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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
2．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
3．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D．是中心对称图形，也是轴对称图形
4．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（第4题） （第6题） （第7题） （第8题）
5．用反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至多一个为0 D．a，b，c三个都为0
6．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，//，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分∠GEF。其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
10．平行四边形 中， ， ， 交于点 ， 是 边上一点，连接 ，过点 作 并延长交 于点 ，交 于点 ，已知 ， ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 中正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第10题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数是
12．如图，在梯形ABCD中，，E为BC中点，，，点P以每秒3个单位长度的速度从点B出发向点C运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点D出发向点A运动，则经过 秒后，以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
13．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且．在平面直角坐标系内存在点C，使得以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在 ABCD中，CD=2AD，F为DC的中点，BE⊥AD于点E，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S△ABE：S△EFB＝2：3；④∠CFE＝3∠DEF．
其中正确结论的序号是 ．
16．如图所示，在平行四边形中，点E在线段上且，点F是边的中点，若，，且，则的长是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，对角线AC和BD相交于点O，，，．求OB的长．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（2）如图②，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
19．按下列要求画 ，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上，
（1）在图①中画 ，使它的周长是整数；
（2）在图②中画 ，使它的周长不是整数（请标出必要的字母与线段长度）
20．在四边形中，、交于点，，．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）过点作交于点，连接．若，求的度数．
21．如图，在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形的面积．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°.
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系.
23．已知在四边形ABCD中， .
（1） (用含 的代数式直接填空)；
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，DE与BC交于点G，
求证：DE⊥BF；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.若x+y=120°，∠DFB=20°，请直接写出x，y的值.
24．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.
（1）在三等角四边形 中， ，则 的取值范围为 ；
（2）如图1，折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，折痕为 .求证：四边形 为三等角四边形；
（3）如图 ，在三等角四边形 中， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】设这个多边形的边数是n，
则有（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得n＝8．
故答案为：B．
2．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为，b与c间的距离为，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3 B．7 C．3或7 D．2或3
【答案】C
【解析】①当直线c在直线a、b外时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b间的距离为，b与c间的距离为，
∴a与c间的距离为；
综上，a与c间的距离为或，
故答案为：C．
3．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形
D．是中心对称图形，也是轴对称图形
【答案】D
【解析】 将图④展开铺平后的图形如图所示：
该图形是中心对称图形，也是轴对称图形.
故答案为：D.
4．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】A项，∵，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，
又∵∠AOD=∠BOC，AO=CO，
∴△AOD≌△COB，
∴AD=BC，
∴结合有四边形ABCD是平行四边形；
B．∵∠ABD=∠CDB，
∴
又∵∠AOB=∠DOC，BO=DO，
∴△AOB≌△COD，
∴AB=CD，
∴结合有四边形ABCD是平行四边形；
C．等腰梯形ABCD满足，AB=CD，但四边形ABCD不是平行四边形，故C项不能判定四边形ABCD是平行四边形；
D．∵，
∴∠ABD=∠CDB，
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠CDB=∠ADB，
∴，
∴结合有四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：C．
5．用反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至多一个为0 D．a，b，c三个都为0
【答案】A
【解析】根据反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设a，b，c没有一个为0；
故答案为：A.
6．如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，//，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6，AC=8．
∴，
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=10，
连接BF并延长交AD于G，
∵，
∴∠GAC=∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AFG和△CFB中，，
∴△AFG≌△CFB（AAS），
∴BF=FG，AG=BC=6，
∴DG=10-6=4，
∵E是BD的中点，
∴EF= DG=2．
故答案为：A．
7．如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，如图：
在中，有，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，AF=BF，
∴，
∴，
∴AF=BF=，
故答案为：A．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【解析】如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分∠GEF。其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】∵E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，
∴，EF为△OCD的中位线，
∴，EF∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG为平行四边形，
故①符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，
∵BD=2AD，
∴OB=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，
故②符合题意；
∵G为Rt△ABE斜边上的中点，
∴，
∴EG=EF，
但无法证明EG=FG，
故③不符合题意；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠FEA=∠BAC，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠GEA，
∴∠GEA=∠AEF，
∴EA平分∠GEF，
故④符合题意；
故答案为：C.
10．平行四边形 中， ， ， 交于点 ， 是 边上一点，连接 ，过点 作 并延长交 于点 ，交 于点 ，已知 ， ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 中正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】过A作AM⊥BC于M，
∵AB=AE，AM⊥BC，
∴∠BAM=∠EAM，即∠BAE=2∠EAM，
∴∠EAM+∠AEM=90°，
∵BF⊥AE，则∠BFE=90°，
∴∠CBH+∠AEM=90°，
∴∠CBH =∠EAM，
∴∠BAE=2∠EAM=2∠CBH，故结论①正确；
∵AF=3，FE=1，
∴AB=AE=4，
又∵Rt△ABF中，BF= ，
∴S△ABE= AE·BF= ×4× =2 ，故结论②正确；
如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，
则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=∠NGC=45°，
由①知：∠MAE=∠NBG，
设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α，
则∠BAG=45°+α，∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α，
∴∠BAG=∠BGA，
∴AB=BG，
∴AE=BG，
在△AME和△BNG中，
，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME=NG，
在等腰Rt△CNG中，NG=NC，
∴GC= NG= ME= BE，
∴BE= GC，故结论③不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAG=∠HCG，
∵∠BAG=∠BGA，∠BGA=∠HGC，
∴∠HCG=∠HGC，
∴GH=CH，故结论④正确；
综上，结论①②④正确，共3个，
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数是
【答案】7
【解析】 解：设这个多边形的边数为n，
∵多边形的内角和为900°，
∴180°（n-2）=900°，
∴n=7，
∴这个多边形的边数为7.
故答案为：7.
12．如图，在梯形ABCD中，，E为BC中点，，，点P以每秒3个单位长度的速度从点B出发向点C运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点D出发向点A运动，则经过 秒后，以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【解析】设运动时间为t秒，则有QD=t，BP=3t，
∵BC=18，E点在BC中点，
∴BE=9=EC，
∵AD=8，
∴AQ=AD-QD=8-t，
∵，
∴，
即当时，以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
当P点在E点左侧时，则有PE=BE-BP=9-3t，
∵，
∴8-t=9-3t，
解得，
当P点在E点右侧时，则有PE=BP-BE=3t-9，
∵，
∴8-t=3t-9，
解得，
即经过或秒后，以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
13．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则 ．
【答案】3
【解析】过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且．在平面直角坐标系内存在点C，使得以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
【答案】或或
【解析】∵函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
当时，，
∴，
∵，且点M位于y轴正半轴，
∴，
∴
当时，，解得，
∴，
以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
如图所示：
①，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点C，
∴；
②，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移6个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点C，
∴；
③，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点，
∴．
综上所述，满足条件的点C的坐标为或或．
【分析】分类讨论，结合函数图象，计算求解即可。
15．如图，在 ABCD中，CD=2AD，F为DC的中点，BE⊥AD于点E，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；
②EF＝BF；
③S△ABE：S△EFB＝2：3；
④∠CFE＝3∠DEF．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD//AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①符合题意，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE2≌△CFG（ASA），
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②符合题意，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，
若S△ABE：S△EFB=2：3，
则S四边形DEBC=3S△ABE，
过点E作EM/∥AB交BC于点M，则四边形AEBM和四边形DEMC都是平行四边形，
∴E为AD的中点，这与条件不相符，故③不符合题意，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④符合题意，
故答案为：①②④．
16．如图所示，在平行四边形中，点E在线段上且，点F是边的中点，若，，且，则的长是 .
【答案】
【解析】如图，过点作于点，过点作交于点，连接，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是三角形的中位线，
，，
，
点是边的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，，
，
，
.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，对角线AC和BD相交于点O，，，．求OB的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∵
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，
∴．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（2）如图②，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
【答案】（1）解：∵BE∥AD，
∴∠A＋∠ABE＝180°，
即140°＋∠ABE＝180°.
∴∠ABE＝40°.
∴∠ABC＝80°.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，
∴∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°.
（2）解：∵∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠BCD，
由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°,
得140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°.
∴∠EBC＋∠ECB＝70°.
∴∠BEC＝180°-70°=110°.
19．按下列要求画 ，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上，
（1）在图①中画 ，使它的周长是整数；
（2）在图②中画 ，使它的周长不是整数（请标出必要的字母与线段长度）
【答案】（1）解：如图①中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.
（2）解：如图②中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.
20．在四边形中，、交于点，，．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）过点作交于点，连接．若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，∴．即在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，即，∴在和中，，∴∴，即．∵，∴，∴．∵四边形是平行四边形，∴，∴．
21．如图，在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
点，分别为边，的中点，
，，
点，分别为边，的中点，
，，
，，
中点四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接AC，
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形．
在△ADC中，H、G分别是AD、CD的中点，
则HG∥AC，
同理EH∥BD，
又，
，
四边形EFGH是矩形，
四边形EFGH的面积．
即四边形EFGH的面积是12．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°.
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB AC＝4×＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝＝，
∴，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2.
23．已知在四边形ABCD中， .
（1） (用含 的代数式直接填空)；
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，DE与BC交于点G，
求证：DE⊥BF；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.若x+y=120°，∠DFB=20°，请直接写出x，y的值.
【答案】（1）360 -x-y
（2）证明： 平分 平分 ，
又
，
又
（3）解：
【解析】（1）∵四边形ABCD，∠A=x，∠C=y，
∴∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=360°-x-y.
故答案为：360°-x-y.
(3)由(1)得， ，
分别平分 ，
连结DB，则 ，
解方程组 可得
24．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形.
（1）在三等角四边形 中， ，则 的取值范围为 ；
（2）如图1，折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，折痕为 .求证：四边形 为三等角四边形；
（3）如图 ，在三等角四边形 中， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
【答案】（1）60°＜∠A＜∠120°
（2）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是三等角四边形
（3）
【解析】（1）∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵ ，0＜∠D＜180°，
∴180°＜3∠A＜360°，
∴ ，
故答案为：
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF= ，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG= AE=1，CH=HF= CF，
∴DG= ，
∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5= DH，
解得：DH= ，
∴CH= = ，
∴CF=2CH= ，
∴BC=BF-CF= .
故答案为：
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