2023年浙教版数学八年级下册4.2平行四边形 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·杭州期中）如图，直线a//b，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段AB B．线段AB的长度
C．线段CD D．线段CD的长度
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由图可知：CD⊥a，CD⊥b，
∵a∥b，
∴CD为直线a，b的距离.
故答案为：D.
【分析】根据平行线间的距离，即垂直于平行线的线段，据此即可解答.
2．（2022七下·馆陶期末）如图，直线，于，交于，直线交于点，于点，于点，若直线和之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】因为直线AB//CD， EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长．
故答案为：C．
【分析】根据直线之间的距离定义可得答案。
3．（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.
4．（2022八下·五华期末）如下图中，，cm，cm，若点P是上CD上任意一点，那么的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=30°，CD∥AB，
在Rt△CHB中，BC=8cm，∠ABC=30°，则CH= BC=4cm，
∵AB=12cm，
∴的面积是×12×4=24cm2，
故答案为：C．
【分析】过C作CH⊥AB于H，先利用含30°角的直角三角形的性质求出CH= BC=4cm，再利用三角形的面积公式计算即可。
5．（2021七下·定州期中）如图，直线，P是直线AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变小
B．变大
C．不变
D．变大变小要看点P向左还是向右移动
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：设平行线AB、CD间的距离为h，
则，
长度不变，h大小不变，
三角形的面积不变．
故答案为：C．
【分析】根据平行线之间的距离处处相等及三角形的面积公式可得三角形的面积不变。
6．（2022八上·岷县开学考）平行四边形中两个内角的度数比是1：3，则其中较小的内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得：.
故答案为：B.
【分析】设∠A=3x，∠B=x，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠A+∠B=180°，据此求解.
7．（2022九上·未央开学考）如图， 的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，利用勾股定理可得BO，据此求解.
8．（2022九上·宁波开学考）若平行四边形的一条边长为7，则它的两条对角线的长可以是（ ）
A．10和12 B．6和8 C．3和8 D．6和20
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设平行四边形的两条对角线的长为2a和2b（2a＞2b），
∵平行四边形的一条边长为7，
∴a+b＞7，a-b＜7，
∴2a+2b＞14，2a-2b＜14，
∵10+12＞14，12-10＜14，故A符合题意；
∵6+8=14，故B不符合题意；
∵3+8＜14， 故C不符合题意；
∵20-6=14，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】设平行四边形的两条对角线的长为2a和2b（2a＞2b），根据平行四边形的性质和三角形三边关系得出2a+2b＞14，2a-2b＜14，逐项进行判断，即可得出答案.
9．（2022八下·威县期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质，结合求解即可。
10．（2022九上·铜梁开学考）如图，的对角线，交于点，若，，，则的周长为
A．14 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
∴△ABC的周长 ，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质可得，，，根据△OBC的周长=BC+OC+OB即可求解.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·涿州期末）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是 ．
【答案】3
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图：
∵AB、CD为小正方形的边所在直线，
∴AB∥CD，
∴AC⊥AB，AC⊥CD，
∵AC的长为3个小正方形的边长，
∴AC=3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．
故答案为3．
【分析】由网格知AB∥CD，即得AC⊥AB，AC⊥CD，从而得出两平行直线AB、CD之间的距离为AC的长，即得结论.
12．（2022七下·荷塘期末）在同一平面内，已知直线，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的距离为3，则直线b与直线c之间的距离为 .
【答案】2或8
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线abc，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的距离为3，
∴当直线c在直线a与b之间时，
则直线b与直线c之间的距离为5-3=2；
当直线c在直线a与b外面时，
则直线b与直线c之间的距离为5+3=8.
故答案为：2或8.
【分析】分两种情况：当直线c在直线a与b之间时和直线c在直线a与b外面时，据此分别解答即可.
13．（2022七下·北仑期中）如图，直线AE∥BD，点C在BD上．若AE＝5，BD＝8，三角形ABD的面积为16，则三角形ACE的面积为 ．
【答案】10
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，
∵△ABD的面积为16，BD=8，
∴ BD AF= ×8×AF=16，
解得AF=4，
∵AE∥BD，
∴AF的长是△ACE的高，
∴S△ACE= ×AE×4= ×5×4=10.
故答案为：10.
【分析】过点A作AF⊥BD于点F，根据△ABD的面积结合三角形的面积公式可得AF=4，然后根据三角形的面积公式可得△ACE的面积.
14．（2022·淮安）如图，在中，，若，则的度数是 .
【答案】40°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40°.
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，进而根据二直线平行，内错角相等得∠CAD=∠ACB，进而根据三角形的内角和算出∠ACB的度数即可.
15．（2022九上·海淀期中）已知的周长为，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据题意先求出，再求出即可作答。
16．（2022九上·惠州开学考）如图，点在平行四边形的边上，．若，，则的度数为 ．
【答案】90°
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠D=80°，
∴∠B=∠D=40°，AB=CD，AD∥BC，
∵BE=CD，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB=70°，
∵∠EAC=20°，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
故答案为：90°.
【分析】根据平行四边形的性质得出∠B=∠D=40°，AB=CD，AD∥BC，再根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠AEB=70°，从而得出∠BAC=90°，再根据平行线的性质得出∠ACD=∠BAC=90°，即可得出答案.
三、作图题（共8分）
17．（2022八下·余姚期中）如图，在6 8的网格图中，A，B，C三点都在格点上，连接AB，试以AB边，画两个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形（要求四个顶点都在格点上）．
【答案】解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；
（2）如图2，四边形ABCE为所作.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，画出以A、B、C、D为顶点作一个平行四边形ABCD即可；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，画出以A、B、D、C为顶点作一个平行四边形ABDC即可.
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2022八下·洋县期末）如图，在中，，点为上一点，连接，且，求的度数．
【答案】解：∵在中，，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C=70°，AD∥BC，根据等腰三角形的性质得出∠BEA=∠A=70°，再根据平行线的性质得出∠EBC=∠BEA=70°，即可得出答案.
19．（2021七下·浦东期中）如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积。
【答案】解：∵ ∠1=∠2，
∴ AD∥BC，
∴ △CAD和△ABC的高相等，
∵ AD=2BC，
∴S△CAD=2S△ABC=2×3=6.
【知识点】平行线的判定；平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC， 得出△CAD和△ABC的高相等，根据题意得出S△CAD=2S△ABC，即可得出答案.
20．（2022八下·历下期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E、F在对角线BD上，且BE=DF，连接AE、CF．求证：AE=CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质可得AE=CF。
21．（2021八下·杭州期末）如图，四边形 是平行四边形， 和 分别平分 和 ，交 于 ， . 与 相交于点 ，
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE；
（2）解：∵AD=6，DC=10，
∴DE=AD=6，
∴EC=DC-DE=10-6=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC=6，
∴∠CFB=∠FBA，
∵BF平分∠CBA，
∴∠CBF=∠FBA，
∴∠CFB=∠CBF，
∴BC=FC=6，
∴EF=FC-EC=6-4=2.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质以及平行线的性质可得：∠DEA=∠EAB，根据角平分线的概念可得∠DAE=∠BAE，进而推出∠DAE=∠DEA，据此证明；
（2）由（1）可得DE=AD=6，进而求出EC，由平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的概念可得∠CFB=∠CBF，进而求得BC=FC的值，最后根据EF=FC-EC计算即可.
22．（2021八上·成都期中）如图，AC平分∠BAD，∠DCA＝∠CAD，在CD的延长线上截取DE＝DA，连接AE.
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AE＝5，AC＝12，求线段CE的长；
（3）在（2）的条件下，若线段CE上有一点P，使△DPA的面积是△ACD面积的六分之一，求PC长.
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠DCA=∠CAD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴ ；
（2）解：∵DE＝DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DCA+∠CAD+∠DAE+∠DEA=180°，∠DCA＝∠CAD，
∴∠CAD+∠DAE=90°，即∠CAE=90°，
∴ ；
（3）解：如图所示，当P不在线段CD上时，
∵△ACD和△DPA的高相同，
∴ ，
∴ ，
∵∠DCA＝∠CAD，
∴ ，
∴ ，
同理当P在线段CD上时，
∴当 或 时△DPA的面积是△ACD面积的六分之一.
【知识点】平行线的判定；平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线定义和已知相等的角可得∠DCA=∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行可求解；
（2）由等边对等角可得∠DAE=∠DEA，由三角形内角和定理可得∠CAE=90°，再用勾股定理可求解；
（3）分两种情况讨论：①当P不在线段CD上时，由平行线间的距离相等可得△ACD和△DPA的高相同可得DP=CD，由等角对等边可得CD=AD=DE=CE，于是由线段的构成CP=CD+DP可得CP的值；②当P在线段CD上时，根据CP=CD-DP可求解.
23．（2022八下·余杭期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）.
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的 时，求t的值.
【答案】（1）解：平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝ BC＝ cm，
∴BG＝ ＝ （cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6× ＝9 （cm2）.
答：平行四边形ABCD的面积为9 cm2；
（2）解：当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝ AF＝ （cm），
∴△AEF的面积为： ×AE×FH＝ ×2× ＝ （cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为 cm2；
（3）解：∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9 cm2.
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的 时，△AEF的面积为：9 × ＝3 （cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝tcm，AF＝tcm，高为 AF＝ t（cm），
∴ ×t× t＝3 ，
∴t＝2 ＞3， ，不符合题意舍去；
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6），
∴ ×t× ＝3 ，
∴t=4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9）
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝ BE′＝ （t﹣6）（cm），E′H＝1.5 ﹣（t﹣6）＝ （9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9 ﹣ ×6× （t﹣6）﹣ ×[6﹣（t﹣3）]×[ （9﹣t）]﹣ （t﹣3）×1.5 ＝3 ，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴t=（不符合题意，舍）或t=，
当t=时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意.
综上所示，t的值为4或.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1） 由平行四边形的性质可得CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，∠A＝∠C＝60°，过点B作BG⊥CD于点G，从而求出∠CBG＝30°，根据含30°角直角三角形的性质得CG的长，利用勾股定理求出BG，根据平行四边形ABCD的面积=CD×BG即可求解；
（2）当t＝2s时，可求△AEF是等边三角形，如图，过点F作FH⊥AE于点H，根据含30°角直角三角形的性质得FH的长， 根据△AEF的面积= ×AE×FH即可求解；
（3）易求△AEF的面积=S四边形ABCD= 3 ，分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可.
24．（2022八下·杭州期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，交 于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，连接 ；
若 ，求平行四边 的面积；
设 ，试求 与 满足的关系.
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
平分 ，
是等边三角形，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
当 时， ，
平行四边 的面积 ；
四边形 是平行四边形，
， ，
是等边三角形，
，
的 边上的高等于 的 边上的高的一半，底 等于 的 倍，
设 边上的高为 ， 的长为 ，
， ，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，由角平分线的定义可得∠BAE=60°，可得△ABE是等边三角形，可得AB=AE；
（2）①由题意得 ， 结合（1）可得AE=CE=BE，从而求出∠BAC=90°，由∠ABC=60°可得AC=AB，据此求出AB的长，由平行四边形的面积=2S△ABC即可求解；②由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，，由△ABE时等边三角形，可得BE=AB=mBC，由于△BOE的 边上的高等于 的 边上的高的一半，底 等于 的 倍，设 边上的高为 ， 的长为 ，分别表示出四边形OECD和△AOD的面积，代入已知等式即可求解.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册4.2平行四边形 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·杭州期中）如图，直线a//b，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段AB B．线段AB的长度
C．线段CD D．线段CD的长度
2．（2022七下·馆陶期末）如图，直线，于，交于，直线交于点，于点，于点，若直线和之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·顺平期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
4．（2022八下·五华期末）如下图中，，cm，cm，若点P是上CD上任意一点，那么的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021七下·定州期中）如图，直线，P是直线AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变小
B．变大
C．不变
D．变大变小要看点P向左还是向右移动
6．（2022八上·岷县开学考）平行四边形中两个内角的度数比是1：3，则其中较小的内角是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·未央开学考）如图， 的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2022九上·宁波开学考）若平行四边形的一条边长为7，则它的两条对角线的长可以是（ ）
A．10和12 B．6和8 C．3和8 D．6和20
9．（2022八下·威县期末）在平行四边形ABCD中，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·铜梁开学考）如图，的对角线，交于点，若，，，则的周长为
A．14 B．17 C．18 D．19
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·涿州期末）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是 ．
12．（2022七下·荷塘期末）在同一平面内，已知直线，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的距离为3，则直线b与直线c之间的距离为 .
13．（2022七下·北仑期中）如图，直线AE∥BD，点C在BD上．若AE＝5，BD＝8，三角形ABD的面积为16，则三角形ACE的面积为 ．
14．（2022·淮安）如图，在中，，若，则的度数是 .
15．（2022九上·海淀期中）已知的周长为，则的长为 ．
16．（2022九上·惠州开学考）如图，点在平行四边形的边上，．若，，则的度数为 ．
三、作图题（共8分）
17．（2022八下·余姚期中）如图，在6 8的网格图中，A，B，C三点都在格点上，连接AB，试以AB边，画两个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形（要求四个顶点都在格点上）．
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2022八下·洋县期末）如图，在中，，点为上一点，连接，且，求的度数．
19．（2021七下·浦东期中）如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积。
20．（2022八下·历下期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E、F在对角线BD上，且BE=DF，连接AE、CF．求证：AE=CF．
21．（2021八下·杭州期末）如图，四边形 是平行四边形， 和 分别平分 和 ，交 于 ， . 与 相交于点 ，
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
22．（2021八上·成都期中）如图，AC平分∠BAD，∠DCA＝∠CAD，在CD的延长线上截取DE＝DA，连接AE.
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AE＝5，AC＝12，求线段CE的长；
（3）在（2）的条件下，若线段CE上有一点P，使△DPA的面积是△ACD面积的六分之一，求PC长.
23．（2022八下·余杭期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）.
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的 时，求t的值.
24．（2022八下·杭州期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，交 于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，连接 ；
若 ，求平行四边 的面积；
设 ，试求 与 满足的关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：由图可知：CD⊥a，CD⊥b，
∵a∥b，
∴CD为直线a，b的距离.
故答案为：D.
【分析】根据平行线间的距离，即垂直于平行线的线段，据此即可解答.
2．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】因为直线AB//CD， EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长．
故答案为：C．
【分析】根据直线之间的距离定义可得答案。
3．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分两种情况①当直线c在直线a、b外时，②直线c在直线a、b之间时，据此分别求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=30°，CD∥AB，
在Rt△CHB中，BC=8cm，∠ABC=30°，则CH= BC=4cm，
∵AB=12cm，
∴的面积是×12×4=24cm2，
故答案为：C．
【分析】过C作CH⊥AB于H，先利用含30°角的直角三角形的性质求出CH= BC=4cm，再利用三角形的面积公式计算即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：设平行线AB、CD间的距离为h，
则，
长度不变，h大小不变，
三角形的面积不变．
故答案为：C．
【分析】根据平行线之间的距离处处相等及三角形的面积公式可得三角形的面积不变。
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得：.
故答案为：B.
【分析】设∠A=3x，∠B=x，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠A+∠B=180°，据此求解.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，利用勾股定理可得BO，据此求解.
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设平行四边形的两条对角线的长为2a和2b（2a＞2b），
∵平行四边形的一条边长为7，
∴a+b＞7，a-b＜7，
∴2a+2b＞14，2a-2b＜14，
∵10+12＞14，12-10＜14，故A符合题意；
∵6+8=14，故B不符合题意；
∵3+8＜14， 故C不符合题意；
∵20-6=14，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】设平行四边形的两条对角线的长为2a和2b（2a＞2b），根据平行四边形的性质和三角形三边关系得出2a+2b＞14，2a-2b＜14，逐项进行判断，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质，结合求解即可。
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
∴△ABC的周长 ，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质可得，，，根据△OBC的周长=BC+OC+OB即可求解.
11．【答案】3
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：如图：
∵AB、CD为小正方形的边所在直线，
∴AB∥CD，
∴AC⊥AB，AC⊥CD，
∵AC的长为3个小正方形的边长，
∴AC=3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．
故答案为3．
【分析】由网格知AB∥CD，即得AC⊥AB，AC⊥CD，从而得出两平行直线AB、CD之间的距离为AC的长，即得结论.
12．【答案】2或8
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵直线abc，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的距离为3，
∴当直线c在直线a与b之间时，
则直线b与直线c之间的距离为5-3=2；
当直线c在直线a与b外面时，
则直线b与直线c之间的距离为5+3=8.
故答案为：2或8.
【分析】分两种情况：当直线c在直线a与b之间时和直线c在直线a与b外面时，据此分别解答即可.
13．【答案】10
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BD于点F，
∵△ABD的面积为16，BD=8，
∴ BD AF= ×8×AF=16，
解得AF=4，
∵AE∥BD，
∴AF的长是△ACE的高，
∴S△ACE= ×AE×4= ×5×4=10.
故答案为：10.
【分析】过点A作AF⊥BD于点F，根据△ABD的面积结合三角形的面积公式可得AF=4，然后根据三角形的面积公式可得△ACE的面积.
14．【答案】40°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40°.
【分析】由平行四边形的对边平行得AD∥BC，进而根据二直线平行，内错角相等得∠CAD=∠ACB，进而根据三角形的内角和算出∠ACB的度数即可.
15．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据题意先求出，再求出即可作答。
16．【答案】90°
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠D=80°，
∴∠B=∠D=40°，AB=CD，AD∥BC，
∵BE=CD，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB=70°，
∵∠EAC=20°，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
故答案为：90°.
【分析】根据平行四边形的性质得出∠B=∠D=40°，AB=CD，AD∥BC，再根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠AEB=70°，从而得出∠BAC=90°，再根据平行线的性质得出∠ACD=∠BAC=90°，即可得出答案.
17．【答案】解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；
（2）如图2，四边形ABCE为所作.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，画出以A、B、C、D为顶点作一个平行四边形ABCD即可；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，画出以A、B、D、C为顶点作一个平行四边形ABDC即可.
18．【答案】解：∵在中，，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C=70°，AD∥BC，根据等腰三角形的性质得出∠BEA=∠A=70°，再根据平行线的性质得出∠EBC=∠BEA=70°，即可得出答案.
19．【答案】解：∵ ∠1=∠2，
∴ AD∥BC，
∴ △CAD和△ABC的高相等，
∵ AD=2BC，
∴S△CAD=2S△ABC=2×3=6.
【知识点】平行线的判定；平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC， 得出△CAD和△ABC的高相等，根据题意得出S△CAD=2S△ABC，即可得出答案.
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质可得AE=CF。
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE；
（2）解：∵AD=6，DC=10，
∴DE=AD=6，
∴EC=DC-DE=10-6=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC=6，
∴∠CFB=∠FBA，
∵BF平分∠CBA，
∴∠CBF=∠FBA，
∴∠CFB=∠CBF，
∴BC=FC=6，
∴EF=FC-EC=6-4=2.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质以及平行线的性质可得：∠DEA=∠EAB，根据角平分线的概念可得∠DAE=∠BAE，进而推出∠DAE=∠DEA，据此证明；
（2）由（1）可得DE=AD=6，进而求出EC，由平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的概念可得∠CFB=∠CBF，进而求得BC=FC的值，最后根据EF=FC-EC计算即可.
22．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠DCA=∠CAD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴ ；
（2）解：∵DE＝DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DCA+∠CAD+∠DAE+∠DEA=180°，∠DCA＝∠CAD，
∴∠CAD+∠DAE=90°，即∠CAE=90°，
∴ ；
（3）解：如图所示，当P不在线段CD上时，
∵△ACD和△DPA的高相同，
∴ ，
∴ ，
∵∠DCA＝∠CAD，
∴ ，
∴ ，
同理当P在线段CD上时，
∴当 或 时△DPA的面积是△ACD面积的六分之一.
【知识点】平行线的判定；平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线定义和已知相等的角可得∠DCA=∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行可求解；
（2）由等边对等角可得∠DAE=∠DEA，由三角形内角和定理可得∠CAE=90°，再用勾股定理可求解；
（3）分两种情况讨论：①当P不在线段CD上时，由平行线间的距离相等可得△ACD和△DPA的高相同可得DP=CD，由等角对等边可得CD=AD=DE=CE，于是由线段的构成CP=CD+DP可得CP的值；②当P在线段CD上时，根据CP=CD-DP可求解.
23．【答案】（1）解：平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝ BC＝ cm，
∴BG＝ ＝ （cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6× ＝9 （cm2）.
答：平行四边形ABCD的面积为9 cm2；
（2）解：当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝ AF＝ （cm），
∴△AEF的面积为： ×AE×FH＝ ×2× ＝ （cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为 cm2；
（3）解：∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9 cm2.
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的 时，△AEF的面积为：9 × ＝3 （cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝tcm，AF＝tcm，高为 AF＝ t（cm），
∴ ×t× t＝3 ，
∴t＝2 ＞3， ，不符合题意舍去；
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6），
∴ ×t× ＝3 ，
∴t=4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9）
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝ BE′＝ （t﹣6）（cm），E′H＝1.5 ﹣（t﹣6）＝ （9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9 ﹣ ×6× （t﹣6）﹣ ×[6﹣（t﹣3）]×[ （9﹣t）]﹣ （t﹣3）×1.5 ＝3 ，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴t=（不符合题意，舍）或t=，
当t=时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意.
综上所示，t的值为4或.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1） 由平行四边形的性质可得CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，∠A＝∠C＝60°，过点B作BG⊥CD于点G，从而求出∠CBG＝30°，根据含30°角直角三角形的性质得CG的长，利用勾股定理求出BG，根据平行四边形ABCD的面积=CD×BG即可求解；
（2）当t＝2s时，可求△AEF是等边三角形，如图，过点F作FH⊥AE于点H，根据含30°角直角三角形的性质得FH的长， 根据△AEF的面积= ×AE×FH即可求解；
（3）易求△AEF的面积=S四边形ABCD= 3 ，分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可.
24．【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
平分 ，
是等边三角形，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
当 时， ，
平行四边 的面积 ；
四边形 是平行四边形，
， ，
是等边三角形，
，
的 边上的高等于 的 边上的高的一半，底 等于 的 倍，
设 边上的高为 ， 的长为 ，
， ，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，由角平分线的定义可得∠BAE=60°，可得△ABE是等边三角形，可得AB=AE；
（2）①由题意得 ， 结合（1）可得AE=CE=BE，从而求出∠BAC=90°，由∠ABC=60°可得AC=AB，据此求出AB的长，由平行四边形的面积=2S△ABC即可求解；②由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，，由△ABE时等边三角形，可得BE=AB=mBC，由于△BOE的 边上的高等于 的 边上的高的一半，底 等于 的 倍，设 边上的高为 ， 的长为 ，分别表示出四边形OECD和△AOD的面积，代入已知等式即可求解.
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