2023年浙教版数学八年级下册4.5三角形中位线 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·长沙期中）如图，在 中， 分别是 的中点， 分别是 的中点，且 ，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·潞城月考）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022九上·杭州开学考）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022九上·开学考）如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连结并延长至点，连结并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·怀宁月考）如图，平行四边形中，对角线相交于点，点E是的中点，则与的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
6．（2022九上·淇滨开学考）如图，是内一点，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．41
7．（2022九上·溪湖开学考）如图， 的对角线，相交于点，，，则 的周长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．（2022八下·平远期末）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
9．（2022八下·枣庄期末）如图，在平行四边形中，O为对角线的中点，，点E为中点，并且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022八下·历下期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·温州开学考）三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是 ．
12．（2022八下·紫金期末）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，顺次连接△ABC各边中点，得到的三角形面积是 ．
13．（2022八下·涿州期末）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C=68°，则∠AED= ．
14．（2022八下·虎林期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则 ．
15．（2022八下·本溪期末）如图，，是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点，顺次连接，，，，若，则四边形的周长是 ．
16．（2022八下·滕州期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值是 ．
三、作图题（共8分）
17．（2022·陕西模拟）如图，在 中，点 为 边的中点，请用尺规在 边上求作点 ，使得 .（保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2022八下·曲阳期末）如图，在中，，、分别是、的中点，试判断四边形的形状，并证明之．
19．（2022八下·南充期末）如图，在 中， ， ， 分别是边 ， 的中点， 在 的延长线上， ．求证： ．
20．（2022八下·舟山期末）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
21．（2022八下·杭州期中）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在对角线 上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长.
22．（2022八下·城固期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
23．（2022八下·房山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，D、E分别是的中点． 求证：∥，且．
方法一 证明：如图，延长至点F，使，连接． 方法二 证明：如图，过点C作∥交的延长线于F．
24．（2022八下·湖州期中）如图直角坐标系中直线AB与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知B（0，4），∠BAO＝30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．
（1）
求线段AB的长，及点A的坐标；
（2）t为何值时，△BPQ的面积为2 ；
（3）
若C为OA的中点，连接QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；
②是否存在时间t使x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3的两部分，若存在，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 分别是 的中点
同理：
故答案为：C.
【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，则BC=2DE，同理可得DE=2FG，据此计算.
2．【答案】B
【知识点】角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：B．
【分析】先证明是的中位线，再利用中位线的性质可得。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AD＝BC＝10，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴CD＝＝＝6，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE＝CD＝3.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝OC，AD＝BC＝10，由勾股定理可得CD，由题意可得OE是△ACD的中位线，则OE＝CD，据此计算.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
故答案为：C.
【分析】由题意可得AB是△CDE的中位线，则AB=DE，据此计算.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质得，由是的中点得，从而得解.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
，
，
∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
，，，，
四边形EFGH的周长.
故答案为：A.
【分析】易得∠BDC=90°，由勾股定理可得BC，由题意可得EF为△ABD的中位线，HG为△ACD的中位线，EH为△ABC的中位线，FG为△BCD的中位线，则EF=AD=3.5，GH=AD=3.5，EH=BC=6.5，GF=BC=6.5，然后根据周长的意义进行计算.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
，，，
，
，OE是△ABC的中位线，
，
ABCD的周长．
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质可得OA=OC，AD=BC，AB=CD，而AE=EB，所以OE是三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得BC=2OE，然后根据C平行四边形ABCD=2（AB+BC）可求解.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P是BD的中点，点E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AD，PE∥AD，
∴∠EPD=180°-∠ADB=80°，
同理可得，PF=BC，PE∥BC，
∴∠FPD=∠CBD=30°，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=×（180°-110°）=35°，
故答案为：D．
【分析】根据中位线的性质可得PE=AD，PE∥AD，PF=BC，PE∥BC，求出∠FPD=∠CBD=30°，再利用三角形的内角和可得∠PFE=×（180°-110°）=35°。
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵点O为AC的中点，点E为AD的中点，
∴OE∥CD，
∴∠COE＋∠ACD＝180°，
∴∠COE＝90°
∵∠D＝∠B＝53°，OF⊥BC，
∴∠FOC＝∠B＝53°，
∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝90°＋53°＝143°，
故答案为：D．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，根据点O为AC的中点，点E为AD的中点，得出OE∥CD，推出∠FOC＝∠B＝53°，即可得解。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接并延长，交延长线于G，如图：
，
，，
是中点，
，
，
，，
，
是中点，
是的中位线，
，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】连接并延长，交延长线于G，利用“AAS”证明可得，，再利用中位线的性质可得。
11．【答案】24
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，
∴三角形的三条边的长分别是6，8，10，
∴这个三角形的周长＝6+8+10＝24.
故答案为：24.
【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，由此可得三角形的三条边的长分别是6，8，10，据此可得三角形的周长.
12．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题可知， 连接△ABC各边中点得到的三角形是△ABC三边中位线构成的三角形，
∴得到的三角形面积是三角形ABC面积的，
即得到的三角形面积=86=6.
【分析】根据中位线的性质可得得到的三角形面积是三角形ABC面积的，再利用三角形的面积公式计算即可。
13．【答案】68°或68度
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝68°，
∴∠AED＝∠C＝68°．
故答案是：68°．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，利用平行线的性质可得∠AED＝∠C=68°.
14．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分和三角形中位线定理求得，再根据中位线定理求得CF.
15．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点，
、、、分别为、、、的中位线，
∵AD=CD=2，
，，
四边形的周长．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线的性质可得，，再利用四边形的周长公式计算即可。
16．【答案】6.5
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN，DB
点E、F分别为DM、MN的中点，
EF是的中位线
由题意得，当N与点B重合时，DN最大，此时EF的值最大
由勾股定理得，DB=
的最大值为6.5
故答案为：6.5．
【分析】连接DN，DB，先利用三角形的中位线的性质可得，再利用勾股定理求出DB的长即可。
17．【答案】解：如图，线段DE即为所求作.
∵∠BDE=∠C，
∴DE∥AC，
又点D为BC边的中点，
∴DE= AC.
【知识点】平行线的判定；作图-平行线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】以点D为角的顶点，BD为一边，在BC的上方作∠BDE=∠C，交AB于点E，利用同位角相等，两直线平行得 DE∥AC， 可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可知 DE= AC .
18．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，
∴M、N分别是BE、DF的中点，
∴EM＝BE＝DF＝NF，
而EM∥NF，
∴四边形MFNE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC， 易求DE＝BF ，结合DE∥BF可证四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得BE＝DF， 利用线段的中点可求出 EM＝NF， 结合EM∥NF，根据平行四边形的判定即证.
19．【答案】证明：∵ ， 分别是边 ， 的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DF∥AB，
∵
∴ ，
∵E是AC中点
∴DE垂直平分AC
∴AF=CF
∵
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 易得DE是△ABC的中位线 ，可得DF∥AB，利用平行线的性质可得∠DEC=∠BAC=90°，即得DE垂直平分AC，可得AF=CF，根据直角三角形斜边中线的性质可得AD=BD=CD，结合AF=BD，可得CF=CD.
20．【答案】（1）证明：∵点 D，E分别是边 AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵ CF∥AB，
∴四边形 BCFD 是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，E为 AC 的中点，
∴BE⊥AC．
∵AB＝2DB＝4， BE＝3，
∴
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，再利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用等腰三角形三线合一的性质可证得BE⊥AC，可得到AB的长，再利用勾股定理求出AE的长，即可得到AC的长.
21．【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于点 ，如图：
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
.
的长为2.5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠GAE=∠HCF，根据SAS证明△AGE≌△CHF，可得GE=HF，∠AEG=∠CFH，即得∠GEF=∠HFE，根据平行线的判定可得GE∥FH，根据平行线的判定定理即证结论；
（2） 连接 交 于点 ，由平行四边形的性质可得OB=OD=5，由AE=CF，OA=OC，AE+CF=EF，可推出AE=OE，易得EG是△ABO的中位线，可得EG=OB，继而得解.
22．【答案】（1）证明：∵∠ACD+∠BCD=∠ABC=90°，
∵∠ADC+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵ AE平分∠CAB ，
∴AE⊥CD，CE=ED（三线合一），
即AE垂直平分CD；
（2）解：∵∠ABC=90°，
∴AB==10，
由（1）得AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵CE=ED，CF=FB，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF=BD=2.
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据余角的性质求出∠ACD=∠ADC，得出△ACD为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质，即可证出结论；
(2)根据勾股定理先求出AB，再根据线段的和差关系求出BD，然后根据三角形中位线定理求EF长即可.
23．【答案】证明∶方法一：如图，延长至点F，使，连接．
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，DE=EF，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，∠A=∠ECF，
∴AB∥CF，即BD∥CF，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF=BC，DF∥BC，
∵，
∴∥，且．
方法二：过点C作∥交的延长线于F．
∴∠A=∠ECF，
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，DE=EF，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=CF，
∵CF∥BD，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF=BC，DF∥BC，
∵，
∴∥，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用平行四边形的判定方法和性质求解即可。
24．【答案】（1）解：∵B（0，4），
∴OB＝4，
在 Rt△AOB 中，∠BAO＝30°
∴ ，
∴
（2）解：如图1，
由运动知，OP＝3t，BQ＝8t，
∴BP＝4﹣3t，
过点Q作QH⊥OB于H，
∴
∵ 的面积为 ，
∴
∴t＝1 或t＝
即： 秒或 秒时， 的面积为
（3）解：①当点D在y轴上时，QC∥PD，
∵C 是 OA 中点，
∴BQ＝ AB＝4，
∴8t＝4，
∴t＝ ，
当点 D 在 x 轴上时，PQ∥AD，
∴∠BPQ＝90°，∠BQP=∠BAO=30°，
∴ BH=BQ＝4t，即4-3t=4t，
∴
即： 秒或 秒时， 点 恰好落在坐标轴上
②如图，连接 PC，过点Q作QH⊥OB于H，过点D作DF⊥OA于F，
∵四边形CDPQ是平行四边形，
∴ ，
∵x 轴恰好将平行四边形 PQCD 的面积分成 1：3 的两部分，
∴
∴点 E 是 DP 的中点，
易知，DF＝OP＝3t，
延长DF，PQ 相交于M，延长HQ交DM于N，
∵CD∥PQ，
∴∠M＝∠CDF，∠M＝∠HPQ，
∴∠CDF＝∠HPQ，
∵CD＝PQ，
∴△CDF≌△QPH，
∴PH＝DF＝3t，
∵BH＝ BQ＝4t，
∴4t+3t+3t＝4，
∴t＝ ．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半，等于令一直角边的，可求得AB和BC的长，即可得出A点坐标；
（2）先由t表示出OP，BQ的长，从而得到BP＝4﹣3t，过点Q作QH⊥OB于H，根据三角形的面积公式列出关于t的方程，解之即可求得t；
（3）①分两种情况：（Ⅰ）当点D在y轴上时，QC∥PD，可得Q是AB中点，得BQ＝AB＝4，即8t＝4，解得t值即可；（Ⅱ）当点 D 在 x 轴上时，PQ∥AD，可得∠BPQ＝90°，∠BQP=∠BAO=30°，从而得到BH=BQ＝4t，即得4-3t=4t，解得t=. 据此解答即可；②连接 PC，过点Q作QH⊥OB于H，过点D作DF⊥OA于F，由平行四边形性质得 ，根据x 轴恰好将平行四边形 PQCD面积分成 1：3 的两部分得，可得点 E 是 DP 的中点，DF＝OP＝3t；延长DF，PQ 相交于M，延长HQ交DM于N，由平行线的性质推出∠CDF＝∠HPQ，从而证得△CDF≌△QPH，可得PH＝DF＝3t，结合①结论BH＝ BQ＝4t，从而得4t+3t+3t＝4，解得t值，即可解决问题.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册4.5三角形中位线 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·长沙期中）如图，在 中， 分别是 的中点， 分别是 的中点，且 ，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 分别是 的中点
同理：
故答案为：C.
【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，则BC=2DE，同理可得DE=2FG，据此计算.
2．（2022九上·潞城月考）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：B．
【分析】先证明是的中位线，再利用中位线的性质可得。
3．（2022九上·杭州开学考）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AD＝BC＝10，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴CD＝＝＝6，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE＝CD＝3.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝OC，AD＝BC＝10，由勾股定理可得CD，由题意可得OE是△ACD的中位线，则OE＝CD，据此计算.
4．（2022九上·开学考）如图，为了测量池塘边、两地之间的距离，在线段的同侧取一点，连结并延长至点，连结并延长至点，使得、分别是、的中点，若，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
故答案为：C.
【分析】由题意可得AB是△CDE的中位线，则AB=DE，据此计算.
5．（2022九上·怀宁月考）如图，平行四边形中，对角线相交于点，点E是的中点，则与的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的性质得，由是的中点得，从而得解.
6．（2022九上·淇滨开学考）如图，是内一点，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．41
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
，
，
∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
，，，，
四边形EFGH的周长.
故答案为：A.
【分析】易得∠BDC=90°，由勾股定理可得BC，由题意可得EF为△ABD的中位线，HG为△ACD的中位线，EH为△ABC的中位线，FG为△BCD的中位线，则EF=AD=3.5，GH=AD=3.5，EH=BC=6.5，GF=BC=6.5，然后根据周长的意义进行计算.
7．（2022九上·溪湖开学考）如图， 的对角线，相交于点，，，则 的周长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
，，，
，
，OE是△ABC的中位线，
，
ABCD的周长．
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质可得OA=OC，AD=BC，AB=CD，而AE=EB，所以OE是三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得BC=2OE，然后根据C平行四边形ABCD=2（AB+BC）可求解.
8．（2022八下·平远期末）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P是BD的中点，点E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AD，PE∥AD，
∴∠EPD=180°-∠ADB=80°，
同理可得，PF=BC，PE∥BC，
∴∠FPD=∠CBD=30°，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=×（180°-110°）=35°，
故答案为：D．
【分析】根据中位线的性质可得PE=AD，PE∥AD，PF=BC，PE∥BC，求出∠FPD=∠CBD=30°，再利用三角形的内角和可得∠PFE=×（180°-110°）=35°。
9．（2022八下·枣庄期末）如图，在平行四边形中，O为对角线的中点，，点E为中点，并且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵点O为AC的中点，点E为AD的中点，
∴OE∥CD，
∴∠COE＋∠ACD＝180°，
∴∠COE＝90°
∵∠D＝∠B＝53°，OF⊥BC，
∴∠FOC＝∠B＝53°，
∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝90°＋53°＝143°，
故答案为：D．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，根据点O为AC的中点，点E为AD的中点，得出OE∥CD，推出∠FOC＝∠B＝53°，即可得解。
10．（2022八下·历下期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接并延长，交延长线于G，如图：
，
，，
是中点，
，
，
，，
，
是中点，
是的中位线，
，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】连接并延长，交延长线于G，利用“AAS”证明可得，，再利用中位线的性质可得。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·温州开学考）三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是 ．
【答案】24
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，
∴三角形的三条边的长分别是6，8，10，
∴这个三角形的周长＝6+8+10＝24.
故答案为：24.
【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，由此可得三角形的三条边的长分别是6，8，10，据此可得三角形的周长.
12．（2022八下·紫金期末）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，顺次连接△ABC各边中点，得到的三角形面积是 ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题可知， 连接△ABC各边中点得到的三角形是△ABC三边中位线构成的三角形，
∴得到的三角形面积是三角形ABC面积的，
即得到的三角形面积=86=6.
【分析】根据中位线的性质可得得到的三角形面积是三角形ABC面积的，再利用三角形的面积公式计算即可。
13．（2022八下·涿州期末）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C=68°，则∠AED= ．
【答案】68°或68度
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝68°，
∴∠AED＝∠C＝68°．
故答案是：68°．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，利用平行线的性质可得∠AED＝∠C=68°.
14．（2022八下·虎林期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则 ．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分和三角形中位线定理求得，再根据中位线定理求得CF.
15．（2022八下·本溪期末）如图，，是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点，顺次连接，，，，若，则四边形的周长是 ．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点，
、、、分别为、、、的中位线，
∵AD=CD=2，
，，
四边形的周长．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线的性质可得，，再利用四边形的周长公式计算即可。
16．（2022八下·滕州期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5．点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值是 ．
【答案】6.5
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN，DB
点E、F分别为DM、MN的中点，
EF是的中位线
由题意得，当N与点B重合时，DN最大，此时EF的值最大
由勾股定理得，DB=
的最大值为6.5
故答案为：6.5．
【分析】连接DN，DB，先利用三角形的中位线的性质可得，再利用勾股定理求出DB的长即可。
三、作图题（共8分）
17．（2022·陕西模拟）如图，在 中，点 为 边的中点，请用尺规在 边上求作点 ，使得 .（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，线段DE即为所求作.
∵∠BDE=∠C，
∴DE∥AC，
又点D为BC边的中点，
∴DE= AC.
【知识点】平行线的判定；作图-平行线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】以点D为角的顶点，BD为一边，在BC的上方作∠BDE=∠C，交AB于点E，利用同位角相等，两直线平行得 DE∥AC， 可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可知 DE= AC .
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2022八下·曲阳期末）如图，在中，，、分别是、的中点，试判断四边形的形状，并证明之．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，
∴M、N分别是BE、DF的中点，
∴EM＝BE＝DF＝NF，
而EM∥NF，
∴四边形MFNE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC， 易求DE＝BF ，结合DE∥BF可证四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得BE＝DF， 利用线段的中点可求出 EM＝NF， 结合EM∥NF，根据平行四边形的判定即证.
19．（2022八下·南充期末）如图，在 中， ， ， 分别是边 ， 的中点， 在 的延长线上， ．求证： ．
【答案】证明：∵ ， 分别是边 ， 的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DF∥AB，
∵
∴ ，
∵E是AC中点
∴DE垂直平分AC
∴AF=CF
∵
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 易得DE是△ABC的中位线 ，可得DF∥AB，利用平行线的性质可得∠DEC=∠BAC=90°，即得DE垂直平分AC，可得AF=CF，根据直角三角形斜边中线的性质可得AD=BD=CD，结合AF=BD，可得CF=CD.
20．（2022八下·舟山期末）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵点 D，E分别是边 AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵ CF∥AB，
∴四边形 BCFD 是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，E为 AC 的中点，
∴BE⊥AC．
∵AB＝2DB＝4， BE＝3，
∴
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，再利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用等腰三角形三线合一的性质可证得BE⊥AC，可得到AB的长，再利用勾股定理求出AE的长，即可得到AC的长.
21．（2022八下·杭州期中）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在对角线 上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于点 ，如图：
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
.
的长为2.5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠GAE=∠HCF，根据SAS证明△AGE≌△CHF，可得GE=HF，∠AEG=∠CFH，即得∠GEF=∠HFE，根据平行线的判定可得GE∥FH，根据平行线的判定定理即证结论；
（2） 连接 交 于点 ，由平行四边形的性质可得OB=OD=5，由AE=CF，OA=OC，AE+CF=EF，可推出AE=OE，易得EG是△ABO的中位线，可得EG=OB，继而得解.
22．（2022八下·城固期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACD+∠BCD=∠ABC=90°，
∵∠ADC+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵ AE平分∠CAB ，
∴AE⊥CD，CE=ED（三线合一），
即AE垂直平分CD；
（2）解：∵∠ABC=90°，
∴AB==10，
由（1）得AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵CE=ED，CF=FB，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF=BD=2.
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据余角的性质求出∠ACD=∠ADC，得出△ACD为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质，即可证出结论；
(2)根据勾股定理先求出AB，再根据线段的和差关系求出BD，然后根据三角形中位线定理求EF长即可.
23．（2022八下·房山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，D、E分别是的中点． 求证：∥，且．
方法一 证明：如图，延长至点F，使，连接． 方法二 证明：如图，过点C作∥交的延长线于F．
【答案】证明∶方法一：如图，延长至点F，使，连接．
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，DE=EF，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，∠A=∠ECF，
∴AB∥CF，即BD∥CF，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF=BC，DF∥BC，
∵，
∴∥，且．
方法二：过点C作∥交的延长线于F．
∴∠A=∠ECF，
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，DE=EF，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=CF，
∵CF∥BD，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF=BC，DF∥BC，
∵，
∴∥，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用平行四边形的判定方法和性质求解即可。
24．（2022八下·湖州期中）如图直角坐标系中直线AB与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知B（0，4），∠BAO＝30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．
（1）
求线段AB的长，及点A的坐标；
（2）t为何值时，△BPQ的面积为2 ；
（3）
若C为OA的中点，连接QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；
②是否存在时间t使x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3的两部分，若存在，直接写出t的值．
【答案】（1）解：∵B（0，4），
∴OB＝4，
在 Rt△AOB 中，∠BAO＝30°
∴ ，
∴
（2）解：如图1，
由运动知，OP＝3t，BQ＝8t，
∴BP＝4﹣3t，
过点Q作QH⊥OB于H，
∴
∵ 的面积为 ，
∴
∴t＝1 或t＝
即： 秒或 秒时， 的面积为
（3）解：①当点D在y轴上时，QC∥PD，
∵C 是 OA 中点，
∴BQ＝ AB＝4，
∴8t＝4，
∴t＝ ，
当点 D 在 x 轴上时，PQ∥AD，
∴∠BPQ＝90°，∠BQP=∠BAO=30°，
∴ BH=BQ＝4t，即4-3t=4t，
∴
即： 秒或 秒时， 点 恰好落在坐标轴上
②如图，连接 PC，过点Q作QH⊥OB于H，过点D作DF⊥OA于F，
∵四边形CDPQ是平行四边形，
∴ ，
∵x 轴恰好将平行四边形 PQCD 的面积分成 1：3 的两部分，
∴
∴点 E 是 DP 的中点，
易知，DF＝OP＝3t，
延长DF，PQ 相交于M，延长HQ交DM于N，
∵CD∥PQ，
∴∠M＝∠CDF，∠M＝∠HPQ，
∴∠CDF＝∠HPQ，
∵CD＝PQ，
∴△CDF≌△QPH，
∴PH＝DF＝3t，
∵BH＝ BQ＝4t，
∴4t+3t+3t＝4，
∴t＝ ．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半，等于令一直角边的，可求得AB和BC的长，即可得出A点坐标；
（2）先由t表示出OP，BQ的长，从而得到BP＝4﹣3t，过点Q作QH⊥OB于H，根据三角形的面积公式列出关于t的方程，解之即可求得t；
（3）①分两种情况：（Ⅰ）当点D在y轴上时，QC∥PD，可得Q是AB中点，得BQ＝AB＝4，即8t＝4，解得t值即可；（Ⅱ）当点 D 在 x 轴上时，PQ∥AD，可得∠BPQ＝90°，∠BQP=∠BAO=30°，从而得到BH=BQ＝4t，即得4-3t=4t，解得t=. 据此解答即可；②连接 PC，过点Q作QH⊥OB于H，过点D作DF⊥OA于F，由平行四边形性质得 ，根据x 轴恰好将平行四边形 PQCD面积分成 1：3 的两部分得，可得点 E 是 DP 的中点，DF＝OP＝3t；延长DF，PQ 相交于M，延长HQ交DM于N，由平行线的性质推出∠CDF＝∠HPQ，从而证得△CDF≌△QPH，可得PH＝DF＝3t，结合①结论BH＝ BQ＝4t，从而得4t+3t+3t＝4，解得t值，即可解决问题.
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