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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
2．已知平行四边形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．
又∵∠A+∠C=240°，
∴∠A=∠C=120°，
∠B=180°－∠A=60°．
故答案为：B
3．多边形边数从n增加到，则其内角和（ ）
A．增加180° B．增加360° C．不变 D．减少180°
【答案】A
【解析】n边形的内角和是（n-2） 180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1-2） 180°．
则（n+1-2） 180°-（n-2） 180°=180°．
故它的内角和增加180°．
故答案为：A．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AC＝6，BD＝10，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴AO＝OC＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝5，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝＝＝4，
故答案为：B．
5．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
【答案】D
【解析】根据反证法步骤，第一步应假设a＜b不成立，即a≥b．
故答案为：D.
6．如图，点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH．则下列结论中错误的是（ ）
A． B．四边形EGFH是平行四边形
C． D．
【答案】D
【解析】连接EF交BD于点O，
在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠EDH=∠FBG，
∵E、F分别是AD、BC边的中点，
∴DE=BF=BC，∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，
∴△EDO≌△FBO，
∴EO=FO，DO=BO，
∵BG=DH，
∴OH=OG，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GF=EH，EG=HF，
故答案为：A、B、C不符合题意；
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD错误，D符合题意；
故答案为：D．
7．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】∵点P是BD的中点，点E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AD，PE∥AD，
∴∠EPD=180°-∠ADB=80°，
同理可得，PF=BC，PE∥BC，
∴∠FPD=∠CBD=30°，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=×（180°-110°）=35°，
故答案为：D．
8．如图， 的四个顶点分别在 的四条边上， ，分别交EH、CD于点P、Q过点P作 ，分别交AD、BC于点M、N，若要求 的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（ ）
A．四边形AFPM B．四边形MPQD C．四边形FBNP D．四边形PNCQ
【答案】C
【解析】如图，连接PG，FN，
∵ EFGH，
∴，
∵，
∴，
又∵MN∥AB，
∴四边形FBNP为平行四边形，
∴
∴，
∴要求 EFGH的面积，只需要知道四边形FBNP的面积.
故答案为：C.
9．如图，已知□OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC.
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD.
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC.
在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBC，OA=BC，∠OAF=∠BCD，
∴△OAF≌△BCD，
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.
故答案为：C.
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】四边形为平行四边形，，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，，，则结论③不成立；
，
，即，结论①不成立；
，即，
，则结论②成立；
设平行四边形的面积为，
则，
，
，
，结论④成立；
综上，成立的个数为2个，
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个多边形的内角和与外角和的和为2160 ，则这个多边形的边数为 .
【答案】12
【解析】设这个多边形的边数是n，
（n-2） 180°+360°=2160°，
解得n=12.
故答案为：12.
12．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 ．
【答案】或
【解析】∵直线y=mx-6m经过定点B（6，0），A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），
∴CD∥AB，CD=8-2=6= AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC= S△ADC=S平行四边形ABCD，
又∵直线y=mx-6m把平行四边形ABCD的面积分成1：3的两部分．
∴直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），
∴m-6m=3或5m-6m=6，
∴m=-或-6，
故答案为：-或-6．
13．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则 ．
【答案】
【解析】∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高为：，
，
∵DE、EF分别是△ABC的中位线，
∴，
∴，
同理可得；
…，
∴；
故答案为：．
14．如图， 和 关于点C成中心对称，若 ， ， ，则 的长是 .
【答案】
【解析】∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC=AC=1，DE=AB=2，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：
.
故答案为： .
15．已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边APC、等边BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是 cm．
【答案】3
【解析】如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∥AB分别交AH于G，BH于N，
∵△APC、△BPD都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，
∴AH∥PD，BH∥CP，
∴四边形CPDH是平行四边形，
∴CD与HP互相平分，
∴M是PH的中点，
故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为△HAB的中位线，即线段GN，
∴cm，
故答案为：3．
16．如图，把含角的两块直角三角板放置在同一平面内，若则以为顶点的四边形的面积是 .
【答案】
【解析】延长CO，交AB于点E，由题意可知：∠BAO=45°，∠CDO=30°
∵
∴四边形ABCD为平行四边形
∵OC⊥CD
∴CE⊥AB
∴S△AOB＋S△COD= AB·OE＋ CD·OC
= AB·（OE＋OC）
= AB·CE
= S平行四边形ABCD
∴S平行四边形ABCD=2（S△AOB＋S△COD）
在Rt△AOB中，AO2＋BO2=AB2=6，AO=BO
解得：AO=BO=
在Rt△COD中，∠CDO=30°，OC2＋CD2=OD2
∴OD=2OC， OC2＋6=（2OC）2
解得：OC= ，
∴S△AOB= AO·BO= ，S△COD=CD·OC=
∴S平行四边形ABCD=2（S△AOB＋S△COD）
=2×（ ＋ ）
=
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，点、在对角线上，且，连接、．求证：，．
【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴，.
∴.
又∵，
∴（SAS），
∴，.
∴.
∴.
18．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形．
19．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵点 D，E分别是边 AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵ CF∥AB，
∴四边形 BCFD 是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，E为 AC 的中点，
∴BE⊥AC．
∵AB＝2DB＝4， BE＝3，
∴
∴
20．如图，在 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的项点上）
（1）在图1中画四边形 ，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中画以A，B，M，N为顶点的平行四边形，且面积为5；
（3）在图3中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3.
【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求作.
（2）解：如图2中，四边形ABMN即为所求作. （3）解：如图3中，四边形ABEF即为所求作.
21．如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，．求线段长．
【答案】（1）证明：连接交于点．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：在中，，
∵，
∴，
∵，∴，
∴．
22．如图，已知：在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1＝∠2.
（1）求证：G为CD的中点.
（2）若CF＝2.5，AE＝4，求BE的长.
【答案】（1）证明：∵点F为CE的中点，
∴CF=CE，
在△ECG与△DCF中，
∵∠2＝∠1， ∠C＝∠C， CE＝CD ，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CG=CF= CE. 又CE=CD，
∴CG=CD， 即G为CD的中点；
（2）解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2.5，
∴DC=CE=2CF=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==3.
23．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：
求证：
（1）△ABE是等边三角形；
（2）△ABC≌△EAD；
（3） ．
【答案】（1）证明：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；
（2）证明：∵△ABE是等边三角形
∴∠ABE=∠EAD=60 ，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD(SAS)
（3）证明：∵△FCD与△ABC等底(AB=CD)等高(AB与CD间的距离相等)，
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF
24．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；
（2）如图2，在“准筝形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝4，CD＝3，求AC的长；
（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，AB＝3－，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∵∠A＋∠C＝270°，∠D＝30°，
∴∠B＝360°－（∠A＋∠C＋∠D）＝360°－（270°＋30°）＝60°，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是“准筝形”；
（2）解：以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，如图2所示：
则DE＝DC＝CE＝3，∠CDE＝∠DCE＝60°，
∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADB＋∠BDC＝∠CDE＋∠BDC，
即∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中， ，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∵∠BCD＝∠DCE＝60°，
∴∠ECF＝180°－60°－60°＝60°，
∵∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝ ，
由勾股定理得：EF＝＝＝ ，
BF＝BC＋CF＝4＋＝ ，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE＝＝＝ ，
∴AC＝ ；
（3）解：四边形ABCD的面积为或 或 ＋3.
【解析】（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，如图3所示：
设BH＝x，
∵∠ABC＝120°，CH是△ABC的高线，
∴∠BCH＝30°，
∴HC＝x，BC＝2BH＝2x，
又∵∠A＝45°，
∴△HAC是等腰直角三角形，
∴HA＝HC，
∵AB＝3－ ，
∴x＝3－＋x，
解得：x＝，
∴HC＝x＝3，BC＝2 ，
∴AC＝ HC＝3 ，
当AB＝AD＝3－ ，∠BAD＝60°时，
连接BD，过点C作CG⊥BD，交BD延长线于点G，过点A作AK⊥BD，如图4所示：
则BD＝3－ ，∠ABD＝60°，BK＝AB＝（3－ ），
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBG＝60°＝∠CBH，
在△CBG和△CBH中， ，
∴△CBG≌△CBH（AAS），
∴GC＝HC＝3，
在Rt△ABK中，由勾股定理得：
AK＝ ＝ ＝ ，
∴S△ABD＝ BD AK＝ ×（3－ ）× ＝，
S△CBD＝ BD CG＝ ×（3－ ）×3＝，
∴S四边形ABCD＝ ＋ ＝ ；
②当BC＝CD＝2 ，∠BCD＝60°时，
连接BD，作CG⊥BD于点G，AK⊥BD于K，如图5所示：
则BD＝2 ，CG＝ BC＝×2 ＝3，AK＝ ，
∴S△BCD＝ BD CG＝×2×3＝3，
S△ABD＝BD AK＝×2×＝，
∴S四边形ABCD＝3＋＝ ；
③当AD＝CD＝AC＝3，∠ADC＝60°时，
作DM⊥AC于M，如图6所示：
则DM＝AD＝×3 ＝ ，
∴S△ABC＝AB CH＝×（3－）×3＝，
S△ADC＝ AC DM＝×3×＝，
∴S四边形ABCD＝＋ ＝＋3.
综上所述，四边形ABCD的面积为或 或 ＋3.
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浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．已知平行四边形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．多边形边数从n增加到，则其内角和（ ）
A．增加180° B．增加360° C．不变 D．减少180°
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AC＝6，BD＝10，则AB的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（第4题） （第6题） （第7题）
5．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
6．如图，点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH．则下列结论中错误的是（ ）
A． B．四边形EGFH是平行四边形 C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
8．如图， 的四个顶点分别在 的四条边上， ，分别交EH、CD于点P、Q过点P作 ，分别交AD、BC于点M、N，若要求 的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（ ）
A．四边形AFPM B．四边形MPQD C．四边形FBNP D．四边形PNCQ
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，已知□OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个多边形的内角和与外角和的和为2160 ，则这个多边形的边数为 .
12．在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 ．
13．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图， 和 关于点C成中心对称，若 ， ， ，则 的长是 .
15．已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边APC、等边BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是 cm．
16．如图，把含角的两块直角三角板放置在同一平面内，若则以为顶点的四边形的面积是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，点、在对角线上，且，连接、．求证：，．
18．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．
19．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
20．如图，在 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的项点上）
（1）在图1中画四边形 ，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中画以A，B，M，N为顶点的平行四边形，且面积为5；
（3）在图3中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3.
21．如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，．求线段长．
22．如图，已知：在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1＝∠2.
（1）求证：G为CD的中点.
（2）若CF＝2.5，AE＝4，求BE的长.
23．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：
求证：（1）△ABE是等边三角形；
（2）△ABC≌△EAD；
（3） ．
24．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；
（2）如图2，在“准筝形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝4，CD＝3，求AC的长；
（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，AB＝3－，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积.
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