中小学教育资源及组卷应用平台
第一章：二次根式培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
3．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
5.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6.是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
7.已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8.把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
9.已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10.已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.计算：
12.已知，化简=_________
13.对于实数、作新定义：，，在此定义下，
计算：________
14.若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是
15.若，，则的值为______________
16.已知，则的值为_________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）计算下列各式：
（1） （2）
18．（本题8分）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2．
19.（本题8分）已知二次根式，
（1）如果该二次根式，求的值；
（2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个次根式的积．
20（本题10分）我们发现也可以用完全平方公式进行分解因式，；根据以上发现解决问题
（1）若，请用，表示，
（2）如图在中，，，，延长至点，使，求的长
21（本题10分）设，，，
（1）当取什么实数时都有意义；（2）若为三边长，求的值．
22．（本题12分）阅读下列解题过程：
例：若代数式，求的取值.
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简：；
（2）请直接写出满足的的取值范围 ；
（3）若，求的取值.
23.(本题12分）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．
（1） 如图①，已知△ABC 为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝1，CD＝2，求高AD的长；
（2） 如图②，△ABC 中，AB＝AC＝3，BC＝，求证：△ABC 是勾股高三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一章：二次根式培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
答案：D
解析：A．=，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．是最简根式，符合题意；
故选：D．
2.答案：B
解析：，
∵9<15<16，
∵，
∴，
即 的值和10之间.
故选B
3.答案：A
解析：∵，，
∴，
故选：A
4.答案：C
解析：∵最简二次根式和能合并，
∴与为同类二次根式，∴，
解得：，故C正确．
故选：C．
5.答案：C
解析：由题意得：x+1≥0且x≠0，
∴x≥-1且x≠0，
故选C．
6.答案：D
解析：是三角形的三边，
，解得：，
，
故选：D．
7.答案：B
解析：∵，∴当n=2时， ==4，是整数，故正整数n的最小值为2．
故选B．
8.答案：D
解析：∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．
故选D．
9.答案：A
解析：∵，
，
，
而 ∴
故选A．
10.答案：C
解析∵= =
∴∴
整理得∴
∵∴
整理得∴∴
∴
=
====
故选：C
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：
12.答案：1
解析： ，
故答案为：
13.答案：
解析：=
====．
故答案为：．
14.答案：2
解析：∵，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b，
∴，
∴
故答案为：2.
15.答案：
解析：
∵
∴
16.答案：
解析：，，，，
，即，，
，
故答案为：；
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）
（2）
18.解析：
当时，原式
19.解析：（1）∵，
∴，∴；
（2）∵与最简二次根式能够合并，
∴，
∴
20.解析：（1），所以，
（2）由勾股定理得，，
，又，所以，．
；
所以，所以，
因为为三角形的一边，所以不合题意舍去，
所以
21.解析：（1）∵，，，
∴，解得：，
（2）当为斜边时，由，
即，
解得，
当为斜边时，，
即，
解得，
当为斜边时，，
即，
解得，
∵，
∴或2．
22.解析：（1）∵，∴
(2)∵,∴,
∴
（3）解：原式＝|a+1|+|a﹣3|，
当a＜﹣1时，原式＝﹣（a+1）+（3﹣a）＝2﹣2a＝6，解得a＝﹣2；
当﹣1≤a＜3时，原式＝（a+1）+（3﹣a）＝4，等式不成立；
当a≥3时，原式＝（a+1）+（a﹣3）＝2a﹣2＝6，解得a＝4；
所以，a的值为﹣2或4.
23.解析：（1）∵AD是BC边上的高，BD＝1，CD＝2，
∴AB2＝AD2＋1，AC2＝AD2＋4，
∵△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，
∴ AC2－AB2＝AD2，
即（AD2＋4）－（AD2＋1）＝AD2，
∴AD＝
（2）证明：∵AB＝AC＝3 ，
∴点A不可能为勾股顶点
作BH垂直AC于D点H ，如图，
设HC＝x，由题意，得BC2－CH2＝BH2＝AB2－AH2，
∴，
x＝，
∴BH2＝BC2－CH2＝
∵AB2－BC2＝
∴BH2＝AB2－BC2
∴△ABC是勾股高三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
