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浙教版2022-2023学年九下数学第3章 投影与三视图 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图所示，则其主视图为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱，
∴主视图应该是矩形，而且能看到两条棱，背面的棱用虚线表示，
故答案为：D.
2．如图是某几何体的三视图，这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知的正视图可知，
上下是两个有公共棱的柱体，A、B不符合题意，
由左视图和俯视图可知，上下部分为有相等棱长的柱体，D不符合题意，
∴这个几何体为C选项的图形.
故答案为：C.
3．下列各图中是太阳光下形成的影子的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】太阳光线是平行光线，根据平行投影的特点可知A正确，
故答案为：A.
4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A、三视图分别为正方形、三角形、长方形，故A符合题意；
B、三视图分别为三角形、圆、三角形，故B不符合题意；
C、三视图分别为长方形、圆、长方形，故C不符合题意；
D、三视图分别为三角形、长方形、三角形，故D不符合题意.
故答案为：A.
5．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【答案】A
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
6．一个几何体是由7个完全相同的小正方体搭建而成的.若它的俯视图如图所示，则它的左视图不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由俯视图可得此组合几何体有2层，左视图应该有3列，综上所述可得选项中只有D的不符合题意.
故答案为：D.
7．如图，下面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是（ ）
A．仅图① B．图①和图② C．图②和图③ D．图①和图③
【答案】D
【解析】只有图①、图③能够折叠围成一个三棱锥．
故答案为：D．
8．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）.
A． B．12π C． D．24π
【答案】B
【解析】由三视图可判断该几何体是圆锥，底面直径为4，母线长为6，
∴这个几何体的侧面积为：.
故答案为：B.
9．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是( )
A．S1>S2>S3 B．S3>S2>S1 C．S2>S3>S1 D．S1>S3>S2
【答案】D
【解析】∵主视图的面积是三个正方形的面积之和，
左视图是两个正方形的面积之和，
俯视图是一个正方形的面积， ，
∴S1>S3>S2
故答案为：D
10．如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接OB，AC，BO与AC相交于点F，∵在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠BOA，又∵扇形DOE的半径为3，边长为，∴FO=BF=1.5，cos∠FOC=，∴∠FOC=30°，∴∠EOD=2×30°=60°，∴弧ED的长=，底面圆的周长为：2πr=π，解得：，∵圆锥母线为3，则此圆锥的高为：，故选：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【解析】∵底面半径为1，
∴圆锥的底面周长为，
∴侧面积，
故答案为：．
12．若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x+y= ．
【答案】8
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
1与x是相对面，
3与y是相对面，
∵相对面上两个数之和为6，
∴x=5，y=3，
∴x+y=5+3=8．
故答案为：8．
13．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为 m．
【答案】
【解析】∵∠A=
∴BC是圆的直径，
∴BC=1m，
∵AB=AC，
∴m，
设圆锥的底面圆的半径为Rm，
∴，
解得R=m，
故答案为：．
14．如图，扇形的半径为3，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 ．
【答案】1
【解析】【解答】扇形的弧长= =2π，
∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1．
故答案为：1．
15．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 cm2．（结果可保留根号）．
【答案】360+75
【解析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，
∵其高为12cm，底面半径为5，
∴其侧面积为6×5×12=360cm2
密封纸盒的底面积为：12×5××5×=75cm2，
∴这个密封纸盒的表面积为：（75+360）cm2；
故答案为：（360+75）．
16．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要m个，最多需要n个，则m﹣n＝ ．
【答案】﹣4
【解析】由主视图和俯视图可确定所需正方体个数多时的俯视图为：
最多的小正方形个数时：
∴n＝1+2+2+2+3+3＝13，
最少的小正方形个数时：
∴m＝1+1+1+2+1+3＝9，
∴m－n＝9－13＝﹣4，
故答案为：﹣4
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．
（1）图中有几个小正方体；
（2）画出该几何体的三视图；
【答案】（1）解：1+3+6=10（个）
即图中共有10个小正方体
（2）解：所画的三视图如下：
18．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4.2m，请你计算DE的长．
【答案】（1）如图所示：EF即为所求；
（2）∵AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，EF=4.2m，
∴=，则=，
解得：DE=7，
答：DE的长为7m．
19．妈妈给圆柱形的玻璃杯（底面直径16cm，高20cm）做了一个布套（包住侧面）
（1）求出至少用布料多少平方厘米？
（2）求这个杯子最多可以盛水多少立方厘米？
【答案】（1）解：2π×（）2+π×16×20＝448π（cm2），
答：至少用布料448π平方厘米．
（2）解：π×（）2×20＝1280π（cm3），
答：这个杯子最多可以盛水1280π立方厘米．
20．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A1C1与平面H垂直．
（1）指出正方体六个面在平面H上的正投影图形；
（2）计算投影MNPQ的面积．
【答案】（1）正方体在平面H上的正投影图形是矩形
（2）∵正方体边长为acm，∴BD= = （cm），∴投影MNPQ的面积为 = （cm2）．
21．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm．
（1）求圆锥的全面积；
（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．
【答案】（1）解：由题意，可得圆锥的母线SA= =40（cm）
圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π OA=20πcm
∴S侧= L SA=400πcm2
S圆=πAO2=100πcm2，
∴S全=S圆+S底=（400+100）π=500π（cm2）；
（2）解：沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离
由（1）知，SA=40cm，弧AA′=20πcm
∵ =20πcm，
∴∠S=n= =90°，
∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M
∴SM=30cm，
∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）
所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm．
22．如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
23．根据要求完成下列题目.
（1）图中有 块小正方体.
（2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）.
（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 个小正方体，最多要 个小正方体.
【答案】（1）6
（2）解：如图：
（3）5；7
【解析】（1）由图知，图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块，
∴图中共有1+2+3=6块小正方体，
故答案为：6；
（3）如图，用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要5个，最多需要7个，
故答案为：5，7.
24．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
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浙教版2022-2023学年九下数学第3章 投影与三视图 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图所示，则其主视图为( )
A． B． C． D．
2．如图是某几何体的三视图，这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第4题） （第5题）
3．下列各图中是太阳光下形成的影子的是( )
A． B． C． D．
4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
6．一个几何体是由7个完全相同的小正方体搭建而成的.若它的俯视图如图所示，则它的左视图不可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，下面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是（ ）
A．仅图① B．图①和图② C．图②和图③ D．图①和图③
8．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）.
A． B．12π C． D．24π
（第8题） （第9题） （第10题） （第12题）
9．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是( )
A．S1>S2>S3 B．S3>S2>S1 C．S2>S3>S1 D．S1>S3>S2
10．如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是 ．
12．若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x+y= ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为 m．
14．如图，扇形的半径为3，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 ．
15．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 cm2．（结果可保留根号）．
16．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要m个，最多需要n个，则m﹣n＝ ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．
（1）图中有几个小正方体；
（2）画出该几何体的三视图；
18．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4.2m，请你计算DE的长．
19．妈妈给圆柱形的玻璃杯（底面直径16cm，高20cm）做了一个布套（包住侧面）
（1）求出至少用布料多少平方厘米？
（2）求这个杯子最多可以盛水多少立方厘米？
20．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A1C1与平面H垂直．
（1）指出正方体六个面在平面H上的正投影图形；
（2）计算投影MNPQ的面积．
21．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm．
（1）求圆锥的全面积；
（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．
22．如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
23．根据要求完成下列题目.
（1）图中有 块小正方体.
（2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）.
（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 个小正方体，最多要 个小正方体.
24．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
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