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专题1-4 二次根式 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】A．=，不符合题意； B．，不符合题意；
C．，不符合题意；D．是最简根式，符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查最简二次根式，难度不大．判断一个二次根式是否为最简二次根式，直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
2．（2022春·吉林·八年级校考阶段练习）估计的结果介于（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
【答案】A
【分析】先利用二次根数的混合计算法则求出结果，然后利用无理数的估算方法由得到，从而求解．
【详解】解：，
∵，∴，
∴的结果介于-5与之间．故选A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（2021春·浙江杭州·八年级期末）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】解：∵，∴当n=2时， ==4，是整数，故正整数n的最小值为2．故选B．
4．（2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，解得：，
，故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
5．（2022·浙江·八年级专题练习）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
6．（2022·甘肃平凉·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴与为同类二次根式，∴，
解得：，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键．
7．（2022·浙江·八年级期中）代数式有（ ）
A．最大值2 B．最小值2 C．最大值3 D．最小值3
【答案】D
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
【详解】∵，∴，∴最小值3，故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握上述性质，是解题的关键．
8．（2022·全国·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解∵= =
∴∴
整理得∴
∵∴
整理得∴∴
∴
=
====故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．
9．（2022·湖北武汉·八年级期中）用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作为x的小数部分．已知m，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．（1）
【答案】C
【分析】利用分母有理化化简m，﹣m的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：m＝2，
∵1＜3＜4，∴12，∴3＜24，∴a＝231，
∵m＝2，∴﹣m＝﹣2，
∵1＜3＜4，∴12，∴﹣21，∴﹣4＜﹣23，
∴b＝﹣2（﹣4）＝﹣24＝2，
∴故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解题的关键．
10．（2022·浙江八年级期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把化为再结合从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
而 ∴ 故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：所得的结果是_____．
【答案】1
【分析】由二次根式的乘法、除法运算进行计算，即可求出答案．
【详解】解：原式＝．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确进行计算．
12．（2023秋·上海·八年级专题练习）已知，化简=_________．
【答案】1
【分析】由可得再化简二次根式与绝对值，最后合并即可.
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的化简，绝对值的化简，掌握“”是解本题的关键.
13．（2022春·黑龙江绥化·八年级校考期中），则a－b＝______．
【答案】-4
【分析】首先进行二次根式的乘法运算，根据相等求出a和b的值，代入代数式求值．
【详解】解：∵ ，
∴a=2，b=6，则a－b=2-6=-4；故答案为-4．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
14．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市实验中学校考阶段练习）已知数a、b、c在数粒上的位置如图所示，化简的结果是______．
【答案】0
【分析】首先根据数轴可以得到c＜a＜0＜b，然后则根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质即可化简．
【详解】解：根据数轴可以得到：c＜a＜0＜b，则c-b＜0，a+c＜0，
则原式==-a+（a+c）+（b-c）-b=-a+a+c+b-c-b=0．故答案是：0．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、整式的加减、以及绝对值的性质，解答此题，要弄清
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为______；
（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为______．
【答案】
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面积列出等式并计算．
【详解】解：∵，．长方形的周长=2×(+)= 2×(+)=12；
长方形的面积===24，
根据面积相等，则正方形的边长==．故答案为：；．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
16．（2022春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）（1）已知，则的值为_________．
（2）若x，y满足，则_________．
【答案】 2
【分析】（1）由题意得，，，可得，将所求代数式根据完全平方公式进行整理求出，再开方即可；
（2）先将条件化简，再利用完全平方公式可得，即可求解．
【详解】（1），，，，
，即，，
，故答案为：；
（2），，
整理得，即，
，，故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分式的求值，完全平方公式的运用，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
18．（2021春·浙江·八年级专题练习）化简_______．
【答案】
【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．故答案为：．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·八年级课时练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)15
【分析】（1）先开方，再乘除，再加减
（2）先用平方差公式化简，并求出算术平方根，再加减
【详解】（1）原式=
（2）原式
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算规则和方法技巧是本题关键．
20．（2022秋·八年级课时练习）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式
，
当时，原式．
（2）∵，，
∴，
，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy
＝（x﹣y）2+xy
＝（2）2﹣1
＝12﹣1
＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
21．（2021春·浙江·八年级专题练习）细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题.
，；，；，；...
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律.
（2）推算出的长.
（3）求的值.
【答案】（1），（n是正整数）；（2）；（3）
【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化，
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出，
（3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
【详解】解：（1）根据题中规律可得：
，（n是正整数）
（2）由（1）得，，即OAn2=n，
∴.
（3）
【点睛】本题主要考查二次根式的应用以及列代数式等，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，找准规律，此题难度不大．
22．（2020春·浙江衢州·八年级统考期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
【答案】（1）剩余木料的面积为6dm2；（2）2．
【分析】（1）先确定两个正方形的边长，然后结合图形解答即可；
（2）估算 和 的大小，结合题意解答即可.
【详解】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，
∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；
（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是二次根式的应用，掌握无理数的估算方法是解答本题的关键.
23．（2022秋·八年级课时练习）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
【答案】x＝7
【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．
【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得：
（﹣）×（+）＝m，
x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3，
∴+＝3，与原方程相加得：
（﹣）+（+）＝3＋1，
2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根．
【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题．
24．（2021春·浙江·八年级专题练习）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】根据题意进行探索即可.
【详解】（1）∵，∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．
（2）设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
（3）由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
【点睛】本题考查二次根式的运算.根据题意找出规律是解决本题的关键.
25．（2022·浙江杭州·模拟预测）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）
【分析】（1）由解题过程可以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为1，分子则为分母的有理化因式，由此可直接写出的值；
（2）中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果．
（3）利用倒数关系比较大小．
【详解】解：（1）由上面的解题规律可直接写出．
（2）由（1）得，原式=．
（3），同理．
又，，．
【点睛】本题是规律型的，由分母有理化得出规律，以及考查了二次根式的化简在多项式求和和比较大小中的应用．
26．（2022·福建·古田县八年级阶段练习）探究题
(1)用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 2，1+ 2，5+5 2．
(2)由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
【答案】(1)＞，＞，＝，(2)m+n≥2 (3)40
【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2；比较大小，可以作差，m+n-2，联想到完全平方公式，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
（1）解：∵4+3=7，2=4，∴，，
∵49＞48，∴4+3＞2；
∵1+=＞1，2=＜1，∴1+＞2；
∵5+5=10，2=10，∴5+5=2．故答案为：＞，＞，=；
（2）解：m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵，∴，
∴m-2+n≥0，∴m+n≥2；
（3）解：设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S=ab=200，
根据（2）的结论可得：，
∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
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专题1-4 二次根式 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·吉林·八年级校考阶段练习）估计的结果介于（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
3．（2021春·浙江杭州·八年级期末）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2021·湖南娄底·统考中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
5．（2022·浙江·八年级专题练习）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·甘肃平凉·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
7．（2022·浙江·八年级期中）代数式有（ ）
A．最大值2 B．最小值2 C．最大值3 D．最小值3
8．（2022·全国·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
9．（2022·湖北武汉·八年级期中）用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作为x的小数部分．已知m，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．（1）
10．（2022·浙江八年级期中）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：所得的结果是_____．
12．（2023秋·上海·八年级专题练习）已知，化简=_________．
13．（2022春·黑龙江绥化·八年级校考期中），则a－b＝______．
14．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市实验中学校考阶段练习）已知数a、b、c在数粒上的位置如图所示，化简的结果是______．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为______；
（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为______．
16．（2022春·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期中）（1）已知，则的值为_________．
（2）若x，y满足，则_________．
17．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
18．（2021春·浙江·八年级专题练习）化简_______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·八年级课时练习）计算：
(1) (2)
20．（2022秋·八年级课时练习）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
21．（2021春·浙江·八年级专题练习）细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题.
，；，；，；...
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律.
（2）推算出的长.（3）求的值.
22．（2020春·浙江衢州·八年级统考期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
23．（2022秋·八年级课时练习）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
24．（2021春·浙江·八年级专题练习）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
25．（2022·浙江杭州·模拟预测）阅读下列解题过程
．
．
请回答下列问题
（1）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
的值．
（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
26．（2022·福建·古田县八年级阶段练习）探究题
(1)用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 2，1+ 2，5+5 2．
(2)由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
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