2023年浙教版数学八年级下册5.2菱形 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·铁东期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
2．（2022八下·仙居期末）已知，用没有刻度的直尺和圆规作菱形，下面的作法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022八下·官渡期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八下·潮安期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm
5．（2022八下·虎林期末）如图，菱形中，，于，交对角线于，过作于．若的周长为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八下·涿州期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是（ ）
A．AC=BD B．OA=OB C．OA=AD D．OB=0D
7．（2022八下·长春期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（ ）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
8．（2022八下·环翠期末）在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
9．（2022八下·莱芜期末）如图，菱形ABCD的边长为6，，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
10．（2022八下·威县期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·曲靖期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标为 ．
12．（2022八下·中山期末）已知平行四边形的一边长为3，两条对角线的长分别为4和，则这个平行四边形的面积为 ．
13．（2022八下·潢川期中）如图，在 ABCD中，AB=BC=5，对角线BD=8，则 ABCD的面积为 .
14．（2022八下·咸宁期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且它们的长度分别为6cm和8cm，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分面积的和为 cm2．
15．（2022八下·房山期中）在四边形中，对角线，交于点．现存在以下四个条件：①；②；③；④平分．从中选取三个条件，可以判定四边形为菱形． 则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）．
16．（2022八下·江都期中）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
三、作图题（共8分）
17．（2022八下·淮北期末）图1，图2均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点被称为格点，小正方形的边长都为1，线段AB的端点均在格点上．按要求在图1，图2中画图．
（1）在图1中，以线段AB为一边，画一个矩形，且使其面积为4，其余两个顶点均为格点；
（2）在图2中，以线段AB为对角线，画一个面积是4的菱形，且其余两个顶点均为格点．
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2021八下·椒江期末）如图，菱形 中， 为对角线 的延长线上一点.求证：
19．（2022八下·双台子期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
20．（2022八下·建昌期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形．
21．（2022八下·潜山期末）已知关于x的方程．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
22．（2022八下·南昌期末）如图，将两张长为10，宽为4的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH．
（1）证明：四边形AGCH是菱形；
（2）求菱形AGCH的周长．
23．（2022八下·慈溪期末）如图，在矩形 中， ， ，把边 沿对角线 平移，移动后的点 ， 分别对应点A，B，连接 ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当平行四边形 为菱形时，求边 平移的距离.
24．（2022八下·宁海期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形．
（1）请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CD＝1，求AB的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC=OA==4， OB=OD==3， ∠DOC=90°，
∴CD==5，
∵点E为AB中点，O为AC的中点
∴OE是RtCOD斜边上的中线，
∴OE=CD=2.5．
故答案为：A
【分析】根据菱形性质对角线互相平分且垂直，可得CD，OE是Rt△COD斜边上的中线即可解得．
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由作图可知，选项C中，四边形ABCD是菱形（理由是对角线互相平分且垂直）．
故答案为：C.
【分析】由作图可知：AC与BD互相垂直平分，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可得结论.
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、图形四条边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
B、，
对边平行，
这组对边相等，且四边形邻边相等，
故为菱形，本选项不符合题意；
C、图形一组对边平行，一组对边相等，无法证明其为菱形，本选项符合题意；
D、图形由同旁内角互补，可得两组对边分别平行，且邻边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AB=2OM=10，
∴菱形ABCD的周长为10×4=40．
故答案为：A.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，AC平分∠DAB，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△DEF中，，
∵的周长为，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，四条边相等，对边平行，对角线平分角，求得菱形的∠DAB的度数，直角三角形中30°，所对的直角边是斜边的一半，根据 的周长为 ，求得对角线长，对角线乘积即可求得菱形的面积。
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：添加OB=OD．
证明：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴∠OAB=∠OCD，
∴AB∥CD，
同理，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠OAD=∠OCB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的判定方法逐一判断即可.
7．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：A．
【分析】先证明四边形AECF是平行四边形，再结合EA＝EC，即可得到四边形AECF是菱形。
8．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；
D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是菱形，
点与D点关于对称，
，
，
当时，的值最小，
，
，
，
是等边三角形，
是的中点，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：A．
【分析】连接，，根据四边形是菱形，得出B点与D点关于对称，得出，当时，的值最小，证出是等边三角形，即可得解。
10．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∵BM=DN，
∴OM=ON，
∵OA=OC，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
故方案甲符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，
∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，
∴∠MAC=∠NAC，
∵∠AOM=∠AON=90°，
在△AOM和△AON中，
，
∴△AOM≌△AON（ASA），
∴OM=ON，
∵OA=OC，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形AMCN是菱形．
故方案乙符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合图形求解即可。
11．【答案】（3，4）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，
设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即x2=（8﹣x）2+16，
解得：x=5，
∴BC=5，
∴C点的坐标为（3，4）．
故答案为（3，4）．
【分析】设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，利用勾股定理可得x2=（8﹣x）2+16，求出x的值，即可得到点C的坐标。
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵如图，平行四边形ABCD，对角线交点为O，
∴
∵ 即
∴ ，
∴四边形ABCD是菱形，
∴ ．
故答案为：．
【分析】先求出 ， 再求出四边形ABCD是菱形， 最后利用菱形的面积公式计算求解即可。
13．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC交BD于O，
在 ABCD中，AB=BC=5，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵对角线BD=8，
∴BO=4，
在Rt△AOB中，
AO==3，
∴AC=2AO=6，
∴菱形ABCD的面积为BD×AC=×8×6=24.
故答案为：24.
【分析】连接AC交BD于O，先证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，再根据勾股定理求出AO的长，最后根据菱形ABCD的面积公式计算即可.
14．【答案】12
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，且OA=OC，，
∴，，
∴，
∴面积有，
∴，
已知菱形对角线的长度分别为6cm和8cm，
即：
故答案为：12.
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，OA=OC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO，证明△AOE≌△COF，得到S△AOE=S△COF，推出S阴影=S菱形ABCD，然后根据菱形的面积为其对角线乘积的一半进行计算.
15．【答案】①②③，①②④，①③④，②③④
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：可以选择的条件序号有：
情况一：①②③，理由如下，
∵，
∴，
又∵，，
∴（ASA）
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为菱形；
情况二：①②④，理由如下，
∵，
∴，
又∵，，
∴（ASA）
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD为菱形；
情况三：①③④，理由如下，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为菱形；
情况四：②③④，理由如下，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案为：①②③，①②④，①③④，②③④．
【分析】共有四种组合①②③，①②④，①③④，②③④．根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、菱形的判定分别证明即可.
16．【答案】AC=BD
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD，EH∥AC，EH＝AC，FG∥AC，FG＝AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC＝BD时，EF＝EH，
∴平行四边形EFGH为菱形，
∴当四边形ABCD的对角线AC＝BD时，四边形EFGH是菱形.
故答案为：AC=BD.
【分析】由题意可得EF为△ABD的中位线，EH为△ACD的中位线，FG为△ABC的中位线，GH为△BCD的中位线，则EF∥BD∥GH，EF＝GH=BD，EH∥AC∥FG，EH＝FG=AC，推出四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，平行四边形EFGH为菱形，据此解答.
17．【答案】（1）解：如图，矩形ABCD和矩形ABC1D1即为所求；
理由：根据题意得：∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=4，AD=1，
∴四边形ABCD为矩形，
∴矩形ABCD的面积为；
同理四边形ABC1D1为矩形，矩形ABC1D1的面积为4；
（2）解：如图，菱形ACBD即为所求．
理由：根据题意得：AB=4，CD=2，CD与AB垂直且互相平分，
∵CD与AB互相平分，
∴四边形ACBD为平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴四边形ACBD为菱形，
菱形ACBD的面积为．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 四边形ABCD为矩形， 再求解即可；
（2）根据题意先求出 四边形ACBD为平行四边形， 再求出 四边形ACBD为菱形， 最后利用菱形的面积公式计算求解即可。
18．【答案】证明： 四边形 是菱形，
， .
又 ，
.
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=CB，∠ABE=∠CBE，然后证明△ABE≌△CBE，据此可得结论.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形BEDF是平行四边形，再结合EF⊥BD，即可得到四边形BEDF是菱形。
20．【答案】证明：∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形。
21．【答案】（1）证明：△，
△，
总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
由题意知：
∴
∴或．
∵
∴
∴
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出或，然后判断即可。
22．【答案】（1）证明：∵证明四边形ABCD，四边形AECF都是矩形，
∴，，
∴四边形AHCG是平行四边形，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形AHCG是菱形．
（2）解：设，则，
在中，根据勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴菱形AHCG的周长为．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形AHCG是平行四边形，再结合AH=HC，即可得到四边形AHCG是菱形；
（2）设，则，利用勾股定理列出方程，求出x的值，再求出菱形的周长即可。
23．【答案】（1）证明：∵把边 沿对角线 平移，移动后的点 ， 分别对应点A，B，
∴ ，
在矩形 中： ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于M，
在菱形 中： ， ，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴边 平移的距离为： .
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得AB∥A′B′，AB=A′B′，根据矩形的性质可得AB∥CD，AB=CD，则CD∥A′B′，CD=A′B′，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）连接A′C交B′D于M，由菱形性质得A′C⊥B′D，B′D=2MD，由矩形的性质得AB=CD=15，利用勾股定理可得BD，根据三角形的面积公式可得CM，利用勾股定理可得MD，进而可得B′D、BB′，据此解答.
24．【答案】（1）解：解：如图所示，四边形ABCD即为所求作“近似菱形”，（答案不唯一）.
（2）证明：∵AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠DBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，即BD平分∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是“近似菱形”.
（3）解：如图，延长DA至点E，使得AE=AD，
∴AE=AB＝AD＝AC，
∴∠ADB＝∠ABD，∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，
∵AD∥BC
∴∠BAE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CAD，
∵AE=AB＝AD＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD=1，
在Rt△BDE中，BE=1，BD=3，
∴DE= ，
∴AB= .
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）分别连接点B所在3×3网格对角线BA、BC，再连接AD和CD（A、C均在网格格点），易得四边形ABCD是菱形，根据菱形性质可得BD平分角∠ABC，即四边形ABCD即为“近似菱形”，（符合定义即可，答案不唯一）；
（2）由AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC，推出∠ACB＝2∠DBC，再由AB＝AC，从而得到∠ABD＝∠DBC，即BD平分∠ABC，再根据平行线性质可得∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，则AB＝AD，即可证明四边形ABCD是“近似菱形”；
（3）如图，延长DA至点E，使得AE=AD，则AE=AB＝AD＝AC， 从而得∠ADB＝∠ABD，∠ABE＝∠AEB， 进而得到∠ABD+∠ABE＝90°， 再由平行线性质得∠BAE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CAD， 即可证出△ABE≌△ACD，即得BE=CD=1， 再由勾股定理得求出DE的长，进而求得AB的长即可.
1 / 12023年浙教版数学八年级下册5.2菱形 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·铁东期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC=OA==4， OB=OD==3， ∠DOC=90°，
∴CD==5，
∵点E为AB中点，O为AC的中点
∴OE是RtCOD斜边上的中线，
∴OE=CD=2.5．
故答案为：A
【分析】根据菱形性质对角线互相平分且垂直，可得CD，OE是Rt△COD斜边上的中线即可解得．
2．（2022八下·仙居期末）已知，用没有刻度的直尺和圆规作菱形，下面的作法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由作图可知，选项C中，四边形ABCD是菱形（理由是对角线互相平分且垂直）．
故答案为：C.
【分析】由作图可知：AC与BD互相垂直平分，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可得结论.
3．（2022八下·官渡期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、图形四条边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
B、，
对边平行，
这组对边相等，且四边形邻边相等，
故为菱形，本选项不符合题意；
C、图形一组对边平行，一组对边相等，无法证明其为菱形，本选项符合题意；
D、图形由同旁内角互补，可得两组对边分别平行，且邻边相等，故为菱形，本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可。
4．（2022八下·潮安期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AB=2OM=10，
∴菱形ABCD的周长为10×4=40．
故答案为：A.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。
5．（2022八下·虎林期末）如图，菱形中，，于，交对角线于，过作于．若的周长为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，AC平分∠DAB，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△DEF中，，
∵的周长为，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，四条边相等，对边平行，对角线平分角，求得菱形的∠DAB的度数，直角三角形中30°，所对的直角边是斜边的一半，根据 的周长为 ，求得对角线长，对角线乘积即可求得菱形的面积。
6．（2022八下·涿州期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是（ ）
A．AC=BD B．OA=OB C．OA=AD D．OB=0D
【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：添加OB=OD．
证明：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴∠OAB=∠OCD，
∴AB∥CD，
同理，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠OAD=∠OCB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的判定方法逐一判断即可.
7．（2022八下·长春期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（ ）度时，四边形AECF是菱形．
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：A．
【分析】先证明四边形AECF是平行四边形，再结合EA＝EC，即可得到四边形AECF是菱形。
8．（2022八下·环翠期末）在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线相互垂直
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；
C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；
D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
9．（2022八下·莱芜期末）如图，菱形ABCD的边长为6，，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是菱形，
点与D点关于对称，
，
，
当时，的值最小，
，
，
，
是等边三角形，
是的中点，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：A．
【分析】连接，，根据四边形是菱形，得出B点与D点关于对称，得出，当时，的值最小，证出是等边三角形，即可得解。
10．（2022八下·威县期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∵BM=DN，
∴OM=ON，
∵OA=OC，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
故方案甲符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，
∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，
∴∠MAC=∠NAC，
∵∠AOM=∠AON=90°，
在△AOM和△AON中，
，
∴△AOM≌△AON（ASA），
∴OM=ON，
∵OA=OC，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形AMCN是菱形．
故方案乙符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合图形求解即可。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八下·曲靖期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标为 ．
【答案】（3，4）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，
设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即x2=（8﹣x）2+16，
解得：x=5，
∴BC=5，
∴C点的坐标为（3，4）．
故答案为（3，4）．
【分析】设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，利用勾股定理可得x2=（8﹣x）2+16，求出x的值，即可得到点C的坐标。
12．（2022八下·中山期末）已知平行四边形的一边长为3，两条对角线的长分别为4和，则这个平行四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵如图，平行四边形ABCD，对角线交点为O，
∴
∵ 即
∴ ，
∴四边形ABCD是菱形，
∴ ．
故答案为：．
【分析】先求出 ， 再求出四边形ABCD是菱形， 最后利用菱形的面积公式计算求解即可。
13．（2022八下·潢川期中）如图，在 ABCD中，AB=BC=5，对角线BD=8，则 ABCD的面积为 .
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC交BD于O，
在 ABCD中，AB=BC=5，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵对角线BD=8，
∴BO=4，
在Rt△AOB中，
AO==3，
∴AC=2AO=6，
∴菱形ABCD的面积为BD×AC=×8×6=24.
故答案为：24.
【分析】连接AC交BD于O，先证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，再根据勾股定理求出AO的长，最后根据菱形ABCD的面积公式计算即可.
14．（2022八下·咸宁期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且它们的长度分别为6cm和8cm，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分面积的和为 cm2．
【答案】12
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，且OA=OC，，
∴，，
∴，
∴面积有，
∴，
已知菱形对角线的长度分别为6cm和8cm，
即：
故答案为：12.
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，OA=OC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO，证明△AOE≌△COF，得到S△AOE=S△COF，推出S阴影=S菱形ABCD，然后根据菱形的面积为其对角线乘积的一半进行计算.
15．（2022八下·房山期中）在四边形中，对角线，交于点．现存在以下四个条件：①；②；③；④平分．从中选取三个条件，可以判定四边形为菱形． 则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）．
【答案】①②③，①②④，①③④，②③④
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：可以选择的条件序号有：
情况一：①②③，理由如下，
∵，
∴，
又∵，，
∴（ASA）
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为菱形；
情况二：①②④，理由如下，
∵，
∴，
又∵，，
∴（ASA）
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD为菱形；
情况三：①③④，理由如下，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为菱形；
情况四：②③④，理由如下，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案为：①②③，①②④，①③④，②③④．
【分析】共有四种组合①②③，①②④，①③④，②③④．根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、菱形的判定分别证明即可.
16．（2022八下·江都期中）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
【答案】AC=BD
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD，EH∥AC，EH＝AC，FG∥AC，FG＝AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC＝BD时，EF＝EH，
∴平行四边形EFGH为菱形，
∴当四边形ABCD的对角线AC＝BD时，四边形EFGH是菱形.
故答案为：AC=BD.
【分析】由题意可得EF为△ABD的中位线，EH为△ACD的中位线，FG为△ABC的中位线，GH为△BCD的中位线，则EF∥BD∥GH，EF＝GH=BD，EH∥AC∥FG，EH＝FG=AC，推出四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，平行四边形EFGH为菱形，据此解答.
三、作图题（共8分）
17．（2022八下·淮北期末）图1，图2均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点被称为格点，小正方形的边长都为1，线段AB的端点均在格点上．按要求在图1，图2中画图．
（1）在图1中，以线段AB为一边，画一个矩形，且使其面积为4，其余两个顶点均为格点；
（2）在图2中，以线段AB为对角线，画一个面积是4的菱形，且其余两个顶点均为格点．
【答案】（1）解：如图，矩形ABCD和矩形ABC1D1即为所求；
理由：根据题意得：∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=4，AD=1，
∴四边形ABCD为矩形，
∴矩形ABCD的面积为；
同理四边形ABC1D1为矩形，矩形ABC1D1的面积为4；
（2）解：如图，菱形ACBD即为所求．
理由：根据题意得：AB=4，CD=2，CD与AB垂直且互相平分，
∵CD与AB互相平分，
∴四边形ACBD为平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴四边形ACBD为菱形，
菱形ACBD的面积为．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 四边形ABCD为矩形， 再求解即可；
（2）根据题意先求出 四边形ACBD为平行四边形， 再求出 四边形ACBD为菱形， 最后利用菱形的面积公式计算求解即可。
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2021八下·椒江期末）如图，菱形 中， 为对角线 的延长线上一点.求证：
【答案】证明： 四边形 是菱形，
， .
又 ，
.
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=CB，∠ABE=∠CBE，然后证明△ABE≌△CBE，据此可得结论.
19．（2022八下·双台子期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形BEDF是平行四边形，再结合EF⊥BD，即可得到四边形BEDF是菱形。
20．（2022八下·建昌期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形。
21．（2022八下·潜山期末）已知关于x的方程．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
【答案】（1）证明：△，
△，
总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
由题意知：
∴
∴或．
∵
∴
∴
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出或，然后判断即可。
22．（2022八下·南昌期末）如图，将两张长为10，宽为4的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH．
（1）证明：四边形AGCH是菱形；
（2）求菱形AGCH的周长．
【答案】（1）证明：∵证明四边形ABCD，四边形AECF都是矩形，
∴，，
∴四边形AHCG是平行四边形，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形AHCG是菱形．
（2）解：设，则，
在中，根据勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴菱形AHCG的周长为．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形AHCG是平行四边形，再结合AH=HC，即可得到四边形AHCG是菱形；
（2）设，则，利用勾股定理列出方程，求出x的值，再求出菱形的周长即可。
23．（2022八下·慈溪期末）如图，在矩形 中， ， ，把边 沿对角线 平移，移动后的点 ， 分别对应点A，B，连接 ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当平行四边形 为菱形时，求边 平移的距离.
【答案】（1）证明：∵把边 沿对角线 平移，移动后的点 ， 分别对应点A，B，
∴ ，
在矩形 中： ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于M，
在菱形 中： ， ，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴边 平移的距离为： .
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得AB∥A′B′，AB=A′B′，根据矩形的性质可得AB∥CD，AB=CD，则CD∥A′B′，CD=A′B′，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）连接A′C交B′D于M，由菱形性质得A′C⊥B′D，B′D=2MD，由矩形的性质得AB=CD=15，利用勾股定理可得BD，根据三角形的面积公式可得CM，利用勾股定理可得MD，进而可得B′D、BB′，据此解答.
24．（2022八下·宁海期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形．
（1）请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD，顶点A、顶点C要在网格格点上．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CD＝1，求AB的长．
【答案】（1）解：解：如图所示，四边形ABCD即为所求作“近似菱形”，（答案不唯一）.
（2）证明：∵AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠DBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，即BD平分∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是“近似菱形”.
（3）解：如图，延长DA至点E，使得AE=AD，
∴AE=AB＝AD＝AC，
∴∠ADB＝∠ABD，∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，
∵AD∥BC
∴∠BAE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CAD，
∵AE=AB＝AD＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD=1，
在Rt△BDE中，BE=1，BD=3，
∴DE= ，
∴AB= .
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）分别连接点B所在3×3网格对角线BA、BC，再连接AD和CD（A、C均在网格格点），易得四边形ABCD是菱形，根据菱形性质可得BD平分角∠ABC，即四边形ABCD即为“近似菱形”，（符合定义即可，答案不唯一）；
（2）由AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC，推出∠ACB＝2∠DBC，再由AB＝AC，从而得到∠ABD＝∠DBC，即BD平分∠ABC，再根据平行线性质可得∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，则AB＝AD，即可证明四边形ABCD是“近似菱形”；
（3）如图，延长DA至点E，使得AE=AD，则AE=AB＝AD＝AC， 从而得∠ADB＝∠ABD，∠ABE＝∠AEB， 进而得到∠ABD+∠ABE＝90°， 再由平行线性质得∠BAE＝∠ABC＝∠ACB＝∠CAD， 即可证出△ABE≌△ACD，即得BE=CD=1， 再由勾股定理得求出DE的长，进而求得AB的长即可.
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