2023年浙教版数学八年级下册第四章 平行四边形单元测试（进阶版）

2023年浙教版数学八年级下册第四章 平行四边形单元测试（进阶版）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2019八下·铜仁期中）将一张五边形的纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
2．（2022七下·泾阳月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3．（2019八下·中牟期末）如图， 方格纸中小正方形的边长为1， ， 两点在格点上，要在图中格点上找到点 ，使得 的面积为2，满足条件的点 有（　　）
A．无数个 B．7个 C．6个 D．5个
4．（2022九上·平城期中）如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022八下·温州期中）如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（　　）
A．4 B．6 C． D．
6．（2021九上·长沙月考）在平面直角坐标系中，已知四边形 各顶点坐标分别是： ，且 ，那么四边形 周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021八上·平阳期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021八下·合肥期末）如图，中，，于F，交于E，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022八下·杭州期中）如图，点 是 内的任意一点，连接 、 、 、 ，得到 、 、 、 ，设它们的面积分别是 、 、 、 ，给出如下结论中正确的是（　　）
； 如果 ，则 ； 若 ，则 ； 如果 点在对角线 上，则 ： ： ； 若 ，则 点一定在对角线 上.
A． B． C． D．
10．（2019八下·建宁期末）如图：已知 ，点 、 在线段 上且 ； 是线段 上的动点，分别以 、 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ，设 的中点为 ；当点 从点 运动到点 时，则点 移动路径的长是 　　
A．5 B．4 C．3 D．0
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021八下·兴隆期末）从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是　 　度．
12．（2022·大理模拟）在中，，，D是所在平面内的一点，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则的长为　 　．
13．（2022八下·新昌期中）已知O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 　 　．
14．（2022七下·井研期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为　 　．
15．（2022八下·海曙期末）如图， 中， ，以AB为边在三角形外的 的对角线交于点F，AE=2，AB=5，则CF的最大值是　 　．
16．（2022八下·昌图期末）如图，平行四边形ABCD的面积是20，E为AB的中点，连接OE和DE，则的面积是　 　．
三、作图题（共8分）
17．（2022八下·长春期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图．
（1）在图①中，画出一个以AB为边的四边形ABCD，使其是中心对称图形不是轴对称图形且边长均为无理数．
（2）在图②中，画出一个以线段AB为边的四边形ABMN，使其既是轴对称图形又是中心对称图形．
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2020七下·建邺期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为 ”，为什么不可能？
（2）佳佳求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角和那个外角为多少度？
19．（2022八下·临渭期末）如图，平面直角坐标系中，直线 与 、 轴分别相交于点 、 ．点 的坐标为 ，经过 、 作直线．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若点 是直线 上的动点，点 是直线 上的动点，当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 的坐标．
20．
（1）如图，四边形ABCD是李爷爷家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给他的两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由。
（2）规律总结：回顾第13题和第14题第（1）问发现：能够平分平行四边形面积与周长的直线有　 　条，它们的共同特点是经过　 　的交点。
21．（2022八下·自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，在第一象限内， ，且．
（1）顶点的坐标为　 　 ，顶点的坐标为　 　；
（2）如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成的两部分，求直线的函数解析式；
（3）如图3，设对角线交于点 ，在轴上，有一个长为1个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，则的最小值为　 　 ．
22．（2021八下·修水期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在 ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．
（1）若DE＝ OD，BF＝ OB，
①求证：四边形AFCE为平行四边形；
②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．
（2）若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DE＝ OD，BF＝ OB呢？请直接写出结论．
23．（2022八下·苍南期中）在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为(0，4)，(-4，0)，P点坐标为(0，m)，点E是射线BO上的动点，满足BE=1.5OP，以PE，EO为邻边作 PEOQ．
（1）当m=2时，求出PE的长度；
（2）当m>0时，是否存在m的值，使得PEOQ的面积等于△ABO面积的，若存在求出m的值，若不存在，请说明理由；
（3）当点Q在第四象限时，点Q关于E点的对称点为Q'，点Q'刚好落在直线AB上时，求m的值(直接写出答案)．
24．（2022八下·济南期末）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．
（1）【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．
（2）【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是 ▲ ，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝CE，请直接写出CF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①将五边形沿对角线剪开，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
②将五边形从一顶点剪向对边，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，也可能得到一个三角形和一个五边形，两个多边形的和为180°+540°=720°
③将五边形沿一组对边剪开，得到一个四边形和一个五边形，两个多边形的内角和为：360°+540°=900°，
④将五边形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个六边形，其内角和为：180°+720°=900°；
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①将五边形沿对角线剪开，得到一个三角形和一个四边形；②将五边形从一顶点剪向对边，得到两个四边形；③将五边形沿一组对边剪开，得到一个四边形和一个五边形；④将五边形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个六边形，然后根据多边形的内角和计算公式分别算出各个多边形的内角和，再分别相加即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵过n边形的一个顶点的所有对角线将这个多边形分成（n-2）个三角形，
∴过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是5+2=7.
故答案为：C.
【分析】利用过n边形的一个顶点的所有对角线将这个多边形分成（n-2）个三角形，可得到这个多边形的边数.
3．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设如下图所示中的两个格点为C1、D，连接C1D
根据勾股定理可得C1D=AD=BD= ，AB=
∵C1A= C1B，点D为AB的中点
∴C1D⊥AB
∴S△C1AB= AB·C1D=2
∴此时点C1即为所求
过点C1作AB的平行线，交如图所示的格点于C2 、C3，根据平行线之间的距离处处相等，此时C2 、C3也符合题意；
同理可得：S△C4AB=2，
∴点C4即为所求，过点C4作AB的平行线，交如图所示的格点于C5 、C6，根据平行线之间的距离处处相等，此时C4 、C5也符合题意.
满足条件的点C共有6个
故答案为：C.
【分析】如解图中的C1、D，连接C1D，根据勾股定理即可求出C1D和AB，然后根据三线合一即可求出S△C1AB=2，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外两个点C2 、C3，然后同理可找出C4、C5 、C6，从而得出结论.
4．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由图可知，，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标均为，
与的对称中心是，
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
【分析】如图，延长HD交AG于点Q，由 DECF性质得DF∥CE，ED∥CF，从而得∠CFH=∠EDQ，易证明四边形HQEC为平行四边形，由平行四边形性质得EQ=CH，∠EQD=∠CHF，易证△EDQ≌△CHF，即得S△EDQ=S△CHF，从而得到S HQEC=S DECF，由△ABC的面积为24，可得到S△BEC=24，又有AD=CD，所以S△BDC=S△ABC=16，从而求得S△DEC=8，进而求出S HQEC=2S△DEC=16，最后由S△AHC=S HQEC即可求得其面积.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，把 向上平移一个单位得： ，作 关于直线 的对称点 连接 ，交直线 于 连接 ，
，
由
四边形 是平行四边形，
所以此时：四边形 的周长最短，
故答案为： A.
【分析】把A（0，-2）向上平移一个单位得A1（0，-1），作A1关于直线x=3的对称点A2（6，-1），连接A2B，交直线x=3于N， 连接A1N，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AMNA1是平行四边形，则A1N=AM=A2N，此时四边形AMNB的周长最短，用勾股定理求得AB、A2B的值，则C四边形AMNB=AM+AB+BN+MN=AB+NM+A2B可求解.
7．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，
∵MF为△BCD的中位线，
∴MF∥BC，MF=BC=1，
∵OM为△ABD的中位线，
∴OM∥AB，OM=AB，
∴∠OMF=∠ABD=120°，
∴∠FMH=60°，∠MFH=30°，
∴FH=，MH=，
∴OH===，
∴OM=OH-MH=，
∴AB=2OM= .
故答案为：B .
【分析】取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，根据三角形中位线定理得出MF∥BC，MF=BC，OM∥AB，OM=AB，则可求出∠OMF=120°，然后根据含30°的直角三角形的性质求出FH和MH的长度，再利用勾股定理求出OH长，最后根据线段和差关系求出OM长，则可求出AB长.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，取的中点G，连接，
四边形是平行四边形
，
是
的的中点，
，
，
，
故答案为：B
【分析】 取的中点G，连接，由平行四边形的性质可知△ADE为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△ADG，△AEG，△ABG是等腰三角形，然后利用角的关系求解。
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，
则 ， ， ， ，
， ，
又 ，
，故 正确；
根据 只能判断 ，不能判断 ，即不能得出 ， 错误；
根据 ，能得出 ，不能推出 ，即不能推出 ， 错误；
，
，
此时 ，
即 点一定在对角线 上，
正确；
当 ，且 ，
（1）+(2)可得 ，（1）-(2)可得 ，
点 在 上，
故 正确；
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，然后利用三角形的面积公式分别求出 、 、 、 ，据从可判断①②③；可求出，当 ，且 ，联立两等式可得，，据此判断④⑤.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长 、 交于点 ．
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
与 互相平分．
为 的中点，
也正好为 中点，
即在 的运动过程中， 始终为 的中点，
所以 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．
，
，即 的移动路径长为3．
故答案为： ．
【分析】分别延长 、 交于点 ，易证四边形 为平行四边形，得出 为 中点，则 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．再求出 的长，运用中位线的性质求出 的长度即可．
11．【答案】1800
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形边数为n，由题意得：
n-3=9，
n=12，
内角和： ．
故答案为：1800．
【分析】根据多边形对角线的条数，可以求出多边形的边数，再利用多边形的内角和公式求解即可。
12．【答案】2或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，
若BC为边，AB是对角线，
∵四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB=90°，CA=CB=2，
∴AD1=BC=2，
若AB，BC为边，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD2=BC=2，
若AB，AC为边， ∵ABD3C是平行四边形，
而
∴∠D3BE=45°，
∴D3E=BE=，
∴AE=BE+AB=，
∴，
故答案为：2或．
【分析】由勾股定理求出AB=2，分三种情况：①若BC为边，AB是对角线；②若AB，BC为边， ③若AB，AC为边，根据平行四边形的性质分别求解即可.
13．【答案】（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：分三种情况：
①当四边形OABM为平行四边形时，如图1所示，
则BM∥AO，BM＝AO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点O向左平移3﹣（﹣1）＝4（个）单位，再向上平移1个单位得M的坐标，
∴M（﹣4，1）；
②当四边形OAMB为平行四边形时，如图2所示，
则BM∥AO，BM＝AO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得M的坐标，
∴M（2，3）；
③当四边形OBAMM为平行四边形时，如图3所示，
则AB∥MO，AB＝MO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点A向右平移1个单位，再向下平移2个单位得M的坐标，
∴M（4，﹣1），
综上所述，点M的坐标为（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）.
故答案为：（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）.
【分析】分三种情况，根据在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形画出图形，再由平行四边形的性质以及平移的性质来确定点M的坐标即可.
14．【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
∵∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，
在五边形BCDEF中，
∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
故答案为：540°.
【分析】如图，连接BF，由∠AOG=∠BOF得∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，在五边形BCDEF中，由五边形内角和得∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，由角等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
15．【答案】3.5
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB中点O，连结FO，CO，
∵ AEDB，AE=2，AB=5，
∴BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，
∴OF是△ABD的中位线，
∴FO=1，
又∵∠ACB=90°，
∴OC=2.5，
在△FOC中，CF＜FO+OC，
∴当F、O、C三点共线时，CF最大，
∴CFmax=FO+OC=1+2.5=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】如图，取AB中点O，连结FO，CO，由平行四边形性质得BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，可证出OF是△ABD的中位线，即得FO=1，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得OC=2.5，在△FOC中，由三边关系得CF＜FO+OC，因此当F、O、C三点共线时，CF最大，求得CF值即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC、BD的中点，
∴ ABO， ADO， CDO， CBO的面积相等，均为5，
由图可得 OBE与 ODE等底同高，故两个三角形面积相等，
∵E为AB的中点，
∴ OBE的面积为 ABO面积的一半即：，
∴ ODE的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据 OBE与 ODE等底同高，可得两个三角形面积相等，所以 OBE的面积为 ABO面积的一半，再求解即可。
17．【答案】（1）解：如图①，平行四边形ABCD即为所作，
其中AB＝CD＝，AD＝BC＝，都是无理数；
（2）解：如图②，正方形ABMN即为所作．
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作出图形即可；
（2）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作出图形即可。
18．【答案】（1）解：设多边形的边数为 ，
，
解得 ，
因为 为整数，所以不可能
（2）解：设应加的内角为 ，多加的外角为 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
又∵ 为整数，
∴ ，
∴佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和
（3）解：十三边形的内角和： ，
∴ ，
又 ，
解得： ；
十四边形的内角和： ，
∴ ，
又 ，
解得： .
所以那个外角为 或 .
【知识点】一元一次不等式的应用；多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据多边形内角和公式列出方程求解，根据n为正整数即可作出说明；
（2）设应加的内角为 ，多加的外角为 ，根据题意得出 解不等式，求出整数解即可；
（3）分多边形为十三边形和十四边形两类讨论即可.
19．【答案】（1）解： 在 中，令y=0得x=3，
∴A点坐标为（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（3，0）、C（0，-2）代入得：
，
解得，
∴直线AC的解析式为；
（2）解：设P（m，），Q（），而A（3，0），O（0，0），
①平行四边形以PQ、AO为对角线，则PQ、AO的中点重合，
∴，
解得，
∴点P坐标为（）；
②平行四边形以PA、QO为对角线，则PA、QO的中点重合，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（）；
③平行四边形以PO、QA为对角线，则PO、QA的中点重合，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（）；
综上所述，点P的坐标为（）或（）.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先令直线 中的y=0算出对应的x的值 ， 求出点A的坐标（3，0），设设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（3，0）、C（0，-2）代入得到关于k、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2）根据点P是直线AB上的动点，点Q是直线AC上的动点，设P（m，），Q（），由于A、C是定点，当以点 O 、 A 、 P 、 Q为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况①平行四边形以PQ、AO为对角线，②平行四边形以PA、QO为对角线，③平行四边形以PO、QA为对角线，然后利用平行四边形的性质（对角线互相平分）列出对应的二元一次方程组，分别解出方程组即可求出不同情况下点P的坐标.
20．【答案】（1）解：如图，连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，则线段EF分割的这两块田地符合要求。
（2）无数；对角线
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】(1)连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，利用平行四边形是中心对称图形， 得出分割出的六个三角形面积有三对分别相等，则线段EF分割的这两块田地符合要求；
(2)由于平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的对角线的交点，根据中心对称图形的性质或全等三角形的性质，即可说明.
21．【答案】（1）（2，2）；（6，2）
（2）解：∵直线过点，，
∴b＝﹣1，
∴y＝kx－1，
设点Q的坐标是（m，0），代入y＝kx－1得，
km－1＝0，
解得m＝，即点Q的坐标是（，0），
设点R的坐标是（n，2），则kn－1＝2，
解得n＝，即点R的坐标是（，2），
由题知，直线l把平行四边形的面积分成梯形OQRC和梯形AQRB，
由OQ＝，AQ＝4－，CR＝－2，BR＝6－，两梯形的高均为2，
则，
，
∵面积比为，
∴，，解得k＝，
，，解得k＝，
综上所述，y＝x－1或y＝x－1．
（3）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；线段的性质：两点之间线段最短；平行四边形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：过点C作CH⊥x轴于点H，则∠CHO＝∠CHA＝90°，
∵OC＝2，∠AOC＝45°，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴顶点C的坐标是（2，2），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝CB＝4，BC∥OA，
∴点B坐标为（2＋4，2），
即顶点B的坐标为（6，2）；
故答案为：（2，2），（6，2）；
（3）解：∵点E为线段AC的中点，A（4，0），C（2，2），
∴点E的中点为（3，1），
将线段EN向左移1个单位变为FM，且F（2，1），
则PM＋EN＝PM＋FM≥PF，
当且仅当P、M、F在同一条直线上，取最小值，
PF＝，
故的最小值为．
故答案为：.
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，则∠CHO＝∠CHA＝90°，证明△OCH是等腰直角三角形，根据等腰直角性质求出CH=OH=2，则可求出顶点C2的坐标，再由平移的性质求点B的坐标即可；
（2）把点P的坐标代入函数式求出b值，令y＝kx-1，设点Q的坐标是 （m，0）， 得到km-1=0，解得 m＝， 则可表示出点Q的坐标 ，设点R的坐标 （n，2），则kn－1＝2， 得到 n＝，则可表示出R点的坐标， 根据把平行四边形OABC的面积分成1∶2的两部分， 分别表示出两个梯形的面积，分两种情况，即或， 分别建立方程求解即可；
（3）由点E为线段AC的中点，根据中点坐标公式求出点E的坐标，将线段EN左左移1个单位变为FM，且F (2， 1) ，则PM＋EN＝PM＋FM≥PF，由勾股定理求出PF长，即可得到结果.
22．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DE＝ OD，BF＝ OB，
∴DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
②解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD．
∵OA＝OC，
∴OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE．
∵∠AEC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10（cm），
∴C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40（cm）
（2）解：若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE是平行四边形，
理由：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB，
∴DE＝BF，
∴OB+BF＝OD+DE，
即OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
若DE＝ OD，BF＝ OB，则四边形AFCE为平行四边形，
理由：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB．
∴DE＝BF，
∴OB+BF＝OD+DE，
即OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，结合DE＝ OD，BF＝ OB，可得出DE＝BF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；②根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即得出AD＝CD，进而得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC＝60°，可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形的周长公式即可求出四边形AFCE的周长；
（2）由DE＝ OD，BF＝ OB，可得出OF＝OE，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此得出原结论成立，同理可得DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE为平行四边形．
23．【答案】（1）解：当m=2时，OP=2，
∴BE=1.5OP=3，
∵OB=4，
∴OE=1，
∴PE=；
（2）解：如图1，当点Q在第一象限时，
点E必在x轴的负半轴，点P必在y轴的正半轴．
∴OP=m，BE=1.5m， ．
∴OE=4-1.5m
PEOQ的面积=m(4- 1.5m)
△ABO的面积= AO×BO=4×4÷2=8
PEOQ的面积等于△ABO面积的
∴m(4-1.5m)= ×8
解得：m1=2或m2= (3分)
如图2，当点Q在第二象限时，
∴OP=m，BE=1.5m，
．OE=4-1.5m
PEOQ的面积=m(1.5m-4)
△ABO的面积= AO×BO=4×4÷2=8
PEOQ的面积等于△ABO面积的
∴m(1.5m-4)= ×8
解得：m=
∵BE>BO
∴m>
∴m=
（3）解：如图，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点Q′作Q′N⊥x轴于点N，
设Q（n，m），
∵四边形PEOQ是平行四边形，
∴PQ∥x轴，OM=PQ=OE=n，QM=∣m∣=-m，
∴EM=2n，
∵点Q关于E点的对称点为Q'，
∴NE=EM=2n，Q′N=QM=∣m∣=-m，
∴ON=3n，
∴Q′（-3n，-m），
∵BE=1.5OP=-1.5m，
∴OE=4-（-1.5m）=4+1.5m=n，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴设直线AB的解析式为y=x+4，
∵点Q'刚好落在直线AB上时，
∴-m=-3n+4，
∴-m=-3（4+1.5m）+4，
∴m=-.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出OP、BE、OE的长，再根据勾股定理求出PE的长，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论：当点Q在第一象限时，当点Q在第二象限时，根据平行四边形PEOQ的面积等于△ABO面积的，分别列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案；
（3）过点Q作QM⊥x轴于点M，过点Q′作Q′N⊥x轴于点N，设Q点坐标为（n，m），根据轴对称的性质和平行四边形的性质得出Q′（-3n，-m），4+1.5m=n，再求出直线AB的解析式，把点Q′的坐标代入，求出m的值，即可得出答案.
24．【答案】（1）证明：延长至M，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①
线段与的数量关系为：，
理由：延长至点，使，连接、，
点F为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
线段绕点E逆时针旋转得到线段，
，，
，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；
②或
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(2)②的长为 或．
当为的中位线时，，，
点是的中点，
为的中点，
，
；
如图，当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，
为等腰三角形，，
，
，，
，
，
为的中点，F为的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，即，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）延长至M，使，连接，利用“SAS”证明可得 ，，再证明出可得AC=MC，再利用等量代换可得AC=BF；
（2）①延长至点，使，连接、，先证明是等边三角形，证明出，再证明 是等边三角形， 可得，从而得解；
②当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，先证明可得CH=EI，再利用线段的和差可得NC=CE，再求出，即可得到答案。
1 / 12023年浙教版数学八年级下册第四章 平行四边形单元测试（进阶版）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2019八下·铜仁期中）将一张五边形的纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①将五边形沿对角线剪开，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
②将五边形从一顶点剪向对边，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，也可能得到一个三角形和一个五边形，两个多边形的和为180°+540°=720°
③将五边形沿一组对边剪开，得到一个四边形和一个五边形，两个多边形的内角和为：360°+540°=900°，
④将五边形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个六边形，其内角和为：180°+720°=900°；
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①将五边形沿对角线剪开，得到一个三角形和一个四边形；②将五边形从一顶点剪向对边，得到两个四边形；③将五边形沿一组对边剪开，得到一个四边形和一个五边形；④将五边形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个六边形，然后根据多边形的内角和计算公式分别算出各个多边形的内角和，再分别相加即可得出答案。
2．（2022七下·泾阳月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵过n边形的一个顶点的所有对角线将这个多边形分成（n-2）个三角形，
∴过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是5+2=7.
故答案为：C.
【分析】利用过n边形的一个顶点的所有对角线将这个多边形分成（n-2）个三角形，可得到这个多边形的边数.
3．（2019八下·中牟期末）如图， 方格纸中小正方形的边长为1， ， 两点在格点上，要在图中格点上找到点 ，使得 的面积为2，满足条件的点 有（　　）
A．无数个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设如下图所示中的两个格点为C1、D，连接C1D
根据勾股定理可得C1D=AD=BD= ，AB=
∵C1A= C1B，点D为AB的中点
∴C1D⊥AB
∴S△C1AB= AB·C1D=2
∴此时点C1即为所求
过点C1作AB的平行线，交如图所示的格点于C2 、C3，根据平行线之间的距离处处相等，此时C2 、C3也符合题意；
同理可得：S△C4AB=2，
∴点C4即为所求，过点C4作AB的平行线，交如图所示的格点于C5 、C6，根据平行线之间的距离处处相等，此时C4 、C5也符合题意.
满足条件的点C共有6个
故答案为：C.
【分析】如解图中的C1、D，连接C1D，根据勾股定理即可求出C1D和AB，然后根据三线合一即可求出S△C1AB=2，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外两个点C2 、C3，然后同理可找出C4、C5 、C6，从而得出结论.
4．（2022九上·平城期中）如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由图可知，，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标均为，
与的对称中心是，
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的性质求解即可。
5．（2022八下·温州期中）如图，△ABC的面积为24，点D为AC边上的一点，延长BD交BC的平行线AG于点E，连结EC， 以DE、EC为邻边作平行四边形DECF，DF交BC边于点H，连结AH，当 时，则△AHC的面积为（　　）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，延长HD交AG于点Q，
∵ DECF，
∴DF∥CE，ED∥CF，
∴∠CFH=∠EDQ
又∵BC∥AQ，
∴四边形HQEC为平行四边形，
∴EQ=CH，
又∠EQD=∠CHF，
∴△EDQ≌△CHF（AAS），
∴S△EDQ=S△CHF，
∴S HQEC=S DECF，
∵△ABC的面积为24，
∴S△BEC=24，
又∵AD=CD，
∴S△BDC=S△ABC=16，
∴S△DEC=S△BEC-S△BDC=24-16=8，
∴S HQEC=S DECF=2S△DEC=16，
∴S△AHC=S HQEC=8.
故答案为：C.
【分析】如图，延长HD交AG于点Q，由 DECF性质得DF∥CE，ED∥CF，从而得∠CFH=∠EDQ，易证明四边形HQEC为平行四边形，由平行四边形性质得EQ=CH，∠EQD=∠CHF，易证△EDQ≌△CHF，即得S△EDQ=S△CHF，从而得到S HQEC=S DECF，由△ABC的面积为24，可得到S△BEC=24，又有AD=CD，所以S△BDC=S△ABC=16，从而求得S△DEC=8，进而求出S HQEC=2S△DEC=16，最后由S△AHC=S HQEC即可求得其面积.
6．（2021九上·长沙月考）在平面直角坐标系中，已知四边形 各顶点坐标分别是： ，且 ，那么四边形 周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，把 向上平移一个单位得： ，作 关于直线 的对称点 连接 ，交直线 于 连接 ，
，
由
四边形 是平行四边形，
所以此时：四边形 的周长最短，
故答案为： A.
【分析】把A（0，-2）向上平移一个单位得A1（0，-1），作A1关于直线x=3的对称点A2（6，-1），连接A2B，交直线x=3于N， 连接A1N，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AMNA1是平行四边形，则A1N=AM=A2N，此时四边形AMNB的周长最短，用勾股定理求得AB、A2B的值，则C四边形AMNB=AM+AB+BN+MN=AB+NM+A2B可求解.
7．（2021八上·平阳期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作平行四边形ABDE，连接BE交AD于点O，且OF=BC=2，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，
∵MF为△BCD的中位线，
∴MF∥BC，MF=BC=1，
∵OM为△ABD的中位线，
∴OM∥AB，OM=AB，
∴∠OMF=∠ABD=120°，
∴∠FMH=60°，∠MFH=30°，
∴FH=，MH=，
∴OH===，
∴OM=OH-MH=，
∴AB=2OM= .
故答案为：B .
【分析】取BD的中点为M，连接FM，作FH⊥OM于H，根据三角形中位线定理得出MF∥BC，MF=BC，OM∥AB，OM=AB，则可求出∠OMF=120°，然后根据含30°的直角三角形的性质求出FH和MH的长度，再利用勾股定理求出OH长，最后根据线段和差关系求出OM长，则可求出AB长.
8．（2021八下·合肥期末）如图，中，，于F，交于E，若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，取的中点G，连接，
四边形是平行四边形
，
是
的的中点，
，
，
，
故答案为：B
【分析】 取的中点G，连接，由平行四边形的性质可知△ADE为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△ADG，△AEG，△ABG是等腰三角形，然后利用角的关系求解。
9．（2022八下·杭州期中）如图，点 是 内的任意一点，连接 、 、 、 ，得到 、 、 、 ，设它们的面积分别是 、 、 、 ，给出如下结论中正确的是（　　）
； 如果 ，则 ； 若 ，则 ； 如果 点在对角线 上，则 ： ： ； 若 ，则 点一定在对角线 上.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，
则 ， ， ， ，
， ，
又 ，
，故 正确；
根据 只能判断 ，不能判断 ，即不能得出 ， 错误；
根据 ，能得出 ，不能推出 ，即不能推出 ， 错误；
，
，
此时 ，
即 点一定在对角线 上，
正确；
当 ，且 ，
（1）+(2)可得 ，（1）-(2)可得 ，
点 在 上，
故 正确；
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，设点 到 、 、 、 的距离分别为 、 、 、 ，然后利用三角形的面积公式分别求出 、 、 、 ，据从可判断①②③；可求出，当 ，且 ，联立两等式可得，，据此判断④⑤.
10．（2019八下·建宁期末）如图：已知 ，点 、 在线段 上且 ； 是线段 上的动点，分别以 、 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ，设 的中点为 ；当点 从点 运动到点 时，则点 移动路径的长是 　　
A．5 B．4 C．3 D．0
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长 、 交于点 ．
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
与 互相平分．
为 的中点，
也正好为 中点，
即在 的运动过程中， 始终为 的中点，
所以 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．
，
，即 的移动路径长为3．
故答案为： ．
【分析】分别延长 、 交于点 ，易证四边形 为平行四边形，得出 为 中点，则 的运行轨迹为三角形 的中位线 ．再求出 的长，运用中位线的性质求出 的长度即可．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021八下·兴隆期末）从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是　 　度．
【答案】1800
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形边数为n，由题意得：
n-3=9，
n=12，
内角和： ．
故答案为：1800．
【分析】根据多边形对角线的条数，可以求出多边形的边数，再利用多边形的内角和公式求解即可。
12．（2022·大理模拟）在中，，，D是所在平面内的一点，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则的长为　 　．
【答案】2或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，
若BC为边，AB是对角线，
∵四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB=90°，CA=CB=2，
∴AD1=BC=2，
若AB，BC为边，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD2=BC=2，
若AB，AC为边， ∵ABD3C是平行四边形，
而
∴∠D3BE=45°，
∴D3E=BE=，
∴AE=BE+AB=，
∴，
故答案为：2或．
【分析】由勾股定理求出AB=2，分三种情况：①若BC为边，AB是对角线；②若AB，BC为边， ③若AB，AC为边，根据平行四边形的性质分别求解即可.
13．（2022八下·新昌期中）已知O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 　 　．
【答案】（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：分三种情况：
①当四边形OABM为平行四边形时，如图1所示，
则BM∥AO，BM＝AO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点O向左平移3﹣（﹣1）＝4（个）单位，再向上平移1个单位得M的坐标，
∴M（﹣4，1）；
②当四边形OAMB为平行四边形时，如图2所示，
则BM∥AO，BM＝AO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得M的坐标，
∴M（2，3）；
③当四边形OBAMM为平行四边形时，如图3所示，
则AB∥MO，AB＝MO，
∵O、A、B的坐标分别是（0，0），（3，1），（﹣1，2），
∴把点A向右平移1个单位，再向下平移2个单位得M的坐标，
∴M（4，﹣1），
综上所述，点M的坐标为（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）.
故答案为：（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）.
【分析】分三种情况，根据在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形画出图形，再由平行四边形的性质以及平移的性质来确定点M的坐标即可.
14．（2022七下·井研期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为　 　．
【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
∵∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，
在五边形BCDEF中，
∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
故答案为：540°.
【分析】如图，连接BF，由∠AOG=∠BOF得∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，在五边形BCDEF中，由五边形内角和得∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，由角等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
15．（2022八下·海曙期末）如图， 中， ，以AB为边在三角形外的 的对角线交于点F，AE=2，AB=5，则CF的最大值是　 　．
【答案】3.5
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB中点O，连结FO，CO，
∵ AEDB，AE=2，AB=5，
∴BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，
∴OF是△ABD的中位线，
∴FO=1，
又∵∠ACB=90°，
∴OC=2.5，
在△FOC中，CF＜FO+OC，
∴当F、O、C三点共线时，CF最大，
∴CFmax=FO+OC=1+2.5=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】如图，取AB中点O，连结FO，CO，由平行四边形性质得BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，可证出OF是△ABD的中位线，即得FO=1，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得OC=2.5，在△FOC中，由三边关系得CF＜FO+OC，因此当F、O、C三点共线时，CF最大，求得CF值即可.
16．（2022八下·昌图期末）如图，平行四边形ABCD的面积是20，E为AB的中点，连接OE和DE，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC、BD的中点，
∴ ABO， ADO， CDO， CBO的面积相等，均为5，
由图可得 OBE与 ODE等底同高，故两个三角形面积相等，
∵E为AB的中点，
∴ OBE的面积为 ABO面积的一半即：，
∴ ODE的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据 OBE与 ODE等底同高，可得两个三角形面积相等，所以 OBE的面积为 ABO面积的一半，再求解即可。
三、作图题（共8分）
17．（2022八下·长春期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图．
（1）在图①中，画出一个以AB为边的四边形ABCD，使其是中心对称图形不是轴对称图形且边长均为无理数．
（2）在图②中，画出一个以线段AB为边的四边形ABMN，使其既是轴对称图形又是中心对称图形．
【答案】（1）解：如图①，平行四边形ABCD即为所作，
其中AB＝CD＝，AD＝BC＝，都是无理数；
（2）解：如图②，正方形ABMN即为所作．
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作出图形即可；
（2）根据中心对称图形和轴对称图形的定义作出图形即可。
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2020七下·建邺期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为 ”，为什么不可能？
（2）佳佳求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角和那个外角为多少度？
【答案】（1）解：设多边形的边数为 ，
，
解得 ，
因为 为整数，所以不可能
（2）解：设应加的内角为 ，多加的外角为 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
又∵ 为整数，
∴ ，
∴佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和
（3）解：十三边形的内角和： ，
∴ ，
又 ，
解得： ；
十四边形的内角和： ，
∴ ，
又 ，
解得： .
所以那个外角为 或 .
【知识点】一元一次不等式的应用；多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据多边形内角和公式列出方程求解，根据n为正整数即可作出说明；
（2）设应加的内角为 ，多加的外角为 ，根据题意得出 解不等式，求出整数解即可；
（3）分多边形为十三边形和十四边形两类讨论即可.
19．（2022八下·临渭期末）如图，平面直角坐标系中，直线 与 、 轴分别相交于点 、 ．点 的坐标为 ，经过 、 作直线．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若点 是直线 上的动点，点 是直线 上的动点，当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 的坐标．
【答案】（1）解： 在 中，令y=0得x=3，
∴A点坐标为（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（3，0）、C（0，-2）代入得：
，
解得，
∴直线AC的解析式为；
（2）解：设P（m，），Q（），而A（3，0），O（0，0），
①平行四边形以PQ、AO为对角线，则PQ、AO的中点重合，
∴，
解得，
∴点P坐标为（）；
②平行四边形以PA、QO为对角线，则PA、QO的中点重合，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（）；
③平行四边形以PO、QA为对角线，则PO、QA的中点重合，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（）；
综上所述，点P的坐标为（）或（）.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先令直线 中的y=0算出对应的x的值 ， 求出点A的坐标（3，0），设设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（3，0）、C（0，-2）代入得到关于k、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2）根据点P是直线AB上的动点，点Q是直线AC上的动点，设P（m，），Q（），由于A、C是定点，当以点 O 、 A 、 P 、 Q为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况①平行四边形以PQ、AO为对角线，②平行四边形以PA、QO为对角线，③平行四边形以PO、QA为对角线，然后利用平行四边形的性质（对角线互相平分）列出对应的二元一次方程组，分别解出方程组即可求出不同情况下点P的坐标.
20．
（1）如图，四边形ABCD是李爷爷家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给他的两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由。
（2）规律总结：回顾第13题和第14题第（1）问发现：能够平分平行四边形面积与周长的直线有　 　条，它们的共同特点是经过　 　的交点。
【答案】（1）解：如图，连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，则线段EF分割的这两块田地符合要求。
（2）无数；对角线
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】(1)连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，利用平行四边形是中心对称图形， 得出分割出的六个三角形面积有三对分别相等，则线段EF分割的这两块田地符合要求；
(2)由于平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的对角线的交点，根据中心对称图形的性质或全等三角形的性质，即可说明.
21．（2022八下·自贡期末）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，在第一象限内， ，且．
（1）顶点的坐标为　 　 ，顶点的坐标为　 　；
（2）如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成的两部分，求直线的函数解析式；
（3）如图3，设对角线交于点 ，在轴上，有一个长为1个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，则的最小值为　 　 ．
【答案】（1）（2，2）；（6，2）
（2）解：∵直线过点，，
∴b＝﹣1，
∴y＝kx－1，
设点Q的坐标是（m，0），代入y＝kx－1得，
km－1＝0，
解得m＝，即点Q的坐标是（，0），
设点R的坐标是（n，2），则kn－1＝2，
解得n＝，即点R的坐标是（，2），
由题知，直线l把平行四边形的面积分成梯形OQRC和梯形AQRB，
由OQ＝，AQ＝4－，CR＝－2，BR＝6－，两梯形的高均为2，
则，
，
∵面积比为，
∴，，解得k＝，
，，解得k＝，
综上所述，y＝x－1或y＝x－1．
（3）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；线段的性质：两点之间线段最短；平行四边形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：过点C作CH⊥x轴于点H，则∠CHO＝∠CHA＝90°，
∵OC＝2，∠AOC＝45°，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴顶点C的坐标是（2，2），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝CB＝4，BC∥OA，
∴点B坐标为（2＋4，2），
即顶点B的坐标为（6，2）；
故答案为：（2，2），（6，2）；
（3）解：∵点E为线段AC的中点，A（4，0），C（2，2），
∴点E的中点为（3，1），
将线段EN向左移1个单位变为FM，且F（2，1），
则PM＋EN＝PM＋FM≥PF，
当且仅当P、M、F在同一条直线上，取最小值，
PF＝，
故的最小值为．
故答案为：.
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于点H，则∠CHO＝∠CHA＝90°，证明△OCH是等腰直角三角形，根据等腰直角性质求出CH=OH=2，则可求出顶点C2的坐标，再由平移的性质求点B的坐标即可；
（2）把点P的坐标代入函数式求出b值，令y＝kx-1，设点Q的坐标是 （m，0）， 得到km-1=0，解得 m＝， 则可表示出点Q的坐标 ，设点R的坐标 （n，2），则kn－1＝2， 得到 n＝，则可表示出R点的坐标， 根据把平行四边形OABC的面积分成1∶2的两部分， 分别表示出两个梯形的面积，分两种情况，即或， 分别建立方程求解即可；
（3）由点E为线段AC的中点，根据中点坐标公式求出点E的坐标，将线段EN左左移1个单位变为FM，且F (2， 1) ，则PM＋EN＝PM＋FM≥PF，由勾股定理求出PF长，即可得到结果.
22．（2021八下·修水期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在 ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．
（1）若DE＝ OD，BF＝ OB，
①求证：四边形AFCE为平行四边形；
②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．
（2）若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DE＝ OD，BF＝ OB呢？请直接写出结论．
【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DE＝ OD，BF＝ OB，
∴DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
②解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD．
∵OA＝OC，
∴OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE．
∵∠AEC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10（cm），
∴C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40（cm）
（2）解：若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE是平行四边形，
理由：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB，
∴DE＝BF，
∴OB+BF＝OD+DE，
即OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
若DE＝ OD，BF＝ OB，则四边形AFCE为平行四边形，
理由：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB．
∴DE＝BF，
∴OB+BF＝OD+DE，
即OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，结合DE＝ OD，BF＝ OB，可得出DE＝BF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；②根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即得出AD＝CD，进而得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC＝60°，可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形的周长公式即可求出四边形AFCE的周长；
（2）由DE＝ OD，BF＝ OB，可得出OF＝OE，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此得出原结论成立，同理可得DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE为平行四边形．
23．（2022八下·苍南期中）在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为(0，4)，(-4，0)，P点坐标为(0，m)，点E是射线BO上的动点，满足BE=1.5OP，以PE，EO为邻边作 PEOQ．
（1）当m=2时，求出PE的长度；
（2）当m>0时，是否存在m的值，使得PEOQ的面积等于△ABO面积的，若存在求出m的值，若不存在，请说明理由；
（3）当点Q在第四象限时，点Q关于E点的对称点为Q'，点Q'刚好落在直线AB上时，求m的值(直接写出答案)．
【答案】（1）解：当m=2时，OP=2，
∴BE=1.5OP=3，
∵OB=4，
∴OE=1，
∴PE=；
（2）解：如图1，当点Q在第一象限时，
点E必在x轴的负半轴，点P必在y轴的正半轴．
∴OP=m，BE=1.5m， ．
∴OE=4-1.5m
PEOQ的面积=m(4- 1.5m)
△ABO的面积= AO×BO=4×4÷2=8
PEOQ的面积等于△ABO面积的
∴m(4-1.5m)= ×8
解得：m1=2或m2= (3分)
如图2，当点Q在第二象限时，
∴OP=m，BE=1.5m，
．OE=4-1.5m
PEOQ的面积=m(1.5m-4)
△ABO的面积= AO×BO=4×4÷2=8
PEOQ的面积等于△ABO面积的
∴m(1.5m-4)= ×8
解得：m=
∵BE>BO
∴m>
∴m=
（3）解：如图，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点Q′作Q′N⊥x轴于点N，
设Q（n，m），
∵四边形PEOQ是平行四边形，
∴PQ∥x轴，OM=PQ=OE=n，QM=∣m∣=-m，
∴EM=2n，
∵点Q关于E点的对称点为Q'，
∴NE=EM=2n，Q′N=QM=∣m∣=-m，
∴ON=3n，
∴Q′（-3n，-m），
∵BE=1.5OP=-1.5m，
∴OE=4-（-1.5m）=4+1.5m=n，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴设直线AB的解析式为y=x+4，
∵点Q'刚好落在直线AB上时，
∴-m=-3n+4，
∴-m=-3（4+1.5m）+4，
∴m=-.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出OP、BE、OE的长，再根据勾股定理求出PE的长，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论：当点Q在第一象限时，当点Q在第二象限时，根据平行四边形PEOQ的面积等于△ABO面积的，分别列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案；
（3）过点Q作QM⊥x轴于点M，过点Q′作Q′N⊥x轴于点N，设Q点坐标为（n，m），根据轴对称的性质和平行四边形的性质得出Q′（-3n，-m），4+1.5m=n，再求出直线AB的解析式，把点Q′的坐标代入，求出m的值，即可得出答案.
24．（2022八下·济南期末）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．
（1）【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．
（2）【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是 ▲ ，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝CE，请直接写出CF的长．
【答案】（1）证明：延长至M，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①
线段与的数量关系为：，
理由：延长至点，使，连接、，
点F为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
线段绕点E逆时针旋转得到线段，
，，
，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；
②或
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(2)②的长为 或．
当为的中位线时，，，
点是的中点，
为的中点，
，
；
如图，当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，
为等腰三角形，，
，
，，
，
，
为的中点，F为的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，即，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）延长至M，使，连接，利用“SAS”证明可得 ，，再证明出可得AC=MC，再利用等量代换可得AC=BF；
（2）①延长至点，使，连接、，先证明是等边三角形，证明出，再证明 是等边三角形， 可得，从而得解；
②当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，先证明可得CH=EI，再利用线段的和差可得NC=CE，再求出，即可得到答案。
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