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一元二次方程的一般形式
方程的判别式
当 ＞０时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根
求根公式
复习回顾：
填写下表：
方程
两个根 两根之和 两根之积 a与b之间关系 a与c之间关系
猜想：
如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？
如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系
韦达（1540——1603）是法国数学家,最早发现代数
方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系
称为韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他
最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用
“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大
量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、
四次方程的解法，著有《分析方法入门》、《论方程的识
别与订正》等多部著作。
小试牛刀
例1：设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1） （2）
解：设方程的两个根是x1 x2那么 x1+x2 =-— x1.x2 =-—.
3
2
2
1
（1） x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2
=（-—）2-2（-—）=—
3
2
2
1
13
4
1
（2）—+— = ———— = ——— =3
x1
1
x1.x2
x1+x2
x2
1
2
2
3
设 是方程 的两个根，不解方程，求下列各式的值。
②
①
巩固练习
例2：
已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是-2，4.写出这个方程
1. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 的两个根
分别是 、 ，其中 。
所以：
即：
由于
得：k=-7
答：方程的另一个根是 ，k=-7
巩固练习
解：设方程的两根分别为 和 ，
则：
而方程的两根互为倒数
即：
所以：
得：
2.方程 的两根互
为倒数，求k的值。
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 时，才
能应用根与系数的关系.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么
1 若方程3x 2＋(k 2－3k－10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为 （ ）
A．5 B．－2 C．5或－2 D．0
2.m为何实数时，方程4x 2＋(m－2)x＋m－5＝0的根都小于零？
拓展延伸
B
分析：要使原方程的根都小于零，必需Δ≥0，
x 1＋x 2<0 ， x 1·x 2＞0
3.已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2，
且X12+X22 = 4，求k的值。
解：由根与系数的关系得：
X1+X2=-k， X1.X2=k+2
又X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4
K2- 2（k+2）=4
K2-2k-8=0
解得：k=4 或k=-2
∵ △= K2-4（k+2）
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
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2.4一元二次方程的根与系数的关系学案
班级 姓名 学号
教学过程
一、探究新知
1.填表
方程 两个根 两根之和 两根之积 a与b之间关系 a与c之间关系
2.你能发现一元二次方程的根与其系数有什么关系？
_____________________________________________________________________
______________________________________________________________________
练一练
二、例与练
例1 ：设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1） （2）
练习：
设 是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值
例2：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是-2，4.写出这个方程
练习：
1.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
2、方程的两根互为倒数，求k的值。
三、课堂小结
_______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
四、拓展延伸
1 若方程的两根互为相反数，k的值为 （ ）
A．5 B．－2 C．5或－2 D．0
2.m为何实数时，方程的根都小于零？
3.已知方程的两个根是，且，求k的值。
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2.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习
A组
1.已知方程，则下列说中，正确的是 （ ）
A．方程两根和是1 B．方程两根积是2
C．方程两根和是 D．方程两根积是两根和的2倍
2.如果关于的方程的两个根分别为，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
3.已知方程的两根是，则： ，= ，
4.已知方程的一个根是1，则另一个根是 ，的值是 .
5.关于x的方程有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是______
6、如果一元二次方程x2＋ax ＋b= 0的两个根是0和—2，则a、b分别等于多少？
7.若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
B组
1.若k>1,关于x的方程 2x2-(4k+1)x+2k2-1=0的根的情况是( )
A.有一正根和一负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根
2.如果关于x的方程有两个不相等的实数根且两根之差的平方和不小于1，那么实数m的取值范围是
3. 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．
4．已知关于x的方程
（1）求证方程必有两个相异实数根；（2）a取何值时，方程有两个正根；
（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大；
（4）a取何值时，方程至少有一个根为零？
参考答案
A组
1.A 2.B
3. 3 , 1
4. -2 , 1
5.
6. －2、0
7．解：由题意，根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
B组
1. B
2.
3．解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
(2) 由得知：
①当时，，所以方程有两相等实数根，故；
②当时，，由于
，故不合题意，舍去．
综上可得，时，方程的两实根满足．
4.（1）把方程化为一般形式：
∵ 恒成立。
∴无论a取任何实数，方程必有两个相异实数根。
（2）要使方程有两正根，只需满足即可。 即
∴当a>4时，原方程有两个正根。
（3）要使方程有两个异号根，且负根的绝对值较大，只需满足
即
（4）要使方程至少有一个根为零，只需x1x2=0，即a-4=0，a=4
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