中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年八下数学第一章 二次根式 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在、﹣、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】、、、不是最简二次根式，
﹣是最简二次根式，
故选：A．
2．要使式子 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0
C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
【答案】D
【解析】由题意得，a+2≥0，a≠0，
解得，a≥﹣2且 a≠0，
故答案为：D
3．若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
4．化简为（ ）
A．- B．+ C． D．
【答案】D
【解析】．原式=
故选D．
5．已知=a，=b，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵×=，
=a，=b，
∴ab=，
则=ab．
故选D．
6．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】∵ ， ，
∴
∴
故答案为：B.
7．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得：
，
∵a＜0，
∴b3＜0，
∴b＜0，
∴，
故答案为：A．
8．若a=﹣+﹣，则a的值所在范围为（ ）
A．a≥0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．a＞2
【答案】B
【解析】∵=3+=3+2，
=+=2+，
=+，
=+，
∴a=3+2﹣2﹣++﹣﹣=3﹣，
又∵2＜＜3，
∴0＜a＜1．
故选B．
9．已知： ， ，则 的值为（ ）
A．5 B．-5 C．25 D．5或-5
【答案】A
【解析】∵ab=1＞0，∴a、b同号，
又∵a+b=-5＜0，∴a＜0，b＜0.
；
故答案为：A
10．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若最简根式与是同类根式，则a＝ ．
【答案】2
【解析】由题意得
故答案为：2．
12．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
【答案】 或
【解析】由题意可得： 的“互为友好因式”为： ，
故答案为： ．
13．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：，如，则 ．
【答案】
【解析】∵，
∴
故答案为：.
14．在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
则 ＝ .
【答案】 （ ﹣1）
【解析】∵ ＝ .，……，
∴＝ （ ﹣1），
故答案为： （ ﹣1）.
【分析】根据分母有理数分解将每一个加数进行化简，再逆用乘法分配律及进行二次根式的加减即可得出答案.
15．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
【答案】
【解析】∵，，
......
依此类推，可得：
∴......
=
=
=
=
=
故答案为：.
16．完成下列各题，
（1）若 ，那么 的值是 ．
（2）化简： ．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）原式 ，
，
，
∵ ，
∴ ，
原式 ，
，
，
，
；（2） ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ； ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．先化简：，再求当，时的值．
【答案】解：原式，
当，时，
原式
18．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）已知 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：原式＝5－4＋2，
＝3；
（2）解：∵ ，
∴当 时，
原式＝ ，
＝8＋1＝9.
19．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）．
（1）求这个直角三角形的面积．
（2）求这个直角三角形的斜边长．
【答案】（1）解：这个直角三角形的面积＝；
（2）解：由勾股定理得：这个直角三角形的斜边长＝．
20．已知，．
（1）对x，y进行化简；
（2）求的值．
【答案】（1）解：
=；
=．
（2）解：因为，
∴=．
21．已知a=，b=，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+ab+b2；
（3） .
【答案】（1）解：∵ a=，b=，
∴
（2）解：∵
原式=
（3）解：原式=
22．小明在解决问题：已知 ，求 的值，他是这样分析与解的：
， ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）若 ，求 的值
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：
，即
；
（2）解：
，
，即
．
23．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( )2，3=( )2等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3-2 的算术平方根。
解：3-2 =2-2 +1=( )2-2 +1=( -1)2，
∴3-2 的算术平方根是 -1。
你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
（1）填空： = 。
=
（2）化简：
【答案】（1） +1；4+
（2）解：原式=
，
= ，
= -1
【解析】（1），
.
故答案为：；；
24．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例： 填写一个符合上述运算特征的例子；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简： .
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立
（4）
【解析】（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：特例
特例
特例
用含的式子表示为：，
故答案为：；
（4）解：.
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年八下数学第一章 二次根式 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在、﹣、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．要使式子 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0
C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
3．若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
4．化简为（ ）
A．- B．+ C． D．
5．已知=a，=b，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
8．若a=﹣+﹣，则a的值所在范围为（ ）
A．a≥0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．a＞2
9．已知： ， ，则 的值为（ ）
A．5 B．-5 C．25 D．5或-5
10．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若最简根式与是同类根式，则a＝ ．
12．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
13．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：，如，则 ．
14．在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
则 ＝ .
15．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
16．完成下列各题，
（1）若 ，那么 的值是 ．
（2）化简： ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．先化简：，再求当，时的值．
18．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）已知 ， ，求 的值.
19．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）．
（1）求这个直角三角形的面积．
（2）求这个直角三角形的斜边长．
20．已知，．
（1）对x，y进行化简；
（2）求的值．
21．已知a=，b=，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+ab+b2；
（3） .
22．小明在解决问题：已知 ，求 的值，他是这样分析与解的：
， ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）若 ，求 的值
（2）若 ，求 的值．
23．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( )2，3=( )2等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3-2 的算术平方根。
解：3-2 =2-2 +1=( )2-2 +1=( -1)2，
∴3-2 的算术平方根是 -1。
你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
（1）填空： = 。
=
（2）化简：
24．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例： 填写一个符合上述运算特征的例子；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简： .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
