2022-2023学年浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·博兴期末）一元二次方程的解为（ ）
A．－2 B．2 C．0或－2 D．0或2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
x2-2x=0，
x(x-2)=0，
x=0或x-2=0，
∴x=0或2，
故答案为：D．
【分析】利用因式分解法解方程即可。
2．（初中数学浙教版八下精彩练习2.2一元二次方程的解法（2））用配方法解方程x2+2x=1，应在方程两边同时加上（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，
（x+1）2=2，
x+1=或-，
∴x=-1+或-1-.
故答案为：D.
【分析】将方程两边同时加1，把左式配成完全平方式，即可解答.
3．（2022八下·梧州期末）在下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、此方程的Δ＝ ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、此方程的Δ＝ ，方程没有实数根，不符合题意；
C、此方程的Δ＝ ，方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、原方程整理得： ，此方程的Δ＝ ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别计算根的判别式△的值，若△=0此方程有两个相等的实数根，据此判断即可.
4．（2022八下·浙江月考）将方程x2- 8×+11= 0配方，则方程可变形为（ ）
A．（x+8）2=5 B．（x-8）2=5 C．（x-4）2=5 D．（x+4）2=5
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2- 8×+11= 0 ，
x2- 8×=-11，
x2- 8×+16=-11+16，
∴（x-4）2=5 .
故答案为：C.
【分析】先把常数移到方程的右边，然后两边同时加一次项系数一半的平方“16”，把左式配成完全平方式，即可解答.
5．（2022八下·浙江月考）一元二次方程2x2-3x-1= 0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=9-4×(-1)×2=17>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况判断：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根；当△≥0时，方程有两实数根，据此即可解决问题．
6．（2022八下·钢城期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且△=(-2)2-4k×1≥0，
解得且k≠0．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
7．（2022八下·莱芜期末）以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A．此方程的根为x=，符合题意；
B．此方程的根为x=，不符合题意；
C．此方程的根为x=，不符合题意；
D．此方程的根为x=，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用公式法求解一元二次方程的方法逐项判断即可。
8．（2022八下·蜀山期末）有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根
B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等
D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程根的判别式为，
方程根的判别式为，
所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A不符合题意；
若两个方程都有实数根，
设方程的一个实数根为m，则，即，
，
，
，
将代入方程的左边得：，
即是方程的根，
所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B符合题意；
将代入方程的左边得：，
即不是方程的根，选项C不符合题意；
将代入方程的左边得：
，
则只有当时，才是方程的根，
所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式对每个选项一一判断即可。
9．（2022八下·上虞期末）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算可将方程变形为2x≥x2-3，求解可得x的范围，然后分：当-1≤x＜0时，[x]=-1，原方程化为x2-1=0，求解可得x的值；当0≤x＜1时，[x]=0，原方程化为x2-3=0，求解即可；同理可求出1≤x＜2、2≤x＜3、x=3时对应的x的值.
10．（2022八下·高青期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
二、填空题
11．（2022八下·延庆期末）方程的解为 ．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
解得，，
故答案为：，．
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
12．（2022八下·环翠期末）代数式与4x的值相等，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：x2-2x=4x，
整理得：x2-6x=0，
分解因式得：x（x-6）=0，
所以x=0或x-6=0，
解得：x1=0，x2=6，
故答案为：x1=0，x2=6．
【分析】根据题意列出方程x2-2x=4x，再求出x的值即可。
13．若 ，则 .
【答案】1；-9
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
=2（x-1）2-9.
∴m=1，n=-9.
故答案为：1，-9.
【分析】先将原式配方，得到2（x-1）2-9，再和比较，得出m、n值，即可解答.
14．（初中数学浙教版八下精彩练习2.2一元二次方程的解法（4））方程2x2+3x-2=0中，判别式b2-4ac= .
【答案】25
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=3，c=-2，
∴b2-4ac=32-4×2×（-2）=25.
故答案为：25.
【分析】先确定a，b，c的值，再代入根的判别式b2-4ac进行计算，即可得出答案.
15．（2020八下·甘井子月考）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 .
【答案】k＞3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于 的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
解得：k＞3，
故答案为：k＞3.
【分析】根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可.
16．（2017八下·宜兴期中）若 ，则 .
【答案】2.5
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】由 =0可得x-y=0，即x=y，所以 = .
【分析】因为已知条件的左边是一个完全平方式，可得x-y=0，所以x=y，把x=y代入所求的代数式可求解。
17．（2022八下·苍南期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6-a=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是
【答案】10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+（a+2）x+6-a=0有两个相等的实数根，
∴△=（a+2）2-4（6-a）=0，
∴a2+8a-20=0，
∴（a-2）（a+10）=0，
∴a=2或a=-10（不符合题意，舍去），
∵△ABC是等腰三角形， 三条边长分别为4，a，b，
∴b=4或b=2（不能构成三角形，舍去） ，
∴△ABC的周长=4+4+2=10.
故答案为：10.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出方程a2+8a-20=0，求出a=2，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得出b=4，求出△ABC的周长，即可得出答案.
18．（2022八下·惠山期末）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根.如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为 .
【答案】DG
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设DG=m，则GC=1-m.
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG=GH=m，FC=0.5.
∵S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，
∴1×1=×1×+×1×m+××（1-m）+××m，
∴m=.
∵x2+x-1=0的解为：x=，
∴取正值为x=.
∴这条线段是线段DG.
故答案为：DG.
【分析】设DG=m，则GC=1-m，由题意可知：△ADG≌△AHG，则DG=GH=m，根据中点的概念可得FC=0.5，根据面积间的和差关系可得S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，结合正方形、三角形的面积公式可得m的值，利用公式法可求出一元二次方程的解，据此判断.
19．（2022八下·长兴月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
三、计算题
20．（2022八下·拱墅期末）
（1）解方程： ．
（2）计算： ．
【答案】（1）解： 或 ，
或
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程的左边是一个完全平方式，右边是一个正数，故直接开平方法可求解；
（2）根据积乘方的意义及二次根式的性质，先计算乘方，然后根据有理数的减法法则进行计算.
21．（2022八下·乳山期末）解方程：．（因式分解法）
【答案】解：，
移项得：
或
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
四、解答题
22．（2020八下·北京月考）已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】∵方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×m=4-4m＞0，
解得：m＜1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据方程有两个不等的实数根则根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
23．（2022八下·泉港期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m＝1时，试求出该方程的解；
（2）求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：当m＝1时，原方程为
∴
∴，
（2）证明：
∵，∴
∴不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）当m=1时，方程为x2-2x-8=0，然后利用因式分解法求解即可；
（2）首先求出判别式的值，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况.
24．（2022八下·拱墅月考）已知关于 的一元二次方程 的一个解是 ，另一个解是正数，而且也是方程 的解，请求出 的值.
【答案】解：方程 ，
整理得： ，即 ，
解得： 或 舍去 ，
与 都为方程 的解，
， ，
解得： ， ，
则 .
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用因式分解法求出方程(x+4)2-22=9x的解，结合题意得出x2+mx+n=0的解，然后根据根与系数的关系可求出m、n的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.
25．（2022八下·长沙竞赛）已知关于x的方程 只有一个实数根，求实数a的值.
【答案】解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0，△=4（2a－1），
（1）当△=0，即a= 时，显然x= 是原方程的解.
（2）当△＞0，即a＞ 时，x1= （1+ ），x2= （1－ ），
显然x1＞0，∴x1≠－1，x1≠0，它是原方程的解，
∴只需x2=0或－1时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根，
∴当x2=0时，即 （1－ ）=0，得：a=1；
当x2=－1时，即 （1－ ）=－1，得：a=5.
综上，当a= ，1，5时原方程只有一个实数根.
【知识点】公式法解一元二次方程；分式方程的增根
【解析】【分析】将原方程去分母得到整式方程，算出方程根的判别式的值，分当△=0时，a=，显然x=是原方程的解；当△＞0时，根据求根公式求出x，只需x2为增根，此时原方程只有一个实数根，求解可得a的值.
26．（2019八下·长春期中）阅读下面材料，解答问题：将4个数a、b、c、d排列成2行2列，记为： ，叫做二阶行列式．意义是 ．例如： ．
（1）请你计算 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：原式＝
=
=
=
（2）解：由题可得：
（x+1）（2x+1）﹣3x=9，
，
∴
解得： .
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义得到 ＝5× - × ，然后进行二次根式的乘法运算；（2）根据新定义得到（x+1）（2x+1）-3x=9，然后整理后利用直接开平方法解方程．
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册2.2一元二次方程的解法 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·博兴期末）一元二次方程的解为（ ）
A．－2 B．2 C．0或－2 D．0或2
2．（初中数学浙教版八下精彩练习2.2一元二次方程的解法（2））用配方法解方程x2+2x=1，应在方程两边同时加上（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
3．（2022八下·梧州期末）在下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·浙江月考）将方程x2- 8×+11= 0配方，则方程可变形为（ ）
A．（x+8）2=5 B．（x-8）2=5 C．（x-4）2=5 D．（x+4）2=5
5．（2022八下·浙江月考）一元二次方程2x2-3x-1= 0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．（2022八下·钢城期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
7．（2022八下·莱芜期末）以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八下·蜀山期末）有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根
B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等
D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
9．（2022八下·上虞期末）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022八下·高青期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
二、填空题
11．（2022八下·延庆期末）方程的解为 ．
12．（2022八下·环翠期末）代数式与4x的值相等，则x的值为 ．
13．若 ，则 .
14．（初中数学浙教版八下精彩练习2.2一元二次方程的解法（4））方程2x2+3x-2=0中，判别式b2-4ac= .
15．（2020八下·甘井子月考）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 .
16．（2017八下·宜兴期中）若 ，则 .
17．（2022八下·苍南期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6-a=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是
18．（2022八下·惠山期末）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根.如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为 .
19．（2022八下·长兴月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
三、计算题
20．（2022八下·拱墅期末）
（1）解方程： ．
（2）计算： ．
21．（2022八下·乳山期末）解方程：．（因式分解法）
四、解答题
22．（2020八下·北京月考）已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
23．（2022八下·泉港期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m＝1时，试求出该方程的解；
（2）求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．
24．（2022八下·拱墅月考）已知关于 的一元二次方程 的一个解是 ，另一个解是正数，而且也是方程 的解，请求出 的值.
25．（2022八下·长沙竞赛）已知关于x的方程 只有一个实数根，求实数a的值.
26．（2019八下·长春期中）阅读下面材料，解答问题：将4个数a、b、c、d排列成2行2列，记为： ，叫做二阶行列式．意义是 ．例如： ．
（1）请你计算 的值；
（2）若 ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
x2-2x=0，
x(x-2)=0，
x=0或x-2=0，
∴x=0或2，
故答案为：D．
【分析】利用因式分解法解方程即可。
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，
（x+1）2=2，
x+1=或-，
∴x=-1+或-1-.
故答案为：D.
【分析】将方程两边同时加1，把左式配成完全平方式，即可解答.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、此方程的Δ＝ ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、此方程的Δ＝ ，方程没有实数根，不符合题意；
C、此方程的Δ＝ ，方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、原方程整理得： ，此方程的Δ＝ ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别计算根的判别式△的值，若△=0此方程有两个相等的实数根，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2- 8×+11= 0 ，
x2- 8×=-11，
x2- 8×+16=-11+16，
∴（x-4）2=5 .
故答案为：C.
【分析】先把常数移到方程的右边，然后两边同时加一次项系数一半的平方“16”，把左式配成完全平方式，即可解答.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=9-4×(-1)×2=17>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况判断：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根；当△≥0时，方程有两实数根，据此即可解决问题．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且△=(-2)2-4k×1≥0，
解得且k≠0．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
7．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A．此方程的根为x=，符合题意；
B．此方程的根为x=，不符合题意；
C．此方程的根为x=，不符合题意；
D．此方程的根为x=，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用公式法求解一元二次方程的方法逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程根的判别式为，
方程根的判别式为，
所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A不符合题意；
若两个方程都有实数根，
设方程的一个实数根为m，则，即，
，
，
，
将代入方程的左边得：，
即是方程的根，
所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B符合题意；
将代入方程的左边得：，
即不是方程的根，选项C不符合题意；
将代入方程的左边得：
，
则只有当时，才是方程的根，
所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式对每个选项一一判断即可。
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算可将方程变形为2x≥x2-3，求解可得x的范围，然后分：当-1≤x＜0时，[x]=-1，原方程化为x2-1=0，求解可得x的值；当0≤x＜1时，[x]=0，原方程化为x2-3=0，求解即可；同理可求出1≤x＜2、2≤x＜3、x=3时对应的x的值.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
11．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
解得，，
故答案为：，．
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：x2-2x=4x，
整理得：x2-6x=0，
分解因式得：x（x-6）=0，
所以x=0或x-6=0，
解得：x1=0，x2=6，
故答案为：x1=0，x2=6．
【分析】根据题意列出方程x2-2x=4x，再求出x的值即可。
13．【答案】1；-9
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
=2（x-1）2-9.
∴m=1，n=-9.
故答案为：1，-9.
【分析】先将原式配方，得到2（x-1）2-9，再和比较，得出m、n值，即可解答.
14．【答案】25
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=2，b=3，c=-2，
∴b2-4ac=32-4×2×（-2）=25.
故答案为：25.
【分析】先确定a，b，c的值，再代入根的判别式b2-4ac进行计算，即可得出答案.
15．【答案】k＞3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于 的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
解得：k＞3，
故答案为：k＞3.
【分析】根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可.
16．【答案】2.5
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】由 =0可得x-y=0，即x=y，所以 = .
【分析】因为已知条件的左边是一个完全平方式，可得x-y=0，所以x=y，把x=y代入所求的代数式可求解。
17．【答案】10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+（a+2）x+6-a=0有两个相等的实数根，
∴△=（a+2）2-4（6-a）=0，
∴a2+8a-20=0，
∴（a-2）（a+10）=0，
∴a=2或a=-10（不符合题意，舍去），
∵△ABC是等腰三角形， 三条边长分别为4，a，b，
∴b=4或b=2（不能构成三角形，舍去） ，
∴△ABC的周长=4+4+2=10.
故答案为：10.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出方程a2+8a-20=0，求出a=2，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得出b=4，求出△ABC的周长，即可得出答案.
18．【答案】DG
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设DG=m，则GC=1-m.
由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，
∴DG=GH=m，FC=0.5.
∵S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，
∴1×1=×1×+×1×m+××（1-m）+××m，
∴m=.
∵x2+x-1=0的解为：x=，
∴取正值为x=.
∴这条线段是线段DG.
故答案为：DG.
【分析】设DG=m，则GC=1-m，由题意可知：△ADG≌△AHG，则DG=GH=m，根据中点的概念可得FC=0.5，根据面积间的和差关系可得S正方形=S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，结合正方形、三角形的面积公式可得m的值，利用公式法可求出一元二次方程的解，据此判断.
19．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
20．【答案】（1）解： 或 ，
或
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程的左边是一个完全平方式，右边是一个正数，故直接开平方法可求解；
（2）根据积乘方的意义及二次根式的性质，先计算乘方，然后根据有理数的减法法则进行计算.
21．【答案】解：，
移项得：
或
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
22．【答案】∵方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×m=4-4m＞0，
解得：m＜1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据方程有两个不等的实数根则根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
23．【答案】（1）解：当m＝1时，原方程为
∴
∴，
（2）证明：
∵，∴
∴不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）当m=1时，方程为x2-2x-8=0，然后利用因式分解法求解即可；
（2）首先求出判别式的值，然后根据其结果的正负即可确定方程根的情况.
24．【答案】解：方程 ，
整理得： ，即 ，
解得： 或 舍去 ，
与 都为方程 的解，
， ，
解得： ， ，
则 .
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用因式分解法求出方程(x+4)2-22=9x的解，结合题意得出x2+mx+n=0的解，然后根据根与系数的关系可求出m、n的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.
25．【答案】解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0，△=4（2a－1），
（1）当△=0，即a= 时，显然x= 是原方程的解.
（2）当△＞0，即a＞ 时，x1= （1+ ），x2= （1－ ），
显然x1＞0，∴x1≠－1，x1≠0，它是原方程的解，
∴只需x2=0或－1时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根，
∴当x2=0时，即 （1－ ）=0，得：a=1；
当x2=－1时，即 （1－ ）=－1，得：a=5.
综上，当a= ，1，5时原方程只有一个实数根.
【知识点】公式法解一元二次方程；分式方程的增根
【解析】【分析】将原方程去分母得到整式方程，算出方程根的判别式的值，分当△=0时，a=，显然x=是原方程的解；当△＞0时，根据求根公式求出x，只需x2为增根，此时原方程只有一个实数根，求解可得a的值.
26．【答案】（1）解：原式＝
=
=
=
（2）解：由题可得：
（x+1）（2x+1）﹣3x=9，
，
∴
解得： .
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义得到 ＝5× - × ，然后进行二次根式的乘法运算；（2）根据新定义得到（x+1）（2x+1）-3x=9，然后整理后利用直接开平方法解方程．
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