2023年浙教版数学八年级下册6.2反比例函数的图象与性质 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·交城期末）若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故答案为：B．
【分析】将点（3，-5）代入求出k的值，再利用函数图象与系数的关系求解即可。
2．（2022九上·威海月考）关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于原点对称
B．y随x的增大而减小
C．图象分别位于第一、三象限
D．若点在其图象上，则
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴该函数图象关于原点轴对称，A不符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，B符合题意；
该函数图象为别位于第一、三象限，C不符合题意；
若点M（a，b）在其图象上，则ab=3，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可。
3．（2022八上·青浦期中）已知正比例函数中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵函数中y随x的增大而增大，
∴，该函数图象经过第一、三象限；
∴函数的图象经过第一、三象限；
故答案为：B．
【分析】由函数中y随x的增大而增大，可知，据此判断直线及双曲线的位置即可.
4．（2022九下·吉林月考）若抛物线y=ax2经过点P（-
，4），则该抛物线一定还经过点（ ）
A．（4，-
）
B．（-
，-4）
C．（-4，
）
D．（
，4）
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2的对称轴为y轴，经过点P（-
，4），
∴点P（-
，4）关于y轴的对称点（
，4）也在抛物线上，
∴该抛物线一定还经过点（
，4）.
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴为y轴，再求出点P（-
，4）关于y轴的对称点为（
，4）即可得出答案.
5．（2022九上·河东期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则， ，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
，，
，
，，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将点A、B、C的坐标代入解析式求出，，，再比较大小即可。
6．（2022九上·杭州开学考）已知函数y1（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
函数（k为常数，且k＞0，x＞0），
∴函数图象在第一象限，如图，
∴函数y的最小值大于0，
∵函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，
∴y2的最大值小于2，
∴函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2，故①正确；
当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则其对应点为（m，a），
∴点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2 a），
∴在此取值范围内，y2的最小值必为2 a，故②正确，
故答案为：A.
【分析】根据题意画出函数图象，可得到函数y的最小值大于0；再根据函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，可知y2的最大值小于2，可对①作出判断；利用已知可得到点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2 a），由此可得到y2的最小值，可对②作出判断；由此可得答案.
7．（2022九上·莱州期末）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为8，则k的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点C作于点D，如图所示：
在菱形中，，
∴，
∵菱形的面积为8，点B在y轴的正半轴上，
∴的面积为4，
∴的面积为2，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点C作于点D，利用三角形的面积可得，求出，再求出k的值即可。
8．（2022九上·海阳期中）如图，已知双曲线经过斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A． B．6 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的中点是D，点A的坐标为，
∴，
∵双曲线经过点D，
∴，
∴的面积．
又∵的面积，
∴的面积的面积的面积．
故答案为：C．
【分析】先根据线段的中点坐标得出点D的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出的面积，再利用的面积的面积的面积计算即可。
9．（2022八下·灌云期末）已知点A（3，4）在反比例函数为常数，的图象上，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B．y= C．y= D．y=
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵将点A（3，4）代入反比例函数y=，得4=，
解得k=12．
∴反比例函数表达式为：y=，
故答案为：C．
【分析】将点A的坐标代入求出k的值即可。
10．（2022九上·灌阳期中）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线上
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得，根据反比例函数k的几何意义得，从而可得，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·浑南期末）某工程队计划修建铁路，给出了铺轨的天数y（d）与每日铺轨量x（km/d）之间的关系表：
y（d） 120 150 200 240 300
x（km/d） 10 8 6 5 4
根据表格信息，判断出y是x的函数，则这个函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】因为，
所以y是x的反比例函数，
且函数解析式为．
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
12．（2022九上·道县期中）已知反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，
只要是大于0的所有实数都可以．
例如：1．
故答案为：1．
【分析】 反比例函数 中，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此即可得出答案.
13．（2022八下·上城期末）正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是 .
【答案】-2
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：、在反比例函数的图象上，
，
正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
点A与点B关于原点对称，
，，
.
故答案为：-2.
【分析】根据A、B在反比例函数图象上可得x1y1=x2y2=1，根据正比例函数与反比例函数图象的对称性可得点A与点B关于原点对称，则x1=-x2，y1=-y2，x1y2+x2y1=-x1y1-x2y2，据此计算.
14．（2022八上·青浦期中）如果点、在反比例函数的图象上，若，则k 0（用“<”或“>”号连接）
【答案】<
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点、在反比例函数的图象上，且，，
∴在同一象限内，y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：<．
【分析】由于0＜，，可知在同一象限内，y随x的增大而增大，可得双曲线位于二四象限，继而得解.
15．（2023九上·榆林期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点D，且点D为线段AB的中点，若点C为x轴上任意一点，且的面积为4，则k的值为 ．
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∵点D为AB的中点，点A在反比例函数图象上，
∴S△ABC=2S△AOD=4，
∴S△AOD=2=|k|
∴|k|=4，
∵k＜0，
∴k=-4.
故答案为：-4
【分析】连接OA，利用已知可证得AB∥x轴，利用点D是AB的中点及△ABC的面积，可求出△AOD的面积，再利用反比例函数的几何意义，可求出k的值.
16．（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 ．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，
∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，
∴S△AOG=S△FOH=，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S△AOE=S△ABE=18，
∴S△AOG=S△AOE=6，
∴=6，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=S△AOE=6，则=6，即可求出k值.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九下·泾阳月考）已知反比例函数y=
的图象经过第二、四象限，求n的取值范围．
【答案】解：反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，
∴n+6<0，
∴n<-6
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【分析】反比例函数
中，当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限，据此可得n+6<0 即可得出答案.
18．（2021·百色模拟）如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝ ，求k的值.
【答案】解：如下图，记AB与y轴的交点为C，
∵点A，B关于y轴对称，
∴AB垂直于y轴，且AC＝BC，
∴S△AOC＝ S△AOB＝ ，
∵S△AOC＝ |2k|，
∴ |2k|＝4，
∴
∵在第二象限，
∴2k＝﹣8
∴k＝﹣4.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】 如图，记AB与y轴的交点为C，由题意“点A，B关于y轴对称 ”可知AB垂直于y轴，且AC＝BC， 根据等底同高的两个三角形的面积相等可得 S△AOC＝S△AOB，然后由反比例函数的k的几何意义并结合双曲线所在的象限可求解.
19．（2020九上·定南期末）在平面直角坐标系内，点 为坐标原点，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，若 ，点 的横坐标为 ，求反比例函数及一次函数的解析式．
【答案】解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
解得：
，
反比例函数的解析式为：
点 的横坐标为 ，
，
点 ，
将点 与 代入一次函数解析式得
解得
一次函数的解析式的解析式为：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】先将点A代入反比例函数求出m的值，再将点B的横坐标代入反比例函数解析式，求出点B的坐标，再将点A、B代入一次函数解析式求解即可。
20．（2021九上·泰山期中）如图，在平面直角坐标系中．四边形 为矩形，点 、 分别在 轴和 轴的正半轴上，点 为 的中点已知实数 ，一次函数 的图像经过点 、 ，反比例函数 的图像经过点 ，求 的值．
【答案】解：把 代入 ，得 ．
∴ ．
∵ 轴，
∴点 横坐标为 ．
把 代入 ，得 ．
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵点 在直线 上，
∴ ．
∴ ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】 把 代入 ，得 ． 得出点C的坐标，从而得出点B的横坐标， 把 代入 ，得 y的值，得出点B的坐标， 由点 为 的中点， 得出 ，得出点D的值，再根据 点 在直线 上， 即可得出k的值。
21．（2022九上·中山期末）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：反比例函数为常数，的图象经过点，
，
，
这个函数的解析式为：
（2）解：当时，，
当时，，
∵，
∴在每个象限内函数值随自变量的增大而减小，
当时，的取值范围是
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据反比例函数为常数，的图象经过点，即可得出k的值；
（2）当时，，当时，，得出在每个象限内函数值随自变量的增大而减小，即可得解。
22．（2022九上·岳阳楼月考）综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．
（1）判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点A的坐标是，
∵点A关于坐标原点O的对称点为点B，
∴点B的坐标是，
把代入中，得，
∴点B在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3），和
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（m，0），如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得OB=OP1，
∴，解得，
∴P1（4，0）；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得OB=OP2，
∴，
∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得BP3=OP3，
∴，
解得，
∴P3（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（4，0），和（5，0）．
【分析】（1）利用点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点（横纵坐标都互为相反数），可得到点B的坐标，再将点B的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，由此作出判断；
（2）将x=4代入反比例函数解析式求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再利用点C，D关于原点对称，可得到点D的坐标，同时可证得OC=OD，OA=OB，利用对角线互相平方的四边形是平行四边形，可证得四边形ACBD是平行四边形；再利用勾股定理求出CD，AB的长，可证得CD=AB，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为（m，0）分情况讨论：当四边形OBP1Q1是菱形时，OB=OP1，利用菱形的对角线互相垂直平分，可知此时对角线的中点坐标为（2，0），利用中点坐标可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；当四边形OBQ2P2是菱形时，可知OB=OP2，利用勾股定理可求出OP2的长，由此可得点P的坐标；当四边形OP3BQ3是菱形时可知OP3=BP3，利用点的坐标的距离公式求出m的值，可得到点P的坐标.
23．（2022八下·舟山期末）背景：点A在反比例函数y （k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式；
②补画x＜0时“Z函数”的图象；
③并写出这个函数的性质（两条即可）．
【答案】（1）解：∵AC＝4， CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝ 1，
∵四边形 ABED 是正方形，
∴AB＝1，
∵AC⊥y 轴，AB⊥x 轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，
∴四边形 ABOC 是矩形，
∴OB＝AC＝4，
∴A（4， 1），
∴k＝4
（2）解：①由题意， A（x，x﹣z），
∴x（x﹣z）＝4，
∴z＝
②图象如图所示，
③性质1：x＞0时，y随x的增大而增大，
性质2：x＜0 时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用AD＝AC﹣CD可求出AD的长，利用正方形的性质可求出AB的长；再证明四边形ABOC是矩形，利用矩形的性质可求出OB的长，据此可求出点A的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值.
（2）由题意可知 A（x，x﹣z），利用反比例函数的几何意义可得到关于x，z的方程，可用含x的代数式表示出z，利用描点法画出此函数的图象；观察函数图象，可得到这个函数的两条性质.
24．（2022八下·婺城期末）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数的自变量的取值范围是 ，这个函数值的取值范围是 ．
（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数的图象和性质，请根据函数的图象，画出函数的图象；
（3）结合函数的图象解答下列问题：
①求出方程的根；
②如果方程有2个实数根，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）x≠-3；y≠-2
（2）解：函数的图象，如图所示：
（3）解：①方程该方程的根是；
②如果方程有2个实数根，则的取值范围是或
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：（1）的自变量的取值范围是，这个函数值的取值范围是
故答案为：；；
【分析】（1）根据分式有意义的条件可得x+3≠0，求出x的范围即为自变量的取值范围，进而可得函数值y的范围；
（2）根据函数的平移可知，函数可看作反比例函数的图象向左平移3个单位，再向下移动2个单位得到；将函数y=-2的图象下方部分沿x轴翻折至上方，即可得到y=|-2|的图象；
（3）①由（2）中的函数图象可得出方程 ＝0的根；
②方程 根的个数情况，可看作函数y=|-2|与y＝a的交点的个数问题，由图象可得出结果．
1 / 12023年浙教版数学八年级下册6.2反比例函数的图象与性质 同步测试
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·交城期末）若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
2．（2022九上·威海月考）关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于原点对称
B．y随x的增大而减小
C．图象分别位于第一、三象限
D．若点在其图象上，则
3．（2022八上·青浦期中）已知正比例函数中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九下·吉林月考）若抛物线y=ax2经过点P（-
，4），则该抛物线一定还经过点（ ）
A．（4，-
）
B．（-
，-4）
C．（-4，
）
D．（
，4）
5．（2022九上·河东期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则， ，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·杭州开学考）已知函数y1（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
7．（2022九上·莱州期末）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为8，则k的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
8．（2022九上·海阳期中）如图，已知双曲线经过斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A． B．6 C．9 D．10
9．（2022八下·灌云期末）已知点A（3，4）在反比例函数为常数，的图象上，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B．y= C．y= D．y=
10．（2022九上·灌阳期中）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022九上·浑南期末）某工程队计划修建铁路，给出了铺轨的天数y（d）与每日铺轨量x（km/d）之间的关系表：
y（d） 120 150 200 240 300
x（km/d） 10 8 6 5 4
根据表格信息，判断出y是x的函数，则这个函数表达式是 ．
12．（2022九上·道县期中）已知反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
13．（2022八下·上城期末）正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是 .
14．（2022八上·青浦期中）如果点、在反比例函数的图象上，若，则k 0（用“<”或“>”号连接）
15．（2023九上·榆林期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点D，且点D为线段AB的中点，若点C为x轴上任意一点，且的面积为4，则k的值为 ．
16．（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九下·泾阳月考）已知反比例函数y=
的图象经过第二、四象限，求n的取值范围．
18．（2021·百色模拟）如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝ ，求k的值.
19．（2020九上·定南期末）在平面直角坐标系内，点 为坐标原点，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，若 ，点 的横坐标为 ，求反比例函数及一次函数的解析式．
20．（2021九上·泰山期中）如图，在平面直角坐标系中．四边形 为矩形，点 、 分别在 轴和 轴的正半轴上，点 为 的中点已知实数 ，一次函数 的图像经过点 、 ，反比例函数 的图像经过点 ，求 的值．
21．（2022九上·中山期末）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当时，求的取值范围．
22．（2022九上·岳阳楼月考）综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．
（1）判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
23．（2022八下·舟山期末）背景：点A在反比例函数y （k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式；
②补画x＜0时“Z函数”的图象；
③并写出这个函数的性质（两条即可）．
24．（2022八下·婺城期末）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数的自变量的取值范围是 ，这个函数值的取值范围是 ．
（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数的图象和性质，请根据函数的图象，画出函数的图象；
（3）结合函数的图象解答下列问题：
①求出方程的根；
②如果方程有2个实数根，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故答案为：B．
【分析】将点（3，-5）代入求出k的值，再利用函数图象与系数的关系求解即可。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴该函数图象关于原点轴对称，A不符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，B符合题意；
该函数图象为别位于第一、三象限，C不符合题意；
若点M（a，b）在其图象上，则ab=3，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵函数中y随x的增大而增大，
∴，该函数图象经过第一、三象限；
∴函数的图象经过第一、三象限；
故答案为：B．
【分析】由函数中y随x的增大而增大，可知，据此判断直线及双曲线的位置即可.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2的对称轴为y轴，经过点P（-
，4），
∴点P（-
，4）关于y轴的对称点（
，4）也在抛物线上，
∴该抛物线一定还经过点（
，4）.
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴为y轴，再求出点P（-
，4）关于y轴的对称点为（
，4）即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
，，
，
，，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将点A、B、C的坐标代入解析式求出，，，再比较大小即可。
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
函数（k为常数，且k＞0，x＞0），
∴函数图象在第一象限，如图，
∴函数y的最小值大于0，
∵函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，
∴y2的最大值小于2，
∴函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2，故①正确；
当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则其对应点为（m，a），
∴点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2 a），
∴在此取值范围内，y2的最小值必为2 a，故②正确，
故答案为：A.
【分析】根据题意画出函数图象，可得到函数y的最小值大于0；再根据函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称，可知y2的最大值小于2，可对①作出判断；利用已知可得到点（m，a）关于直线y＝1的对称点为（m，2 a），由此可得到y2的最小值，可对②作出判断；由此可得答案.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点C作于点D，如图所示：
在菱形中，，
∴，
∵菱形的面积为8，点B在y轴的正半轴上，
∴的面积为4，
∴的面积为2，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点C作于点D，利用三角形的面积可得，求出，再求出k的值即可。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的中点是D，点A的坐标为，
∴，
∵双曲线经过点D，
∴，
∴的面积．
又∵的面积，
∴的面积的面积的面积．
故答案为：C．
【分析】先根据线段的中点坐标得出点D的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出的面积，再利用的面积的面积的面积计算即可。
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵将点A（3，4）代入反比例函数y=，得4=，
解得k=12．
∴反比例函数表达式为：y=，
故答案为：C．
【分析】将点A的坐标代入求出k的值即可。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点B在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点C在双曲线上
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y于点E，利用AAS证明△CPE≌△BPD，根据全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据平行四边形的性质及同底等高的三角形面积相等得，根据反比例函数k的几何意义得，从而可得，最后再根据反比例函数k的几何意义结合图象所在的象限得出k的值.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】因为，
所以y是x的反比例函数，
且函数解析式为．
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
12．【答案】1（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，
只要是大于0的所有实数都可以．
例如：1．
故答案为：1．
【分析】 反比例函数 中，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此即可得出答案.
13．【答案】-2
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：、在反比例函数的图象上，
，
正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
点A与点B关于原点对称，
，，
.
故答案为：-2.
【分析】根据A、B在反比例函数图象上可得x1y1=x2y2=1，根据正比例函数与反比例函数图象的对称性可得点A与点B关于原点对称，则x1=-x2，y1=-y2，x1y2+x2y1=-x1y1-x2y2，据此计算.
14．【答案】<
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点、在反比例函数的图象上，且，，
∴在同一象限内，y随x的增大而增大，
∴，
故答案为：<．
【分析】由于0＜，，可知在同一象限内，y随x的增大而增大，可得双曲线位于二四象限，继而得解.
15．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∵点D为AB的中点，点A在反比例函数图象上，
∴S△ABC=2S△AOD=4，
∴S△AOD=2=|k|
∴|k|=4，
∵k＜0，
∴k=-4.
故答案为：-4
【分析】连接OA，利用已知可证得AB∥x轴，利用点D是AB的中点及△ABC的面积，可求出△AOD的面积，再利用反比例函数的几何意义，可求出k的值.
16．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，
∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，
∴S△AOG=S△FOH=，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S△AOE=S△ABE=18，
∴S△AOG=S△AOE=6，
∴=6，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=S△AOE=6，则=6，即可求出k值.
17．【答案】解：反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，
∴n+6<0，
∴n<-6
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【分析】反比例函数
中，当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限，据此可得n+6<0 即可得出答案.
18．【答案】解：如下图，记AB与y轴的交点为C，
∵点A，B关于y轴对称，
∴AB垂直于y轴，且AC＝BC，
∴S△AOC＝ S△AOB＝ ，
∵S△AOC＝ |2k|，
∴ |2k|＝4，
∴
∵在第二象限，
∴2k＝﹣8
∴k＝﹣4.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】 如图，记AB与y轴的交点为C，由题意“点A，B关于y轴对称 ”可知AB垂直于y轴，且AC＝BC， 根据等底同高的两个三角形的面积相等可得 S△AOC＝S△AOB，然后由反比例函数的k的几何意义并结合双曲线所在的象限可求解.
19．【答案】解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
解得：
，
反比例函数的解析式为：
点 的横坐标为 ，
，
点 ，
将点 与 代入一次函数解析式得
解得
一次函数的解析式的解析式为：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】先将点A代入反比例函数求出m的值，再将点B的横坐标代入反比例函数解析式，求出点B的坐标，再将点A、B代入一次函数解析式求解即可。
20．【答案】解：把 代入 ，得 ．
∴ ．
∵ 轴，
∴点 横坐标为 ．
把 代入 ，得 ．
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵点 在直线 上，
∴ ．
∴ ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】 把 代入 ，得 ． 得出点C的坐标，从而得出点B的横坐标， 把 代入 ，得 y的值，得出点B的坐标， 由点 为 的中点， 得出 ，得出点D的值，再根据 点 在直线 上， 即可得出k的值。
21．【答案】（1）解：反比例函数为常数，的图象经过点，
，
，
这个函数的解析式为：
（2）解：当时，，
当时，，
∵，
∴在每个象限内函数值随自变量的增大而减小，
当时，的取值范围是
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据反比例函数为常数，的图象经过点，即可得出k的值；
（2）当时，，当时，，得出在每个象限内函数值随自变量的增大而减小，即可得解。
22．【答案】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点A的坐标是，
∵点A关于坐标原点O的对称点为点B，
∴点B的坐标是，
把代入中，得，
∴点B在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3），和
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（m，0），如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得OB=OP1，
∴，解得，
∴P1（4，0）；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得OB=OP2，
∴，
∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得BP3=OP3，
∴，
解得，
∴P3（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（4，0），和（5，0）．
【分析】（1）利用点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点（横纵坐标都互为相反数），可得到点B的坐标，再将点B的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，由此作出判断；
（2）将x=4代入反比例函数解析式求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再利用点C，D关于原点对称，可得到点D的坐标，同时可证得OC=OD，OA=OB，利用对角线互相平方的四边形是平行四边形，可证得四边形ACBD是平行四边形；再利用勾股定理求出CD，AB的长，可证得CD=AB，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为（m，0）分情况讨论：当四边形OBP1Q1是菱形时，OB=OP1，利用菱形的对角线互相垂直平分，可知此时对角线的中点坐标为（2，0），利用中点坐标可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；当四边形OBQ2P2是菱形时，可知OB=OP2，利用勾股定理可求出OP2的长，由此可得点P的坐标；当四边形OP3BQ3是菱形时可知OP3=BP3，利用点的坐标的距离公式求出m的值，可得到点P的坐标.
23．【答案】（1）解：∵AC＝4， CD＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝ 1，
∵四边形 ABED 是正方形，
∴AB＝1，
∵AC⊥y 轴，AB⊥x 轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，
∴四边形 ABOC 是矩形，
∴OB＝AC＝4，
∴A（4， 1），
∴k＝4
（2）解：①由题意， A（x，x﹣z），
∴x（x﹣z）＝4，
∴z＝
②图象如图所示，
③性质1：x＞0时，y随x的增大而增大，
性质2：x＜0 时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用AD＝AC﹣CD可求出AD的长，利用正方形的性质可求出AB的长；再证明四边形ABOC是矩形，利用矩形的性质可求出OB的长，据此可求出点A的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值.
（2）由题意可知 A（x，x﹣z），利用反比例函数的几何意义可得到关于x，z的方程，可用含x的代数式表示出z，利用描点法画出此函数的图象；观察函数图象，可得到这个函数的两条性质.
24．【答案】（1）x≠-3；y≠-2
（2）解：函数的图象，如图所示：
（3）解：①方程该方程的根是；
②如果方程有2个实数根，则的取值范围是或
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：（1）的自变量的取值范围是，这个函数值的取值范围是
故答案为：；；
【分析】（1）根据分式有意义的条件可得x+3≠0，求出x的范围即为自变量的取值范围，进而可得函数值y的范围；
（2）根据函数的平移可知，函数可看作反比例函数的图象向左平移3个单位，再向下移动2个单位得到；将函数y=-2的图象下方部分沿x轴翻折至上方，即可得到y=|-2|的图象；
（3）①由（2）中的函数图象可得出方程 ＝0的根；
②方程 根的个数情况，可看作函数y=|-2|与y＝a的交点的个数问题，由图象可得出结果．
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