2022-2023学年浙教版数学八年级下册1.3二次根式的运算 课后测验
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·杏花岭期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2，能与合并，故此选项不符合题意；
B、，不能与合并，故此选项符合题意；
C、=3，能与合并，故此选项不符合题意；
D、=4，能与合并，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
2．（2022八上·闵行期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B. 和，是同类二次根式，故该选项符合题意；
C. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
3．（2022八下·安宁期末）下列无理数中，与相乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴与相乘积为有理数的是，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法逐项判断即可。
4．（2022八上·闵行期中）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A．∵，
∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵，
∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵，
∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵，
∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】有理化因式：两个根式相乘的积不含根号，据此进行解答即可.
5．（2022八下·南充期末）计算 ，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．
【分析】先将第二个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
6．（2022·自贡）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；二次根式的混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、（-1）2=1，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用有理数的乘法法则进行计算，可对A作出判断；利用二次根式的性质和平方差公式矩形计算，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用任何不等于0的数的零次幂等于1，可对D作出判断.
7．（2023九上·万州期末）估算的值应在哪两个整数之间？ （ ）
A．6至7 B．5至6 C．4至5 D．3至4
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，且3＜＜4，
∴，即的值在5至6之间.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算法则可得原式=2+，根据估算无理数大小的方法可得3＜＜4，据此解答.
8．（2022九上·威远期中）计算的结果是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A
【分析】将括号里的二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，再利用二次根式的乘除法法则进行计算，可求出结果.
9．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
10．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4 B．2 C．2 D．20
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2022八上·嘉定期中） .
【答案】6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=2 × =6．
故答案为6．
【分析】利用二次根式的乘法运算计算方法求解即可。
12．（2022八上·闵行期中）分母有理化： ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】将分子分母同乘即可.
13．（2021八下·青县期末）计算= ，
=
【答案】；2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：①
；
②
．
故答案为：①；②2．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的减法即可；利用平方差公式展开计算即可。
14．（2022八上·青浦期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，则ab= ．
【答案】0
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：0．
【分析】根据同类二次根式的定义可求出a、b的值，再代入计算即可.
15．如图，已知阴影部分是一个正方形， ，则此正方形的面积为
【答案】8
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB=4，
∴AC=（等腰直角三角形斜边是直角边的倍）.
或者由勾股定理，
可得：2AC2=16，即AC=，
∴正方形的面积=，
故答案为：8.
【分析】根据等腰直角三角形的性质.斜边等于直角边的的倍，可以得到AC的长度，或者在等腰直角三角形中，利用勾股定理得到AC的长度，正方形的面积等于变长的平方，即为AC2，将AC代入计算可的答案.
16．一个三角形的三边长分别为 和 ，则这个三角形的周长是
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可知，这个三角形三边周长为：，
故答案为：.
【分析】将三角形三边相加，化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可.
17．（2021八下·曲靖期末）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意列得：（）×（）+=3+2，
则输出的数值为．
故答案为．
【分析】根据运算程序直接计算即可.
18．（2023八上·平南期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
则 ＝ .
【答案】 （ -1）
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵ ＝ .，……，
∴
＝ （ -1），
故答案为： （ -1）.
【分析】根据分母有理数分解将每一个加数进行化简，再逆用乘法分配律及进行二次根式的加减即可得出答案.
19．（2022八下·杭州期中）化简题中，有四个同学的解法如下：
①
②
③
④
他们的解法，正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：①，故①正确；
②，故②正确；
③ 当a≠b时 故③错误；
④故④正确；
∴正确的有①②④.
故答案为：①②④.
【分析】利用分母有理化，分别将各个式子进行化简，可得到正确的序号.
三、计算题（共2题，共16分）
20．（2022八下·老河口期中）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先去括号，再进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式，即可求出结果；
（2）先进行二次根式的化简，再去括号，然后合并同类二次根式，即可求出结果.
21．（2022八上·闵行期中）
（1）计算：；
（2）计算：（其中）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质、分母有理化先化简，再合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法则计算，再化简即可.
四、解答题（共4题，共34分）
22．（2022八上·奉贤期中）化简并求值：已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化求出，再将x的值代入计算即可。
23．（2022八上·宝鸡月考）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝．如：1※2．求（－2）※值．
【答案】解：∵m※n＝，
∴（－2）※
．
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】根据定义的新运算可得(-2)※=(-2)2×-(-2)×-3×，然后计算乘方，最后合并同类二次根式即可.
24．（2022八上·大田期中）我们知道，，，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如与互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如：，.
（1）分母有理化的结果是 ；
（2）分母有理化的结果是 ；
（3）分母有理化的结果是 ；
（4）利用以上知识计算：.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：，
同理得：，.
∴原式
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：.
故答案为： ；
（2）.
故答案为： ；
（3）.
故答案为： ；
【分析】（1）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（2）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（3）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（4）将各个加数分别分母有理化，然后再逆用乘法分配律提取公因式“”，进而将括号内的二次根式分别合并即可得出答案.
25．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册1.3二次根式的运算 课后测验
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·杏花岭期中）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·闵行期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．（2022八下·安宁期末）下列无理数中，与相乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·闵行期中）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·南充期末）计算 ，结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·自贡）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·万州期末）估算的值应在哪两个整数之间？ （ ）
A．6至7 B．5至6 C．4至5 D．3至4
8．（2022九上·威远期中）计算的结果是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4 B．2 C．2 D．20
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2022八上·嘉定期中） .
12．（2022八上·闵行期中）分母有理化： ．
13．（2021八下·青县期末）计算= ，
=
14．（2022八上·青浦期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，则ab= ．
15．如图，已知阴影部分是一个正方形， ，则此正方形的面积为
16．一个三角形的三边长分别为 和 ，则这个三角形的周长是
17．（2021八下·曲靖期末）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的值为 ．
18．（2023八上·平南期末）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：
则 ＝ .
19．（2022八下·杭州期中）化简题中，有四个同学的解法如下：
①
②
③
④
他们的解法，正确的是 ．（填序号）
三、计算题（共2题，共16分）
20．（2022八下·老河口期中）计算：
（1）；
（2）.
21．（2022八上·闵行期中）
（1）计算：；
（2）计算：（其中）．
四、解答题（共4题，共34分）
22．（2022八上·奉贤期中）化简并求值：已知，求的值．
23．（2022八上·宝鸡月考）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝．如：1※2．求（－2）※值．
24．（2022八上·大田期中）我们知道，，，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如与互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如：，.
（1）分母有理化的结果是 ；
（2）分母有理化的结果是 ；
（3）分母有理化的结果是 ；
（4）利用以上知识计算：.
25．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2，能与合并，故此选项不符合题意；
B、，不能与合并，故此选项符合题意；
C、=3，能与合并，故此选项不符合题意；
D、=4，能与合并，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B. 和，是同类二次根式，故该选项符合题意；
C. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D. 和，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴与相乘积为有理数的是，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A．∵，
∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵，
∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵，
∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵，
∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】有理化因式：两个根式相乘的积不含根号，据此进行解答即可.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．
【分析】先将第二个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；二次根式的混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、（-1）2=1，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用有理数的乘法法则进行计算，可对A作出判断；利用二次根式的性质和平方差公式矩形计算，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用任何不等于0的数的零次幂等于1，可对D作出判断.
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，且3＜＜4，
∴，即的值在5至6之间.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算法则可得原式=2+，根据估算无理数大小的方法可得3＜＜4，据此解答.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A
【分析】将括号里的二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，再利用二次根式的乘除法法则进行计算，可求出结果.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
10．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．
11．【答案】6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=2 × =6．
故答案为6．
【分析】利用二次根式的乘法运算计算方法求解即可。
12．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】将分子分母同乘即可.
13．【答案】；2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：①
；
②
．
故答案为：①；②2．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的减法即可；利用平方差公式展开计算即可。
14．【答案】0
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：0．
【分析】根据同类二次根式的定义可求出a、b的值，再代入计算即可.
15．【答案】8
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB=4，
∴AC=（等腰直角三角形斜边是直角边的倍）.
或者由勾股定理，
可得：2AC2=16，即AC=，
∴正方形的面积=，
故答案为：8.
【分析】根据等腰直角三角形的性质.斜边等于直角边的的倍，可以得到AC的长度，或者在等腰直角三角形中，利用勾股定理得到AC的长度，正方形的面积等于变长的平方，即为AC2，将AC代入计算可的答案.
16．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可知，这个三角形三边周长为：，
故答案为：.
【分析】将三角形三边相加，化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可.
17．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意列得：（）×（）+=3+2，
则输出的数值为．
故答案为．
【分析】根据运算程序直接计算即可.
18．【答案】 （ -1）
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵ ＝ .，……，
∴
＝ （ -1），
故答案为： （ -1）.
【分析】根据分母有理数分解将每一个加数进行化简，再逆用乘法分配律及进行二次根式的加减即可得出答案.
19．【答案】①②④
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：①，故①正确；
②，故②正确；
③ 当a≠b时 故③错误；
④故④正确；
∴正确的有①②④.
故答案为：①②④.
【分析】利用分母有理化，分别将各个式子进行化简，可得到正确的序号.
20．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先去括号，再进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式，即可求出结果；
（2）先进行二次根式的化简，再去括号，然后合并同类二次根式，即可求出结果.
21．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质、分母有理化先化简，再合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法则计算，再化简即可.
22．【答案】解：∵，
∴
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化求出，再将x的值代入计算即可。
23．【答案】解：∵m※n＝，
∴（－2）※
．
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】根据定义的新运算可得(-2)※=(-2)2×-(-2)×-3×，然后计算乘方，最后合并同类二次根式即可.
24．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：，
同理得：，.
∴原式
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：.
故答案为： ；
（2）.
故答案为： ；
（3）.
故答案为： ；
【分析】（1）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（2）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（3）分子、分母同乘以分母的有理化因式“”即可得出答案；
（4）将各个加数分别分母有理化，然后再逆用乘法分配律提取公因式“”，进而将括号内的二次根式分别合并即可得出答案.
25．【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为14 1，所以它们不互为倒数；（2）根据多项式的乘法的平方差公式计算可得结果为x-y，根据倒数的意义可得x-y=1。
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