2023年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·福州开学考）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022八下·昌图期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
3．（2022八下·景谷期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·费县期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（ ）
A．1.5cm B．2.5cm C．3.5cm D．0.5cm
5．（2022八下·双台子期末）如图，在中，，，、、分别为、、的中点，连接、，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
6．（2022八下·乐昌期末）下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB=CD，AD=BC②AB=CD，ABCD ③AB=CD，ADBC④ABCD，ADBC
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
7．（2022八下·乐亭期末）如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
8．（2022八下·城固期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022八下·大兴期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
10．（2022八下·承德期末）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·上林期末）在四边形ABCD中，，，若，则 .
12．（2022九上·杭州开学考）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
13．（2022八下·太原期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 ．
14．（2022八下·大兴期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△BCD的面积的大小关系为：S△ABC S△BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
15．（2022八上·渠县期末）如图，已知（，且），在的两边上各任取一点，分别记为，过该两点分别引一条直线，并使得该直线与所在的边夹角也为，设两条直线交于点O，则的数量应是 .
16．如图所示，在 ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形。
三、作图题（共8分）
17．（2022八下·南浔期末）如图，在10×10的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点A和点B都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．
（1）图1中，以AB为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
（2）图2中，以AB为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10．
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2022九上·秦都开学考）如图所示，在 中，点，是对角线上的两点，且，连接，，，求证：四边形是平行四边形．
19．（2022八下·镇巴期末）如图所示，已知点在平行四边形的对角线上，且，连接，.求证：四边形是平行四边形.
20．（2022八下·曹妃甸期末）先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：，D是边上一点，如图1．
求作：四边形，使得四边形是平行四边形．
小明的做法如下：
⑴设计方案
先一个正确的草图，如图2， 再分析实现目标的具体方法．
⑵设计作图步骤，完成作图
作法：如图3， ①以点C为圆心、为半径画弧； ②再以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点F； ③连接与． ∴四边形即为所求． 请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
⑶推理论证
证明：∵ ， ∴四边形DBCF是平行四边形．（ ）（填推理依据）
21．（2022八下·义乌期中）已知点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求 AECF的周长．
22．（2021八下·临海期中）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE.
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
23．（2021八下·拱墅月考）如图，平行四边形ABCD，AD＝AC，AD⊥AC.
（1）如图1，点E在AD延长线上，CE∥BD，求证：点D为AE中点；
（2）如图2，点E在AB中点，F是AC延长线上一点，且ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（3）在（2）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（先补全图形再解答）.
24．（2022八下·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝ ，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图示，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有B符合条件．
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∠DAC=∠BCA
，
四边形是平行四边形，
故A不符合题意；
∠ABO=∠CDO
又 AB=CD，
四边形是平行四边形，
故B不符合题意；
AC=2AO，BD=2BO
四边形是平行四边形，
故C不符合题意；
D. 条件不足无法判断，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3.5cm，
∴EC＝BC BE＝5 3.5＝1.5（cm），
∴AF=1.5cm
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE＝3.5，再证明四边形AECF是平行四边形，可得AF=CE，最后利用线段的和差可得EC＝BC BE＝5 3.5＝1.5，从而可得AF的长。
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF=BC=1，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（1+）=5．
故答案为：A．
【分析】先证明四边形DBEF为平行四边形，再利用平行四边形的周长公式计算即可。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
③不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
∴①②④符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
∴①不符合题意，②符合题意
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定方法求解即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等，
∴都是平行四边形，
故答案为： D．
【分析】根据平行四边形的判定方法作图求解即可。
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形
四边形为平行四边形．
乙方案：
四边形是平行四边形
，，
又
(AAS)
四边形为平行四边形．
丙方案：
四边形是平行四边形
，，，
又分别平分
， 即
（ASA）
四边形为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故答案为：A．
【分析】连接交于点，方案甲：由平行四边形的性质可得，从而推出ON=OM，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故甲正确；方案乙：由平行四边形的性质可得，，，再证明，可得，由BO=DO可推出ON=OM，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故乙正确；方案丙：由平行四边形的性质可得，，，，结合角平分线的定义，可得，证明（ASA），可得，从而推出ON=OM，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故丙正确.
11．【答案】140°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，然后结合∠A的度数就可求出∠B的度数.
12．【答案】4.5
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，
∴AE＝1，AF＝3，
∴S平行四边形ABCD=BC·AE＝CD·AF=AB·AF，
∴BC＝3AB；
∵AB＋BC＝6，
∴4AB=6
解之：AB＝1.5，
∴S平行四边形ABCD=AB·AF=1.5×3=4.5.
故答案为：4.5.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB=CD，结合已知可得到AE，AF的长，利用平行四边形的面积公式可证得BC＝3AB，由AB＋BC＝6，可求出AB的长，然后求出平行四边形ABCD的面积.
13．【答案】或45度
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点，
∴∥，且．
∵EF＝DE，
∴，
∴，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴．
故答案为：
【分析】先证明四边形BCFD为平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
14．【答案】＝
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD
故答案为：＝．
【分析】连接AD，由勾股定理可求出AB=BC=2，AB=CD=2，根据两组对边分别相等可证四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据同底等高可得S△ABC=S△BCD；
15．【答案】 或 或
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意知，分四种情况进行讨论：①如图1， ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ；
②如图2， ，
∴ ；
③如图3， ，
∴ ；
④如图4， ，
∴
∴ ；
故答案为： 或 或 .
【分析】由题意知：分四种情况进行讨论：①PO∥AQ，OQ∥AP，则四边形AQOP是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得∠POQ的度数；②QO∥AP，∠APO=α，由平行线的性质可得∠POQ=∠APO；③PO∥AQ，∠AQQ=α，根据平行线的性质可得∠POQ的度数；④∠APO=α，∠AQO=α，由外角的性质可得∠PBQ=2α，据此求解.
16．【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 当点E，F的位置满足AE=CF的条件时，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OA-OE=OC-OF，即OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
故答案为：AE=CF.
【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，然后利用线段的和差关系得出OE=OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形.
17．【答案】（1）解：答案不唯一
（2）解：答案不唯一
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用格点的特点或勾股定理，可得到AB的长，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，画出以AB为边的格点平行四边形即可.
（2）利用平行四边形的对角线分得的两个三角形的面积相等，画出以AB为对角线的格点平行四边形且此平行四边形的面积为10.
18．【答案】证明：连接，交于点，如图．
四边形是平行四边形，
，平行四边形的对角线互相平分．
，，
，即，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，结合AE=CF，根据线段的和差关系可得OE=OF，然后根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行证明.
19．【答案】证明：连接AC，交BD于点O，
∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC，交BD于点O，利用平行四边形的性质：对角线互相平分，可证得OA=OC，OB=OD；再由BE=DF，可证得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
20．【答案】解：(2)如图：
(3)证明：∵CF=BD，DF=BC
∴四边形DBCF是平行四边形．（两组对边相等的四边形是平行四边形）
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】以点C为圆心、为半径画弧；再以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点F；连接与，根据两组对边相等的四边形是平行四边即可判断 ．
21．【答案】（1）证明：∵ ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点．，
∴AF=AD，CE=BC，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）解：∵∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AE是中线，
∴AE=EC=BC=6
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
∴四边形AECF的周长为4×6=24.
【知识点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，利用线段的中点的定义去证明AF=CE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AE的长，同时可证得AE=EC；再利用有一组邻边相等的平行四边形，可证得四边形AECF是菱形，然后求出菱形AECF的周长.
22．【答案】（1）证明：在△ABF与△DEC中，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△ABF与△DEC中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴ED=FD，
∵BD=CD，
∴四边形BECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BECF是平行四边形，
∴DE=DF，S△BDE=S△CDF，S△BDF=S△CDE，
∵AF=FD，
∴AF=DF=DE，
∴AD=EF，
∴与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得BD=CD，根据垂直的概念可得∠BED=∠CFD=90°，然后证明△BED≌△CFD，得到ED=FD，接下来根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明；
（2）根据平行四边形的性质可得DE=DF，S△BDE=S△CDF，S△BDF=S△CDE，根据AF=FD可得AD=EF，然后结合三角形的面积公式进行解答.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，DC＝AB，
∴∠EDC＝∠DAB，
CE∥BD，
∴∠E＝∠ADB，
∴△EDC≌△DAB（AAS），
∴ED＝DA；
即点D为AE中点
（2）证明：在 ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，
∴AC＝BC，AC⊥BC，
连接CE，如图1所示：
∵E是AB的中点，
∴AE＝EC，CE⊥AB，
∴∠CAE＝∠BCE＝45°，
∴∠ECF＝∠EAD＝135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（ASA），
∴ED＝EF
（3）解：四边形ACPE为平行四边形，如图2，
理由如下：
由（2）知△CEF≌△AED，
∴CF＝AD，
∵AD＝AC，
∴AC＝CF，
∵DP∥AB，
∴FP＝PB，
∴CP＝ AB＝AE，
∴四边形ACPE为平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，再利用角角边定理证明△EDC≌△DAB，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到 AD＝AC，AD⊥AC，连接CE，结合等腰直角三角形的性质，利用边角边定理证明△CEF≌△AED，即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP＝ AB＝AE， 根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形.
24．【答案】（1）解：∵点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），
∴OA=4，OB=8，
∵点C运动到线段OB的中点，
∴OC=BC=OB=4，
∵动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，
∴2t=4
解之：t=2；
∵PE=OA=4，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，
∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6
∴点E（6，0）
（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，OC∥PD，
∴∠COP=∠OPD，
∴∠AOC=∠DPE
在△AOC和△EPD中
∴△AOC≌△EPD（SAS）
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形.
（3）解：t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）∵点C（0，8-2t），点P（t，0），点E（t+4，0）
∵在线段PE上取点F，使PF＝3，
∴点F（t+3，0），点D（t，2t-8），
设直线CE的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴
同理可得直线DE的解析式为
当点M在CE上，
∴M（t+3，），N（t+3，-1）
解之：；
当点N在直线DE上时
解之：t=2；
当点M在DE上时
解之：；
当点N在直线CE上时
解之：t=12；
∴t的值为 t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12 .
【分析】（1）利用点A，B的坐标可求出OA，OB的长，利用线段中点的定义可求出BC的长；再利用动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；再根据点P的运动方向及速度，OE=OP+PE，代入计算求出OE的长，即可得到点E的坐标.
（2）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得到OC=PD，∠AOC=∠DPE，利用SAS证明△AOC≌△EPD，利用全等三角形的性质可证得AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（3）利用PF=3及MN⊥PE，FM＝ ，FN＝1， 点M，N分别在第一、四象限， 且点M，N有一点落在四边形ADEC的边上，分别用含t的代数式表示出点C，P，E，F，D，M，N的坐标；利用待定系数法分别求出直线CE和直线DE的函数解析式；再分情况讨论：当点M在CE上；当点N在直线DE上时；当点M在DE上时；当点N在直线CE上时；分别将点代入函数解析式，分别得到关于t的方程，解方程求出t的值.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·福州开学考）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图示，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有B符合条件．
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2．（2022八下·昌图期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∠DAC=∠BCA
，
四边形是平行四边形，
故A不符合题意；
∠ABO=∠CDO
又 AB=CD，
四边形是平行四边形，
故B不符合题意；
AC=2AO，BD=2BO
四边形是平行四边形，
故C不符合题意；
D. 条件不足无法判断，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
3．（2022八下·景谷期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
4．（2022八下·费县期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（ ）
A．1.5cm B．2.5cm C．3.5cm D．0.5cm
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3.5cm，
∴EC＝BC BE＝5 3.5＝1.5（cm），
∴AF=1.5cm
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE＝3.5，再证明四边形AECF是平行四边形，可得AF=CE，最后利用线段的和差可得EC＝BC BE＝5 3.5＝1.5，从而可得AF的长。
5．（2022八下·双台子期末）如图，在中，，，、、分别为、、的中点，连接、，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF=BC=1，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（1+）=5．
故答案为：A．
【分析】先证明四边形DBEF为平行四边形，再利用平行四边形的周长公式计算即可。
6．（2022八下·乐昌期末）下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB=CD，AD=BC②AB=CD，ABCD ③AB=CD，ADBC④ABCD，ADBC
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
③不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
∴①②④符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
7．（2022八下·乐亭期末）如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
∴①不符合题意，②符合题意
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定方法求解即可。
8．（2022八下·城固期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
9．（2022八下·大兴期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等，
∴都是平行四边形，
故答案为： D．
【分析】根据平行四边形的判定方法作图求解即可。
10．（2022八下·承德期末）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形
四边形为平行四边形．
乙方案：
四边形是平行四边形
，，
又
(AAS)
四边形为平行四边形．
丙方案：
四边形是平行四边形
，，，
又分别平分
， 即
（ASA）
四边形为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故答案为：A．
【分析】连接交于点，方案甲：由平行四边形的性质可得，从而推出ON=OM，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故甲正确；方案乙：由平行四边形的性质可得，，，再证明，可得，由BO=DO可推出ON=OM，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故乙正确；方案丙：由平行四边形的性质可得，，，，结合角平分线的定义，可得，证明（ASA），可得，从而推出ON=OM，根据对角线互相平分可证四边形为平行四边形，故丙正确.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·上林期末）在四边形ABCD中，，，若，则 .
【答案】140°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，然后结合∠A的度数就可求出∠B的度数.
12．（2022九上·杭州开学考）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】4.5
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，
∴AE＝1，AF＝3，
∴S平行四边形ABCD=BC·AE＝CD·AF=AB·AF，
∴BC＝3AB；
∵AB＋BC＝6，
∴4AB=6
解之：AB＝1.5，
∴S平行四边形ABCD=AB·AF=1.5×3=4.5.
故答案为：4.5.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB=CD，结合已知可得到AE，AF的长，利用平行四边形的面积公式可证得BC＝3AB，由AB＋BC＝6，可求出AB的长，然后求出平行四边形ABCD的面积.
13．（2022八下·太原期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 ．
【答案】或45度
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点，
∴∥，且．
∵EF＝DE，
∴，
∴，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴．
故答案为：
【分析】先证明四边形BCFD为平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
14．（2022八下·大兴期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△BCD的面积的大小关系为：S△ABC S△BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】＝
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD
故答案为：＝．
【分析】连接AD，由勾股定理可求出AB=BC=2，AB=CD=2，根据两组对边分别相等可证四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据同底等高可得S△ABC=S△BCD；
15．（2022八上·渠县期末）如图，已知（，且），在的两边上各任取一点，分别记为，过该两点分别引一条直线，并使得该直线与所在的边夹角也为，设两条直线交于点O，则的数量应是 .
【答案】 或 或
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意知，分四种情况进行讨论：①如图1， ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ；
②如图2， ，
∴ ；
③如图3， ，
∴ ；
④如图4， ，
∴
∴ ；
故答案为： 或 或 .
【分析】由题意知：分四种情况进行讨论：①PO∥AQ，OQ∥AP，则四边形AQOP是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得∠POQ的度数；②QO∥AP，∠APO=α，由平行线的性质可得∠POQ=∠APO；③PO∥AQ，∠AQQ=α，根据平行线的性质可得∠POQ的度数；④∠APO=α，∠AQO=α，由外角的性质可得∠PBQ=2α，据此求解.
16．如图所示，在 ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形。
【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 当点E，F的位置满足AE=CF的条件时，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OA-OE=OC-OF，即OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
故答案为：AE=CF.
【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，然后利用线段的和差关系得出OE=OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形.
三、作图题（共8分）
17．（2022八下·南浔期末）如图，在10×10的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点A和点B都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．
（1）图1中，以AB为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
（2）图2中，以AB为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10．
【答案】（1）解：答案不唯一
（2）解：答案不唯一
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用格点的特点或勾股定理，可得到AB的长，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，画出以AB为边的格点平行四边形即可.
（2）利用平行四边形的对角线分得的两个三角形的面积相等，画出以AB为对角线的格点平行四边形且此平行四边形的面积为10.
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2022九上·秦都开学考）如图所示，在 中，点，是对角线上的两点，且，连接，，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，交于点，如图．
四边形是平行四边形，
，平行四边形的对角线互相平分．
，，
，即，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，结合AE=CF，根据线段的和差关系可得OE=OF，然后根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行证明.
19．（2022八下·镇巴期末）如图所示，已知点在平行四边形的对角线上，且，连接，.求证：四边形是平行四边形.
【答案】证明：连接AC，交BD于点O，
∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC，交BD于点O，利用平行四边形的性质：对角线互相平分，可证得OA=OC，OB=OD；再由BE=DF，可证得OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
20．（2022八下·曹妃甸期末）先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：，D是边上一点，如图1．
求作：四边形，使得四边形是平行四边形．
小明的做法如下：
⑴设计方案
先一个正确的草图，如图2， 再分析实现目标的具体方法．
⑵设计作图步骤，完成作图
作法：如图3， ①以点C为圆心、为半径画弧； ②再以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点F； ③连接与． ∴四边形即为所求． 请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
⑶推理论证
证明：∵ ， ∴四边形DBCF是平行四边形．（ ）（填推理依据）
【答案】解：(2)如图：
(3)证明：∵CF=BD，DF=BC
∴四边形DBCF是平行四边形．（两组对边相等的四边形是平行四边形）
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】以点C为圆心、为半径画弧；再以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点F；连接与，根据两组对边相等的四边形是平行四边即可判断 ．
21．（2022八下·义乌期中）已知点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求 AECF的周长．
【答案】（1）证明：∵ ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点．，
∴AF=AD，CE=BC，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）解：∵∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AE是中线，
∴AE=EC=BC=6
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
∴四边形AECF的周长为4×6=24.
【知识点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，利用线段的中点的定义去证明AF=CE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AE的长，同时可证得AE=EC；再利用有一组邻边相等的平行四边形，可证得四边形AECF是菱形，然后求出菱形AECF的周长.
22．（2021八下·临海期中）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE.
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
【答案】（1）证明：在△ABF与△DEC中，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△ABF与△DEC中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴ED=FD，
∵BD=CD，
∴四边形BECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BECF是平行四边形，
∴DE=DF，S△BDE=S△CDF，S△BDF=S△CDE，
∵AF=FD，
∴AF=DF=DE，
∴AD=EF，
∴与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得BD=CD，根据垂直的概念可得∠BED=∠CFD=90°，然后证明△BED≌△CFD，得到ED=FD，接下来根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明；
（2）根据平行四边形的性质可得DE=DF，S△BDE=S△CDF，S△BDF=S△CDE，根据AF=FD可得AD=EF，然后结合三角形的面积公式进行解答.
23．（2021八下·拱墅月考）如图，平行四边形ABCD，AD＝AC，AD⊥AC.
（1）如图1，点E在AD延长线上，CE∥BD，求证：点D为AE中点；
（2）如图2，点E在AB中点，F是AC延长线上一点，且ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（3）在（2）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（先补全图形再解答）.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，DC＝AB，
∴∠EDC＝∠DAB，
CE∥BD，
∴∠E＝∠ADB，
∴△EDC≌△DAB（AAS），
∴ED＝DA；
即点D为AE中点
（2）证明：在 ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，
∴AC＝BC，AC⊥BC，
连接CE，如图1所示：
∵E是AB的中点，
∴AE＝EC，CE⊥AB，
∴∠CAE＝∠BCE＝45°，
∴∠ECF＝∠EAD＝135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（ASA），
∴ED＝EF
（3）解：四边形ACPE为平行四边形，如图2，
理由如下：
由（2）知△CEF≌△AED，
∴CF＝AD，
∵AD＝AC，
∴AC＝CF，
∵DP∥AB，
∴FP＝PB，
∴CP＝ AB＝AE，
∴四边形ACPE为平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，再利用角角边定理证明△EDC≌△DAB，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到 AD＝AC，AD⊥AC，连接CE，结合等腰直角三角形的性质，利用边角边定理证明△CEF≌△AED，即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP＝ AB＝AE， 根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形.
24．（2022八下·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝ ，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）解：∵点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），
∴OA=4，OB=8，
∵点C运动到线段OB的中点，
∴OC=BC=OB=4，
∵动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，
∴2t=4
解之：t=2；
∵PE=OA=4，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，
∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6
∴点E（6，0）
（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，OC∥PD，
∴∠COP=∠OPD，
∴∠AOC=∠DPE
在△AOC和△EPD中
∴△AOC≌△EPD（SAS）
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形.
（3）解：t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）∵点C（0，8-2t），点P（t，0），点E（t+4，0）
∵在线段PE上取点F，使PF＝3，
∴点F（t+3，0），点D（t，2t-8），
设直线CE的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴
同理可得直线DE的解析式为
当点M在CE上，
∴M（t+3，），N（t+3，-1）
解之：；
当点N在直线DE上时
解之：t=2；
当点M在DE上时
解之：；
当点N在直线CE上时
解之：t=12；
∴t的值为 t1＝28﹣16 ，t2＝2，t3＝4+2 ，t4＝12 .
【分析】（1）利用点A，B的坐标可求出OA，OB的长，利用线段中点的定义可求出BC的长；再利用动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；再根据点P的运动方向及速度，OE=OP+PE，代入计算求出OE的长，即可得到点E的坐标.
（2）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得到OC=PD，∠AOC=∠DPE，利用SAS证明△AOC≌△EPD，利用全等三角形的性质可证得AC=DE，∠CAO=∠DEP，OC=PD，然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（3）利用PF=3及MN⊥PE，FM＝ ，FN＝1， 点M，N分别在第一、四象限， 且点M，N有一点落在四边形ADEC的边上，分别用含t的代数式表示出点C，P，E，F，D，M，N的坐标；利用待定系数法分别求出直线CE和直线DE的函数解析式；再分情况讨论：当点M在CE上；当点N在直线DE上时；当点M在DE上时；当点N在直线CE上时；分别将点代入函数解析式，分别得到关于t的方程，解方程求出t的值.
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