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第二章 一元二次方程的综合复习
姓名 班级
一、选择题
1、（2013 昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． 100×80﹣100x﹣80x=7644 B． （100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C． （100﹣x）（80﹣x）=7644 D． 100x+80x=356
2、（2013 衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A． 168（1+x）2=128 B． 168（1﹣x）2=128 C． 168（1﹣2x）=128 D． 168（1﹣x2）=128
3、（2013 白银）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． 48（1﹣x）2=36 B． 48（1+x）2=36 C． 36（1﹣x）2=48 D． 36（1+x）2=48
4、（2013山西，9，2分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元。设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825 D．3(x+4.25%x)=33825
5、（2013 黔西南州）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
C． 50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
6、（4-4一元二次方程·2013东营中考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
7、(2013年广东湛江)由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次下降售价下调到每斤是5元，下列所列方程中正确的是（ ）
8、（2013甘肃兰州4分、10）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．7600（1+x%）2=8200 B．7600（1﹣x%）2=8200
C．7600（1+x）2=8200 D．7600（1﹣x）2=8200
9、（13年安徽省4分、7）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元。设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A、438（1+x）2=389 B、389（1+x）2=438 C、389（1+2x）=438 D、438（1+2x）=389
二、填空题
10、（2013四川宜宾）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是 ．
11、（2013 新疆）2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元，2011年增长到3985元．若设年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
12、（13年山东青岛、11）某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为，根据题意，可得方程___________
三、解答题
13、(2013年广东省8分、21)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
14、（2013 鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量y（件） 1000﹣10x
销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
15、（2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
16、（2013 巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．
17、（2013 衢州）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
18、（绵阳市2013年）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
参考答案
1、（2013 昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
2、（2013 衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A． 168（1+x）2=128 B． 168（1﹣x）2=128 C． 168（1﹣2x）=128 D． 168（1﹣x2）=128
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解答： 解：根据题意得：168（1﹣x）2=128，故选B．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
3、（2013 白银）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． 48（1﹣x）2=36 B． 48（1+x）2=36 C． 36（1﹣x）2=48 D． 36（1+x）2=48
4、（2013山西，9，2分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元。设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825 D．3(x+4.25%x)=33825
【答案】A
【解析】一年后产生的利息为4.25%x，三年后产生的利息为：3×4.25%x，再加上本金，得到33852元，所以，A是正确的。
5、（2013 黔西南州）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
C． 50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
解答： 解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故选C．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6、（4-4一元二次方程·2013东营中考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
11.C.解析：设参赛球队有x个，由题意得x(x-1)=21,解得，（不合题意舍去），故共有7个参赛球队.
7、(2013年广东湛江)由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次下降售价下调到每斤是5元，下列所列方程中正确的是（ ）
解析：考查一元二次方程的实际应用，由原来每斤12元，第一次下降
售价为：，再下降售价为：，
，选
8、（2013甘肃兰州4分、10）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．7600（1+x%）2=8200 B．7600（1﹣x%）2=8200 C．7600（1+x）2=8200 D．7600（1﹣x）2=8200
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：2013年的房价8200=2011年的房价7600×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解答：解：2012年同期的房价为7600×（1+x），
2013年的房价为7600（1+x）（1+x）=7600（1+x）2，
即所列的方程为7600（1+x）2=8200，
故选C．
点评：考查列一元二次方程；得到2013年房价的等量关系是解决本题的关键．
9、（13年安徽省4分、7）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元。设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A、438（1+x）2=389 B、389（1+x）2=438 C、389（1+2x）=438 D、438（1+2x）=389
10、（2013四川宜宾）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是 25（1+x）2=36 ．
11、（2013 新疆）2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元，2011年增长到3985元．若设年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 2027（1+x）2=3985 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 2011年农村居民人均纯收入=2009年农村居民人均纯收入×（1+人均纯收入的平均增长率）2，把相关数值代入即可求解．
解答： 解：∵2009年农村居民人均纯收入为2027元，人均纯收入的平均增长率为x，∴2010年农村居民人均纯收入为2027（1+x），∴2011年农村居民人均纯收入为2027（1+x）（1+x），∴可列方程为2027（1+x）2=3985，故答案为2027（1+x）2=3985．
点评： 本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
12、（13年山东青岛、11）某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为，根据题意，可得方程___________
答案：40（1＋x）2＝48.4
解析：2010年为40，在年增长率为x的情况下，2011年应为40（1＋x），
2012年为40（1＋x）2，所以，40（1＋x）2＝48.4
13、(2013年广东省8分、21)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解析：
14、（2013 鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量y（件） 1000﹣10x
销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．
分析： （1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．
解答： 解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44≤x≤46 w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250 ∵a=﹣10＜0，对称轴x=65∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
点评： 本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
15、（2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
考点：一元二次方程的应用．
专题：销售问题．
分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．
解答：解：由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+[（4﹣6）（600﹣200﹣（200+50x）]=1250，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，
整理得：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∴10﹣1=9，
答：第二周的销售价格为9元．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．
16、（2013 巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 本题是平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．如果设平均增长率为x，那么结合到本题中a就是400×（1+10%），即3月份的营业额，b就是633.6万元即5月份的营业额．由此可求出x的值．
解答： 解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2=633.6，解得，x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%．
点评： 本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
17、（2013 衢州）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．
解答： 解：（1）ab﹣4x2；（2分）（2）依题意有：ab﹣4x2=4x2，（4分）将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，（6分）解得x1=，x2=﹣（舍去）．（7分）即正方形的边长为
点评： 本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．
18、（绵阳市2013年）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x ,
根据题意列方程：64（1+x）2 =100 ,
解得x=-225%（不合题意，舍去）, x= 25%
100×(1+25%)=125(辆) 答：该商城4月份卖出125辆自行车。
（2）设进B型车x辆，则进A型车辆，
根据题意得不等式组 2x≤≤2.8x ，
解得 12.5≤x≤15,自行车辆数为整数，所以13≤x≤15,
销售利润W=（700-500）×+（1300-1000）x .
整理得：W=-100x+12000， ∵ W随着x的增大而减小,
∴ 当x=13时，销售利润W有最大值，
此时，=34，
所以该商城应进入A型车34辆，B型车13辆。
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第二章 一元二次方程的--
--综合复习
一元二次方程的概念
一元二次方程的解法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系
用一元二次方程解决实际问题
一
元
二
次
方
程
复
习
只含有 的 ，并且都可以化 成
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
一个未知数x
整式方程
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式，
一.相关概念
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
２、x2－2x=8
４、x２＝y+１
5、x３－２x２＝１
6、ax2 + bx + c＝１
3、x2+ ＝１
×
√
√
×
×
×
2
2、若方程
是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= ;
2
1、若 是关于x的一元二次方程则m 。
≠－ 2
2、已知一元二次方程x2=2x 的解是（ ）
（A）0 （B）2 （C）0或-2 （D）0或2
D
1、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（ ）
（A）-1 （B）1/2 （C）-1或-2 （D）-1或1/2
D
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式
2. 把二次项系数化为1
3. 把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放 在方程的右边。
4. 方程的两边同加上一次项系数一半的平方
5. 方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数
6. 利用直接开平方的方法去解
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
3. 公式法
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式
写出方程各项的系数
计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若b2-4ac﹤0，则此方程没有实数根 。
当b2-4ac≥0时， 代入求根公式 计算出方程的值
二.一元二次方程的解法
1．直接开平方法
2. 配方法
3. 公式法
4. 因式分解法
移项，使方程的右边为0。
利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解
令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。
解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用适当的方法解下列方程
因式分解法：
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解为两个因式的积,而右边等于0的方程;
2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).
因式分解法的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
直接开平方法：
1.用开平方法的条件是:缺少一次项的一元二次方程，用开平方法比较方便;
2.形如:ax2+c=o (即没有一次项).
a(x+m)2=k
配方法：
用配方法的条件是:适应于任何一个一元二次方程，但是在没有特别要求的情况下，除了形如x2+2kx+c=0 用配方法外，一般不用;(即二次项系数为1，一次项系数是偶数。）
配方法的一般步骤:
一除----把二次项系数化为1(方程的两边同
时除以二次项系数a)
二移----把常数项移到方程的右边;
三配----把方程的左边配成一个完全平方式;
四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
★一除、二移、三配、四开、五解.
公式法：
用公式法的条件是:适应于任何一个一元二次方程，先将方程化为一般形式，再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程有实数根， b2-4ac<0则方程无实数根;
方程根的情况与b2-4ac的值的关系:
当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0 时，方程没有实数根.
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2） - 49=0 2、（3x -4） =（4x -3） 3、 4y = 1 - y
解2、
法一：两边开平方，得：3x-4=±（4x-3）
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3
-x=1或 7x=7
x=-1，x=1
法二、（3x-4） -（4x-3） =0
（3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0
（7x-7）（-x-1）=0
7x-7=0或-x-1=0
所以：x=1，x=-1
解1、移项，得：（3x-2） =49
两边开平方，得：3x -2=±7
所以：x=
所以x1=3，x2=
解3、方程整理为：
3y +8y -2=0 这里
a=3，b=8，c=-2
b - 4ac=64 -4 3 （-2）=88
4、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2如：
11
-1
(x+1)(x-2)=0
m=_______,n=_________
两不相等实根
两相等实根
无实根
一元二次方程
一元二次方程 根的判式是:
判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
两个不相等实根
两个相等实根
无实根(无解)
三、一元二次方程根的判别式
（1）
（3）
（2）
解：（1） =
判别式的应用:
所以，原方程有两个不相等的实根。
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。
1、不解方程，判别方程的根的情况
已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程 ：
有两个实数根，求m的值。
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.
解得：
解：∵方程有两个实数根
∴
∵m为非负数
∴m=0或m=1
且m为非负整数
求证：关于x的方程：
有两个不相等的实根。
证明：
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。
无论m取任何实数都有：
即：△>0
3、证明方程根的情况
说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从而证明出方程根的情况
四、一元二次方程根与系数的关系
以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
1.如果x1,x2是方程 的两个根，
那么 = , = ；
=____
=____
2.已知方程:x2+kx-6=0的一个根是2,则k=____,
它的另一个根______.
练 习
3
1
7
3
1
x=-3
C
4、甲、乙二人解同一个方程x ＋bx＋c=0时，
甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了
一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元
二次方程为__________________
x - 5x + 6 = 0
5.写一个一元二次方程,使其一根为0,另一根为 ,这个
方程可以为 .
6、若α、β为实数且｜α+β－3｜+ =0,
则以α、β为根的一元二次方程 是 ．
传染问题、
百分率问题、
营销问题、
面积问题
四、用一元二次方程解决实际问题
小结 拓展
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么 已,未知之间有什么关系
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是:
找出相等关系.
关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，
则依题意得：（1+x）×（1+x）x=81
整理，得：（1+x）2=81
解得：x1=8，x2=-10（不合题意舍去）
∴x=8
3轮感染后，被感染的电脑有81+81×8=729>700
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；若病毒得不到有效控制，
3轮感染后，被感染的电脑会超过700台。
2.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少
开启 智慧
3.新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
4.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少
增长率与方程
开启 智慧
5.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几
增长率与方程
开启 智慧
6. 新华商场销售某种水箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
本题的主要等量关系是什么？
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5000元．
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是____________元，每台冰箱的销售利润为_____________________元，平均每天销售冰箱的数量为_______________台，这样就可以列出一个方程，进而解决问题了．
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得
解这个方程，得
x1=x2=150.
2900－150 = 2750.
所以，每台冰箱应定价2750元．
（2900－x）
（2900－x－2500）
（ 8 + 4× ）
利润问题
7.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元
每千克的盈利×每天的销售量=每天的盈利
解:设每千克应涨价x元.
由题意得:
(10+x)(500-20x)=6000
解得: x1=5,x2=10
因为为了使顾客得到实惠,所以x=5
答:每千克应涨价5元.
(10+x)元
(500-20x)千克
6000元
销售问题
8.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元
源于生活,服务于生活
9. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1) 鸡场的面积能达到180m2吗
(2) 鸡场的面积能达到200m2吗
(3) 鸡场的面积能达到250m2吗
如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
25m
180m2
9. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(1)设养鸡场的靠墙的一边长为xm,
根据题意得
25m
x
180m2
9. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(1)设养鸡场垂直于墙的一边为xm,
根据题意得
25m
40-2x
180m2
9. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(2)解:(1)设养鸡场的靠墙的一边长为xm,
根据题意得
25m
x
200m2
9. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(3)设养鸡场的靠墙的一边长为xm,
根据题意得
25m
x
250m2
