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2.4 一元二次方程根与系数的关系
班级 姓名
基础巩固提优
1.已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1·x2的值为( )．
A. －7 B. －3 C. 7 D. 3
2. 如果已知方程x2－3x＋1＝0的两个根分别是x1，x2，那么xx2＋xx1的值是( )．
A. －3 B. 3 C. D. －
3. 若已知a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则a2＋a＋3b的值是( )．
A. 7 B. －5 C. 7 D. －2
4. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值是( )．
A. －1或 B. －1 C. D. 不存在
5. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋1＝0的两个实数根是x1，x2，且x＋x＝24，则k的值是( )．
A. 8 B. －7 C. 6 D. 5
6.关于的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x＋x＝7，则(x1－x2)2的值是 ．
7. 已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，那么b＝________，c＝________.
8. 若关于x的方程3(m＋1)x2－5mx＋3m＝2的两根互为相反数，则m的值为________．
9.已知关于x的一元二次方程x2－6x－k2＝0(k为常数)．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设x1，x2为方程的两个实数根，且x1＋2x2＝14.试求出方程的两个实数根和k的值．
10. 已知x1，x2是方程x2－2x＋a＝0的两个实数根，且x1＋2x2＝3－.
(1)求x1，x2及a的值；
(2)求x－3x＋2x1＋x2的值．
11. 已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2＝0.
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根x1，x2满足＋＝1＋，求m的值．
思维拓展提优
12. 已知方程2x2－3x－3＝0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是a＋1，b＋1.
13. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，且xx－x1－x2＝115.
(1)求k的值；(2)求x＋x＋8的值．
14.已知关于x的方程
的两根为，，且满足.求的值.
15. 实数k取何值时，一元二次方程x2－(2k－3)x＋2k－4＝0：
(1)有两个正根；
(2)有两个异号根，并且正根的绝对值较大；
(3)一根大于3，一根小于3.
开放探究提优
16.已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围； （2）若，求k的值.
17. 下面是小红同学做的一道练习题：
已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根为m，n，求m，n的值．
解：依题意，得
解得或或
(1)请判断该同学的解法是否存在问题，并说明理由；
(2)这道题还可以怎样解？请写出你的解法．
走进中考前沿
18.关于的方程有两个不相等的实根，，且有，则的值是( )．
A．1 B．－1 C．1或－1 D． 2
19.若，是方程的两个根，则=____．
20.已知a，b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于_____.
21. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值.
参考答案
1. D 2. B 3. A 4. C 5. D
6.13 7. －3 2 8. 0
12. ∵ 方程2x2－3x－3＝0的两个根分别为a，b，
∴ a＋b＝，ab＝－.
∴ (a＋1)＋(b＋1)＝，(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝－＋＋1＝1.
∴ 所求的一元二次方程为x2－x＋1＝0.
13. (1)∵ x1，x2是方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，
∴ x1＋x2＝6，x1x2＝k.
∵ xx－x1－x2＝115，
∴ k2－6＝115，解得k1＝11，k2＝－11.
当k1＝11时，Δ＝36－4k＝36－44＜0，
∴ k1＝11不合题意．
当k2＝－11时，Δ＝36－4k＝36＋44＞0，
∴ k1＝－11符合题意．
∴ k的值为－11.
(2)∵ x1＋x2＝6，x1x2＝－11，
∴ x＋x＋8＝(x1＋x2)2－2x1x2＋8
＝36＋2×11＋8＝66.
14.∵关于的方程有两根
∴
即.
∵，
，
∴，
解得.
∵，
∴.
把代入，得.
15. ∵ Δ＝[－(2k－3)]2－4(2k－4)＝4k2－20k＋25＝(2k－5)2≥0，
∴ k取任何实数，方程都有两个实数根．
设该方程的两根为x1，x2，则由韦达定理，得x1＋x2＝2k－3，x1x2＝2k－4.
(1)若使x1＞0，x2＞0，则k应满足条件：
解得
∴ 当k＞2时，方程有两个正根．
(2)若使x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|，则k应满足条件：
解得
∴ 当＜k＜2时，两根异号，且正根的绝对值较大．
(3)若使x1＞3，x2＜3，则k应满足条件：
(x1－3)(x2－3)＜0，
即 x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0.
∴ 2k－4－3(2k－3)＋9＜0，k＞.
∴ 当k＞时，方程一根大于3，另一根小于3.
16.(1)依题意，得，解得.
（2）依题意，得.
以下分两种情况讨论：
当时，则有，即，解得 .
∵，
∴不合题意，舍去；
②时，则有，即，
解得.
∵，
∴
综合①②可知k=﹣3.
17. (1)存在问题．理由如下：
∵ m，n是方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，
∴ m＋n＝－m，mn＝n.
当m＝－，n＝－时，m＋n＝－1≠－m，mn＝≠n.
故m＝－，n＝－不合题意，此解法存在问题．
(2)∵ m，n是方程x2＋mx＋n＝0的两实数根，
∴
解得或
当m＝0，n＝0时，Δ＝m2－4n＝0；
当m＝1，n＝－2时，Δ＝m2－4n＝12－4×(－2)＝9＞0.
∴ 和都符合题意．
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2.4 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面，根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
△＞0方程有两个不相等的实数根．
△=0方程有两个相等的实数根．
△＜0方程没有实数根．
△≥0方程有两个实数根．
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况
① x -4x-1=0
②x +5=2x
③ x -mx+m +1=0
例2：k取何值时，方程4 x -（k+2）x+（k-1）=0
①有一个根是-1。
②有两个相等的实根
分析：
①方程有一个根是-1，需将x=-1代入原方程
②方程有两个相等的实根，既△=0
例3：当m为何值时，方程（m-1）x +2mx+m+3=0
①﹑无实根 ②﹑有实根 ③﹑只有一个实根
④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根
分析 （1）﹑只需△<0
（2）、分情况讨论 ① m-1=0 ② △≥0 且m-1≠0
（3）﹑当m-1=0时
（4）、 △≥0 且 m-1≠0
（5）、△＞0 且 m-1≠0
（6）、 △=0 且 m-1≠0
例4：求证关于x的方程x -（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4
∵不论m为何实数（m-2）2≥0
∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0
∴方程x -（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x +2ax+1=0
①有两个不相等的实根。试判别方程（2a 2-1）x +2ax+2a 2-1=0
②没有实根
解：∵方程x +2ax+1=0有两个不相等的实根
∴Δ 1=4a -4＞0 既a ＞1
方程②中a＞1 ∴ 2a -1＞1≠0
既方程②为一元二次方程
Δ 2=4a -4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1）
∵a ＞1 ∴a -1＞0 ∴（4a -1）＞0
2=-4（4a -1）（a -1）<0
∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
一：掌握常见变形，快速求值
例1：已知方程2x 2-7x+2=0的两根为x 1和x 2，求下列各式的值
（1）x 1 2+x 22 （2）x 12— x 22 （3）（x 1-x 2）2
（4）（x 1-2）(x 2-2) (5) x 1 2 x 2 + x2 2 x2 -3
二、已知方程的根，求另一根及某一系数
例2：
(1)已知方程mx 2＋4x＋3＝0有一根是1，另一根是______．
(2)若方程x 2＋kx＋3＝0有一根是－1，则k＝______
三：以两个数为根作一元二次方程
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是：
分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
四、不解方程，求与根有关的代数式的值
例2 若a、b为互不相等的实数，且a 2－3a＋1＝0，b 2－3b+1=0 求a 2-ab+b 2的值
分析：要求一个含字母a、b的代数式的值，常规的解法就是先求出a、b的值，然后代入求解．本题若按这个思路计算将会涉及到解一元二次方程及二次根式的运算，运算量非常大．但如果考虑a、b的关系，把a、b看作某个一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到a、b的关系式，再利用a、b的关系式整体代入，问题将会变得简便．
解：根据题意知a、b是方程x 2－3x＋1＝0的两个根由根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1．
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
分析：本题要求已知一元二次方程x 2＋px＋q＝0中的字母系数p、q的值，只要利用题目的条件，把p、q的关系式列出，再通过变形得到关于p、q的方程组，解此方程组即可求出p、q．
解：设方程的两实数根分别为x 1、x 2则由根与系数的关系，得
X 1＋x 2＝－p，x 1·x 2＝q， ……① 又由题意得(x 1＋x 2) 2＝x 1·x 2＋7 ……②
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
代入③得(x 1＋x 2) 2＝7x 1·x 2－5 ……④
将①式分别代入②、④中，得 p 2=q+7 p=3 p=-3
p 2=7q-5 即： q=2 q=2
例1 选择题：若方程3x 2＋(k 2－3k－10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为 [ ]
A．5 B．－2 C．5或－2 D．0
分析：不能只考虑到需两根和等于0，还要考虑到需Δ≥0
例2：m为何实数时，方程4x 2＋(m－2)x＋m－5＝0的根都小于零？
分析：要使原方程的根都小于零，必需Δ≥0， x 1＋x 2<0 ， x 1·x 2＞0
例3：如果两圆圆心距等于2，半径分别为R，r，且R，r是方程4x 2－20x＋21＝0的两个根，判断两圆的位置关系．
综合应用，主要是与三角、几何和函数等知识综合应用
例4： 已知抛物线y＝x 2－2kx＋2k－1与x轴有两个不同交点．
求(1)k值范围；(2)若抛物线与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式
解：(1)因为抛物线与x轴有两个不同交点，所以x 2－2kx＋2k－1＝0有两个不相等的实数根．
即Δ＝(－2k) 2－4(2k－1)＞0，(k－1) 2＞0，∴k≠1．
(2)设抛物线与x轴交点为(x 1，0)，(x 2，0)，x 1+ x 2=2k ， x 1﹒x 2=2k-1
∣x 1-x 2∣=2 得：（2k）2-4(2k-1)=4
解得k 1＝0，k 2＝2．
所以抛物线为y＝x 2－1 或y＝x 2－4x＋3．
注意：这类题目应注意抛物线与x轴两交点之间的距离就是一元二次方程两根之差的绝对值．因而应用此类关系式可以确定抛物线的解析式．
思考题：
1、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2-2x+m+1=0的两个实数根，
（1）、求m的取值范围
（2）、如果x 1，x 2满足7+4 x 1﹒x 2＞x 1 2+x 2 2 且m为整数，求m的值。
2、已知x 1，x 2是关于x的一元二次方程x 2+2mx+m-1=0的两个负实数根，且
X 1 2+x 2 2 =8。求m的值
3、已知⊙O的面积为π，△ABC内接于⊙O，a、b、c分别是三角形三个内角
A、B、C的对边，且a 2＋b 2＝c 2，sinA、sinB是
方程 [m-( -1)]x 2-[m+( -1)]x+ =0的两根
(1)判定△ABC的形状； (2)求m的值； (3)求△ABC三边的长
