合题意；
B.．，计算正确，符合题意；
C．，计算错误，不合题意；
D．，计算错误，不合题意，故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的减法、乘除法计算以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质:和运算法则是解题的关键．
2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义：①被开方数不含分数，②被开方数不含有可开方的因式，进行判断即可．
【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故答案为：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的概念．熟练掌握相关概念是解题的关键．
3．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）估计的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
【答案】C
【分析】先根据实数的混合运算化简，再估算的值即可．
【详解】＝=．
∵3＜＜4，∴7＜＜8
故的运算结果应在7和8之间．故选：C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
4．（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将每个选项进行化简为最简二次根式，再跟据化简的结果选出正确选项即可．
【详解】解：A、不能化简，故与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查化简二次根式，最简二次根式，以及同类二次根式的定义，能够熟练化简二次根式是解决本题的关键．
5．（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝2，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】首先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式进行解答．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝2，
∴由勾股定理得：BC2，
∴Rt△ABC的面积AC BC222．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积．注意：勾股定理应用于直角三角形中，所以在解题过程中，必须指明△ABC是直角三角形．
6．（2022春·浙江宁波·八年级校联考开学考试）若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝（ ）
A．2021 B．2023 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的定义得2023 m＝2，从而得到m的值．
【详解】解：根据题意得2023 m＝2，∴m＝2021．故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
7．（2021春·浙江台州·八年级统考期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，且，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据勾股定理计算出，，，，…，，然后根据的值是整数，且，写出符合条件n的值，即可得到答案．
【详解】依据题意可得：∴，
，则，，…，
∵的值是整数，且，∴，
∴n=5或20或45，符合条件的n有3个．故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，图形的变化规律，最简二次根式等相关内容，解题关键是发现数字的变化特点，利用勾股定理的知识进行解答．
8．（2021春·浙江绍兴·八年级统考阶段练习）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得大正方形的边长和小正方形的边长，进而得出空白的长和宽，再计算面积即可．
【详解】解：∵大正方形的面积为，∴大正方形的边长=，
∵小正方形的面积为，∴小正方形的边长=，
∴空白的长为：，空白的高为：，
∴空白面积=故选： B．
【点睛】本题考查了二次根式及其应用，掌握二次根式的性质是解题关键．
9．（2021·湖南常德·统考中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．
【详解】解：===1．故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．
10．（2022·广西·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解∵= =
∴∴
整理得∴
∵∴
整理得∴
∴∴
==
===故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021春·浙江温州·八年级校考期中）化简二次根式的结果是_______．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质化简把化简即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
12．（2020春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）计算：______．
【答案】
【分析】先化简 ，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
13．（2022春·浙江杭州·八年级统考期中）设实数的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝_____．
【答案】##
【分析】根据题意先估算的大小，求得的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：∵实数的整数部分为a，小数部分为b，，∴；
（2a+b）（2a﹣b）＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，平方差公式，求得的值是解题的关键．
14．（2022春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）已知，则代数式的值为______．
【答案】##
【分析】直接把的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案即可．
【详解】解：，
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确掌握二次根式的性质，是解题的关键．
15．（2022春·浙江温州·八年级期中）比较大小（填“<”、“大于”或“=”）：________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质可得，，由此即可得．
【详解】解：，，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较方法是解题关键．
16．（2022·山东枣庄·中考模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．
【答案】1
【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.
【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为1．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
17．（2022春·浙江宁波·八年级校联考开学考试）=__________．
【答案】
【分析】利用分母有理化分别化简各项，再作加减法．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的法则．
18．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简的结果为 _________．
【答案】
【分析】令，可求得x2=6，再由x<0，可得，再将所求式子化简即可．
【详解】解：令，
∴
=12 6
=6，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式；
（2）先根据平方差和完全平方公式计算，再去括号合并同类二次根式．
（1）
解：原式=
；
（2）
解：原式=
=
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
20．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)8
(2)26
【分析】（1）利用完全平方公式，结合二次根式的加减法和乘除法运算法则计算，的值，从而代入求值；
（2）利用完全平方公式，结合二次根式的加减法和乘除法运算法则计算，的值，从而代入求值．
（1）
解：，
∵，，
∴，
，
∴原式
；
（2）
解：
，
∵，，
∴，
，
∴原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
21．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）利用分母有理化，进行计算即可解答．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
，得：．
把作为整体代入：得．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)0．
【分析】（1）先将原式配方变形后，将的值代入计算即可求出值；
（2）先求出的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：，
，
则原式
；
（2）解：，
，
则原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
23．（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）我们将，称为一对“对偶式”．
因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
(1)分母有理化的值为______；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据阅读材料的方法，分母有理化即可得答案；
（2）将每个加数分母有理化，再相加即可．
（1）解：=2-，故答案为：2-；
（2）解：=1．
【点睛】本题考查分母有理化，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化．
24．（2022秋·上海·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；
（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
（1）
∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）
∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时，；
当m=3，n=1时，．
∴a的值为28或12；
（3）
令，
则
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
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专题1-3 二次根式的运算
模块一：知识清单
1.二次根式的乘法法则及逆用：；
2.二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.最简二次根：我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
4.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
5.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
6.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）估计的运算结果应在（ ）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
4．（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝2，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
6．（2022春·浙江宁波·八年级校联考开学考试）若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝（ ）
A．2021 B．2023 C．2 D．1
7．（2021春·浙江台州·八年级统考期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，且，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021春·浙江绍兴·八年级统考阶段练习）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2021·湖南常德·统考中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
10．（2022·广西·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021春·浙江温州·八年级校考期中）化简二次根式的结果是_______．
12．（2020春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）计算：______．
13．（2022春·浙江杭州·八年级统考期中）设实数的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝_____．
14．（2022春·浙江舟山·八年级校考阶段练习）已知，则代数式的值为______．
15．（2022春·浙江温州·八年级期中）比较大小（填“<”、“大于”或“=”）：________．
16．（2022·山东枣庄·中考模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．
17．（2022春·浙江宁波·八年级校联考开学考试）=__________．
18．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简的结果为 _________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）计算
(1) (2)
20．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列各式的值：
(1) (2)
21．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）计算：
(1) (2)
22．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
，得：．
把作为整体代入：得．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；(2)已知，求代数式的值．
23．（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）我们将，称为一对“对偶式”．
因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
(1)分母有理化的值为______；
(2)计算：．
24．（2022秋·上海·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
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