浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练(一)
一．基础巩固：
1.如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则
BE等于（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2.如图，矩形的两条对角线相交于点，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
3.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8
4.如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC =3，则梯形ABCD的周长是（ ）
A. 26 B. 25 C. 21 D.20
5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）
A．17 B.18 C.19 D.20
6.已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（ ）
A. 25 B. 50 C. 25 D.
7.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．50°
如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
9.点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90o，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（ ）
A、75o B、60o C、 45o D、 30o
10.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面积是（ ）
11.我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 .
12.如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝______
13.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为
14.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是__________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
15.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为
16.以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________
17.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当，时，四边形BGEF的周长为
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是
19.如图，菱形ABCD中，AB＝4，,,垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是
20.如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为 ，小球P所经过的路程为
二．能力提升：
21.如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．（1）求证：；
（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．
22.如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？
请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
23.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.
已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作
ME⊥CD于点E,∠1=∠2。(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。
25.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.
（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.
26.如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．
浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练（一）答案
基础巩固：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C
A
A
B
D
C
A
5 12. 9 13. 13 14. ②④ 15.
16. 17. 28. 18. （2，） 19. 20. 6
二．能力提升：
21.证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴．
∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．∴．
∴．
∵，∴．∴．
（2）当时，四边形是菱形．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵中，，∴，∴．
∵，∴．∴．∴四边形是菱形．
22.解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD．
又∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA．
∴∠DEC＝∠AEB．
又∵EB＝EC，∴△DEC≌△AEB．
∴AB＝CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB＝ED．
∵AB⊥AC，∴AE＝BE＝EC．
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，∵AE＝BE＝AB＝2，
∴△ABE是等边三角形，∠AEB＝60°．∴AG＝．
∴S菱形AECD＝ECAG＝2×＝．
23.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB≌△NDC，∵ AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MAB≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AB中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∴MP=BM，∴MP=MQ，∴四边形MQNP是菱形．
24.（1）∵四边形ABCD是菱形∴CB=CD,AB∥CD∴∠1=∠ACD ,∵∠1=∠2 ∴∠2=∠ACD
∴MC=MD ∵ME⊥CD ∴CD=2CE=2 ∴BC=CD=2
(2) 延长DF,BA交于G，∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA , ∵BC=2CF,CD=2CE ∴CE=CF ∵CM=CM∴△CEM≌△CFM, ∴ME=MF∵AB∥CD∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD∵CF=BF∴△CDF≌△BGF∴DF=GF∵∠1=∠2, ∠G=∠2∴∠1=∠G∴AM=GM=MF+GF=DF+ME
25.解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，∴∠B=∠D=90°,AB=AD.
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF.
∴Rt△ABE≌Rt△ADF, ∴BE=DF,
∵BC=CD, ∴CE=CF.
（2）在Rt△EFC中，CE=CF=2×sin45°=.
设正方形ABCD的边长为x，则x2+(x-)2=22.解得，x=（舍负），正方形ABCD的周长为4×=2+2.
26.证明：（1）在Rt△AFD和Rt△CEB中，
∵AD=BC，AF=CE，
∴Rt△AFD≌Rt△CEB；
（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠CBE=∠BAH
又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°
∴△ABH≌△BCE，
同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF
=4××2×1+1×1
=5；
（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，
由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF
=4×（h1+h2）?h1+h22=2h12+2h1h2+h22．
浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练（二）
一．基础巩固：
1.如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（ ）
A． 梯形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
2.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断（ ）
A． 甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D． 甲、乙均错误
3.如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若
①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个
平行四边形周长的总和为（ ）A.48cm B.36cm C.24cm D.18cm
4.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中，就有“若勾三，股四，则弦五”记载，如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A. 90 B.100 C.110 D.121
5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
6.如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm， (A=120(，则EF= cm。
7.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为
8.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
9.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是
10.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=
二．能力提升：
11.如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF。
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长。
12.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
13.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
14.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相较于点，与相较于，连接。
(1)求证：四边形是菱形；(2) 若求MD的长。
15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积.
浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练（二）答案
探索提高：
题号
1
2
3
4
5
答案
C
C
A
C
C
6. 7. 4π 8. 135 9. 10 10. 5
二．能力提升：
11.解：
12.（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF=BE；
（2）解：MP与NQ相等．
理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，
则与（1）的情况完全相同．
13.证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；
（2）CF﹣CD=BC；
（3）①CD﹣CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF=AD=4，O为DF中点．
∴OC=DF=2．
14.（1）证明：四边形是矩形
是的垂直平分线
在和中
是的垂直平分线
四边形是菱形
（2）解：设 则，
在中 则有 解得：
即：
15.（1）∵E、F分别是AB、BC的中点
∴EF是三角形ABC的中位线
∴EF∥AC、EF=AC,
同理得，EH∥BD,HG=AC，EH=FG=BD,
∴EH=FG=EF=HG
∴四边形EFGH为菱形
∵EF∥AC, EH∥BD, AC⊥BD
∴∠EHG=900
∴菱形EFGH为正方形.
（2）∵在梯形ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点.
∴EG为梯形ABCD的中位线
∴EG=（AD+BC）=3
四边形EFGH的面积=EG2=4.5
