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浙教版2022-2023学年八下数学第一章 二次根式 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知ab＜0，则化简后为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
6．若x，y为实数，且，则x+y的值为( )
A．7 B．1 C．-7 D．-1
7．已知n是一个正整数，若 是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
8．把根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
9．已知a满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
10．已知a+b=﹣8，ab=8，则式子+ 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
12．已知，化简二次根式的正确结果是
13．已如，．则 ．
14．规定，，则 ；
15．已知a，b，c为△ABC三边的长，化简＝ .
16．设m、x、y均为正整数，且 ，则（x+y+m） = .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）已知 ， ，求 的值.
18．三角形的周长为 ，面积为 ，已知两边的长分别为 和 ，求：
（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
19．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
20．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
21．已知a=，b=，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+ab+b2；
（3） .
22．已知 ， ， ， .
（1）求m，n的值；
（2）若 ， ，求 的值.
23．阅读下列材料，并解答问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ；……
（1）直接写出第⑤个等式 ；
（2）用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；
（3）利用你探索的规律，求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值．
24．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 ，求 的值.他是这样解答的：
， ，
，
.
请你根据小明的解析过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简 ；
（3）若 ，求 的值.
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浙教版2022-2023学年八下数学第一章 二次根式 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、∵，
∴不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、∵，
∴不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、∵，
∴不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：B.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
D、，符合题意；
故答案为：D．
3．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得：且，
解得：．
故答案为：A
4．已知ab＜0，则化简后为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵a2b≥0，a2≥0，
∴b≥0，
∵ab<0，
∴b>0，a<0，
∴.
故答案为：C.
5．计算的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】（-1）×（+1）2
=（-1）×（+1）×（+1）
=（3-1）×（+1）
=2×（+1）
=2+2，
故答案为：A．
6．若x，y为实数，且，则x+y的值为( )
A．7 B．1 C．-7 D．-1
【答案】D
【解析】由得x=-4，
∴3-y=0，
∴y=3，
∴x+y=-4+3=-1.
故答案为：D.
7．已知n是一个正整数，若 是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
【答案】C
【解析】∵n为正整数，为整数，
∴135n为完全平方数，
∴当n=15时，135×15=452，
即当n=15时，为整数，且n为最小.
故答案为：C.
8．把根号外的因式移入根号内得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．
∵成立，
∴﹣＞0，即n＜0，
原式=﹣．
故本题选D．
9．已知a满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】由题意知：，解得：，
∴，
∵，
∴，得：，
∴，即．
故答案为：D
10．已知a+b=﹣8，ab=8，则式子+ 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a+b=﹣8，ab=8，所以a<0，b<0，所以 + = + = = = = ，故选A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】
【解析】 而与最简二次根式是同类二次根式，
故答案为：
12．已知，化简二次根式的正确结果是
【答案】
【解析】根据题意，xy＞0，
得x和y同号，
又∵中，
∴y＜0，
∴x＜0，y＜0，
则原式=，
故答案为：．
13．已如，．则 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴x2﹣y2＝
故答案为：．
14．规定，，则 ；
【答案】3
【解析】∵=，
∵
∴=
所以
故答案为：3.
15．已知a，b，c为△ABC三边的长，化简＝ .
【答案】2c
【解析】∵a、b、c是△ABC三边的长，
∴ ，，
∴，，
∴原式=|a-b-c|+|b-a-c|=b+c-a+a+c-b=2c.
故答案为：2c.
16．设m、x、y均为正整数，且 ，则（x+y+m） = .
【答案】256
【解析】两边同时平方得： ，又因为m、x、y均为正整数，所以： ， ；所以 ，又因为 ，即 ；所以 ；所以 =8；所以
所以答案为：256
【分析】等式两边分别完全平方，然后观察两边代数式，无理数部分相等，有理数部分相等，据此列方程组求解即可
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）已知 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：原式＝5－4＋2，
＝3；
（2）解：∵ ，
∴当 时，
原式＝ ，
＝8＋1＝9.
18．三角形的周长为 ，面积为 ，已知两边的长分别为 和 ，求：
（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
【答案】（1）解： 三角形周长为 ，两边长分别为为 和 ，
第三边的长是： ；
故第三边的长为： ；
（2）解：设第三边上的高为 ，
则 ，
解得： ，
故第三边上的高为： ．
19．我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 与 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．
（1）判断 与 是否互为倒数，并说明理由；
（2）若实数 是 的倒数，求x和y之间的关系．
【答案】（1）解：因为（4+ ）（4－ ）=16-2=14 1，所以4+ 与4－ 不互为倒数
（2）解：因为（ + ）（ － ）=x-y，所以当x-y=1时，此两数互为倒数
20．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
【答案】（1）解：∵a＝9，b＝7，c＝8，
∴，
∴；
（2）解：由（1）及题意得：，
∴．
21．已知a=，b=，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2+ab+b2；
（3） .
【答案】（1）解：∵ a=，b=，
∴
（2）解：∵
原式=
（3）解：原式=
22．已知 ， ， ， .
（1）求m，n的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：由题意得， ，
（2）解：由（1）得， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
23．阅读下列材料，并解答问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ；……
（1）直接写出第⑤个等式 ；
（2）用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；
（3）利用你探索的规律，求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值．
【答案】（1）
（2）解：观察可知等式左边是 ，右边是 ，
所以用含n的等式表示为： =
（3）解： ＋ ＋ ＋…＋
= + + +…+
=
=
【解析】（1）观察前4个等式，可知第⑤个等式是 ，
故答案为 ；
24．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 ，求 的值.他是这样解答的：
， ，
，
.
请你根据小明的解析过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简 ；
（3）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）解：原式
；
（3）解： ，
，
，
即 .
.
.
【解析】（1） ，
故答案为： ；
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