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浙教版2022-2023学年九下数学第3章 投影与三视图 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变 B．俯视图改变 C．左视图不变 D．以上三种视图都改变
3．如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OA＝5cm，高OC＝12cm．则它的侧面积是（ ）
A．130cm2 B．65πcm2 C．60πcm2 D．30cm2
4．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65 cm2，扇形的弧长为10 cm，则圆锥母线长是( )
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm
5．把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在 上的点D处，且 ∶ ＝1∶3（ 表示BD的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1∶3 B．1∶π C．1∶4 D．2∶9
（第6题） （第7题） （第8题） （第10题）
7．如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（ ）cm．（不考虑接缝）
A．5 B．12 C．13 D．14
8．如图，从一块直径是6m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（ ）m．
A． B．4 C． D．2
9．底面半径R，高为h的圆柱与底面半径为r，高为h的圆柱的体积的比是9：25，则R：r等于（ ）
A．9：25 B．25：9 C．3：5 D．5：3
10．一些完全相同的小正方形搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（ ）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．半径为10cm，母线长为15cm的圆锥的侧面积为 .
12．如图，圆锥的母线长为5，底面圆直径CD与高AB相等，则圆锥的侧面积为 ．
（第12题） （第13题） （第14题）
13．如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为 度．
14．如图是某几何体的三视图，其中主视图和左视图是由若干个大小相等的正方形构成的．根据图中所标的尺寸，该几何体的表面积是 （不取近似值）．
15．如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留） ；
（第15题） （第16题）
16．如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，那么所用细线最短需要 cm．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，图1为一个长方体，AB=AD=16，AE=6，图2为左图的表面展开图，请根据要求回答问题：
（1）面“学”的对面是面什么？
（2）图1中，M、N为所在棱的中点，试在图2中画出点M、N的位置； 并求出图2中△ABN的面积．
18．下图是长方体的表面展开图，将它折叠成一个长方体.
（1）哪几个点与点 重合？
（2）若 ， ， ，求这个长方体的表面积和体积.
19．如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？
20．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
21．【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 个正方体纸盒．
22．如图，一个圆锥的高为 cm，侧面展开图是半圆．求：
（1）圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求∠BAC的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
23．如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即 ，如T（60°）＝1.
（1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q.
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）.（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
24．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，
（1）画出该几何体的三视图．
（2）在该几何体的表面刷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体的三个面是黄色．
（3）若现在你手头还有一个相同的小正方体，在不考虑颜色的情况下，该正方体应放在何处才能使堆成的几何体的三视图不变？直接在图中添上该正方体．
（4）若考虑颜色，要使三视图不变，则新添的正方体至少要在 个面上着色．
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浙教版2022-2023学年九下数学第3章 投影与三视图 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，从左面看易得上面有1个竖起来的长方形，下面有2个横着的长方形；
故答案为：C．
2．如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变 B．俯视图改变
C．左视图不变 D．以上三种视图都改变
【答案】C
【解析】根据几何体形状可知：
上层的小正方体由A放在B小正方体上方后，
左视图不发生变换.
故答案为：C.
3．如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OA＝5cm，高OC＝12cm．则它的侧面积是（ ）
A．130cm2 B．65πcm2 C．60πcm2 D．30cm2
【答案】B
【解析】∵半径OA＝5cm，高OC＝12cm，∠AOC=90°，
∴圆锥的母线长CA＝＝13，
∴这个圆锥漏斗的侧面积＝×2π×5×13＝65πcm2，
故答案为：B.
4．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65 cm2，扇形的弧长为10 cm，则圆锥母线长是( )
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm
【答案】D
【解析】
∴选D
5．把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将正方形展开并标上顶点可得如下图所示：
其中 与C相接， 与B相接， 与D相接， 与A相接， 与 相接， 与 相接.故和选项B符合
故答案为：B．
6．如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在 上的点D处，且 ∶ ＝1∶3（ 表示BD的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1∶3 B．1∶π C．1∶4 D．2∶9
【答案】D
【解析】如图，连接OD交AC于点M，
由折叠的性质得OM=OD=OA，∠OMA=90°，
∴∠OAM=30°，∴∠AOM=60°，
∵ ∶ ＝1∶3，∴∠AOB=80°，
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∴，
∴r：l=2：9.
故答案为：D.
7．如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（ ）cm．（不考虑接缝）
A．5 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】先求底面圆的半径，即2πr=10π，r=5cm，
∵扇形的半径13cm，
∴圆锥的高= =12cm．
故答案为：B．
8．如图，从一块直径是6m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（ ）m．
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【解析】∵∠BAC=90°，BC=6，
∴AB=AC=3 ，
∴ 的长为： = π，
圆锥的底面半径为： ，
由勾股定理得，圆锥的高= = ，
故选：A．
9．底面半径R，高为h的圆柱与底面半径为r，高为h的圆柱的体积的比是9：25，则R：r等于（ ）
A．9：25 B．25：9 C．3：5 D．5：3
【答案】C
【解析】根据圆柱体积的计算方法和积的变化规律，再根据圆的面积与半径的关系，已知两个圆柱的高相等，两个圆柱体积的比是9：25，所以两个圆柱底面半径的比是3：5．
故选：C．
10．一些完全相同的小正方形搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（ ）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
【答案】C
【解析】从正面看得到的图形表现了几何体的长与高，从左面看得到的图形表现了几何体的宽和高，得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数，进而得到相应的可能情况总数即可．
【解答】由2个视图可得该组合几何体有3行，3列，所以最底层最多有9个正方体，最少有3个正方体；第二层最多有4个正方体，最少有2个正方体；第3层最多有1个正方体，最少有1个正方体，所以组合几何体最多有9+4+1=14个正方体，最少有3+2+1=6个正方体．
故正方体可能的个数在6和14之间，共有9种可能的情况，
故选C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．半径为10cm，母线长为15cm的圆锥的侧面积为 .
【答案】
【解析】∵半径为10cm，母线长为15cm的圆锥，
∴此圆锥的侧面积为10×15=150.
故答案为：.
12．如图，圆锥的母线长为5，底面圆直径CD与高AB相等，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】5 π
【解析】设CB＝x，则AB＝2x，
根据勾股定理得：x2+（2x）2＝52，
解得：x＝ ，
∴底面圆的半径为 ，
∴圆锥的侧面积＝ × ×2π×5＝5 π．
故答案为：5 π．
13．如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为 度．
【答案】120
【解析】圆锥底面周长=2×5π=10π，
∴扇形的圆心角α的度数=圆锥底面周长×180÷15π=120°．
故答案为：120．
14．如图是某几何体的三视图，其中主视图和左视图是由若干个大小相等的正方形构成的．根据图中所标的尺寸，该几何体的表面积是 （不取近似值）．
【答案】16+π
【解析】∵主视图和左视图中都是正方形，
∴该几何体有2层柱体组成，
∵俯视图中上面是圆，下面是4个正方形，
∴该几何体是四个小正方体上面摆放一个圆柱体；
∵16个边长为a的正方形的面积16，圆柱的侧面积=π×1×1=π，
∴该几何体的表面积为16+π，
故答案为：16+π．
15．如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留） ；
【答案】60π立方厘米
【解析】π×22×10+（π×22×10）=40π+20π=60π（立方厘米）．
故答案为为60π立方厘米．
16．如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，那么所用细线最短需要 cm．
【答案】
【解析】将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短细线长，
，，
，
，
，
∴所用细线最短长度是，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，图1为一个长方体，AB=AD=16，AE=6，图2为左图的表面展开图，请根据要求回答问题：
（1）面“学”的对面是面什么？
（2）图1中，M、N为所在棱的中点，试在图2中画出点M、N的位置； 并求出图2中△ABN的面积．
【答案】（1）解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“学”与“国”是相对面，
“叶”与“际”是相对面，
“枫”与“校”是相对面，
答：面“学”的对面是面国
（2）解：点M、N如图所示，
∵N是所在棱的中点，
∴点N到AB的距离为 ×16=8，
∴△ABN的面积= ×16×8=64．
18．下图是长方体的表面展开图，将它折叠成一个长方体.
（1）哪几个点与点 重合？
（2）若 ， ， ，求这个长方体的表面积和体积.
【答案】解：结合图形可知，折叠成一个长方体后，与字母N重合的点有2个：点F和点J;
（ ）若 ， ， ，求这个长方体的表面积和体积.
解：由 ， ，可得CH=CM-LK=12-4=8cm，
长方体的表面积；2×（8×4+2×4+2×8）=112cm2；
体积：4×8×2=64cm3.
（1）解：结合图形可知，折叠成一个长方体后，与字母N重合的点有2个：点F和点J;
（2）解：由 ， ，可得CH=CM-LK=12-4=8cm，
长方体的表面积；2×（8×4+2×4+2×8）=112cm2；
体积：4×8×2=64cm3.
19．如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？
【答案】（1）解：=2π×10，
解得n=90°．
圆锥表面积=π×102+π×10×40=500πcm2．
（2）解：如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．
在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，
∴AB=20（cm）．
∴甲虫走的最短路线的长度是20cm．
20．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= ==2625 (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴AHCF=OHOF，∴CF= AH OFOH = 2625×32425=64 (m)，∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
21．【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 个正方体纸盒．
【答案】（1）①③④
（2）解：①由图象可知共有6个无盖正方体纸盒，
由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，
故这个几何体的体积为 ；
②3.
【解析】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由5个面，但图②中经折叠后有两个面重复，因此图②中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图①③④均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，
故答案为：①③④．
（2）②由图得左视图和俯视图分别为：
故保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，可放置的正方体纸盒为虚线所示的正方体纸盒：
共3个，
故答案为：3．
22．如图，一个圆锥的高为 cm，侧面展开图是半圆．求：
（1）圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求∠BAC的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
【答案】（1）解：设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC=l，
∵2πr=πl，
∴l：r=2：1；
（2）解：∵AO⊥OC， =2，
∴圆锥高与母线的夹角为30°，
则∠BAC=60°；
（3）解：由图可知l2=h2+r2，h=3 cm，
∴（2r）2=（3 ）2+r2，即4r2=27+r2，
解得r=3cm，
∴l=2r=6cm，
∴圆锥的侧面积为 =18π（cm2）．
23．如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即 ，如T（60°）＝1.
（1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q.
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）.（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
【答案】（1）；
（2）解：①∵圆锥的底面直径PQ＝8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则 ＝8π，
解得：n＝160，
∴圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160°；
②∵160°÷2＝80°，
∴T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.61.
【解析】（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
则
∴T（90°）＝ ，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
∴BD＝ AB，
∴BC＝ AB，
∴T（120°）＝ ；
故答案为： ， ；
24．如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，
（1）画出该几何体的三视图．
（2）在该几何体的表面刷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体的三个面是黄色．
（3）若现在你手头还有一个相同的小正方体，在不考虑颜色的情况下，该正方体应放在何处才能使堆成的几何体的三视图不变？直接在图中添上该正方体．
（4）若考虑颜色，要使三视图不变，则新添的正方体至少要在 个面上着色．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）1
（3）解：如图：
（4）2
【解析】（2.）1个，如图所示，
，
故答案为：1；
（3.）图如①，
（4.）要使三视图不变，则新添的正方体至少要在2个面上着色，故答案为：2．
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