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浙教版2022-2023学年八下数学第一章 二次根式 能力提升测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x≥0且x≠1
3．若成立，则a，b满足的条件是（ ）
A．a<0且b>0 B．a≤0且b≥0 C．a<0且b≥0 D．a，b异号
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
5．如果，，那么下面各式：①，②，③，其中正确的是（ ）.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．一次函数 的图象如图所示，则化简 的结果是（ ）
A．1 B．－1 C．2m－3 D．－2m＋3
7．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
8．若a，b满足，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．的值等于（ ）
A．-3.1 B．3.1 C．1- D．(3.1-)
10．已知 a= ，b= ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
12．函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．若m＝2﹣，则式子m（m﹣4）的值为 ．
14．若 ，则 .
15．如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为 ．
16．已知 是实数，且 和 都是整数，那么 的值是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）（﹣）（+）+；
（2） ．
18．已知一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为x．
（1）用关于x的代数式表示这个直角三角形的另一条直角边长；
（2）当x=40时，求另一条直角边的长．
19．已知x=2﹣ ，y=2+ ，求代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
20．如图：每个小正方形的边长都是1.
（1）求四边形的周长.
（2）求证：.
21．
（1）已知：，求的值．
（2）已知，，求的值．
22．
（1）已知a为实数，求代数式： 的值.
（2）已知m是 的小数部分.①求m2+2m+1的值；②求 的值.
23．阅读下面问题：
，根据以上解法试求：
（1）直接填空： ；
（2） ；
（3）利用上述规律，求下列式子的值：
．
24．由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号.
例如：已知 ，求式子 的最小值.
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当 ，式子 的最小值为 ；当 ，则当 时，式子 取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值.
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浙教版2022-2023学年八下数学第一章 二次根式 能力提升测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. 不是同类二次根式，不能相加，该选项错误；
B. ，该选项正确；
C. ，该选项错误；
D. ，该选项错误．
故答案为：B．
2．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x≥0且x≠1
【答案】D
【解析】由x≥0且x-1≠0得出x≥0且x≠1，
x的取值范围是x≥0且x≠1，
故答案为：D．
3．若成立，则a，b满足的条件是（ ）
A．a<0且b>0 B．a≤0且b≥0 C．a<0且b≥0 D．a，b异号
【答案】B
【解析】成立，
故答案为：B.
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴
=
=-a－b＋a－b
=-2b
故答案为：A．
5．如果，，那么下面各式：①，②，③，其中正确的是（ ）.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【解析】∵ab＞0，a＋b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，故①不正确；
②，故②正确；
③，故③正确.
故答案为：B.
6．一次函数 的图象如图所示，则化简 的结果是（ ）
A．1 B．－1 C．2m－3 D．－2m＋3
【答案】A
【解析】由图象得一次函数 的图象经过一、二、四象限，且与y轴的交点在（0，2）下方，原点上方，
所以， ，
解得， ，
∴
=
=
=
=
=1
故答案为：A.
7．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得：
，
∵a＜0，
∴b3＜0，
∴b＜0，
∴，
故答案为：A．
8．若a，b满足，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 a，b满足，
，
，
则点在第四象限，
故答案为：D.
9．的值等于（ ）
A．-3.1 B．3.1 C．1- D．(3.1-)
【答案】A
【解析】解：∵10＞9.91，
∴＞3.1，
∴3.1﹣＜0，
∴=﹣3.1．
故选A．
10．已知 a= ，b= ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为a= = +2，b= = -2，所以 = = =5，故选A.
【分析】先将a、b进行分母有理化，再代入代数式进行运算，最后得到正确结果，是解此题的一个小技巧．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】2
【解析】根据题意得：x+3=1+2x，
解得：x=2．
故答案为：2．
12．函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥3
【解析】根据题意得：x 3≥0且x+5≠0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
13．若m＝2﹣，则式子m（m﹣4）的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】当m＝2﹣时，
m（m﹣4）
＝（2﹣）（2﹣﹣4）
＝（2﹣）（﹣2﹣）
＝（﹣）2﹣22
＝3﹣4
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．若 ，则 .
【答案】-2023
【解析】∵
∴ ，解得
∴
∴原方程可以化为：
∴
故答案为：-2023.
15．如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】 正方形① 的边长= =4，正方形③ 的边长= ，
∴阴影部分长方形的长=正方形② 的边长=4- ，
阴影部分长方形的宽=4- - =4-2 ，
∴阴影部分的面积=(4-2 ) = .
故答案为： .
16．已知 是实数，且 和 都是整数，那么 的值是 .
【答案】
【解析】由题意设m+ =a（a为整数）， =b（b为整数），
∴m=a- ,
∴ =b，
整理得：
，
∴b2-8=1，8a-ab2=-b，
解得：b=±3，a=±3，
∴m=±3- .
故答案为±3- .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）（﹣）（+）+；
（2） ．
【答案】（1）解：（ ﹣ ）（ + ）+
＝5﹣7+
＝﹣2+ ；
（2）解：
＝3﹣2 +2﹣（1﹣2 +2）
＝5﹣2 ﹣3+2
＝2．
18．已知一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为x．
（1）用关于x的代数式表示这个直角三角形的另一条直角边长；
（2）当x=40时，求另一条直角边的长．
【答案】（1）解：另一条直角边长为
（2）解：当x=40时，另一条直角边的长为 =9
19．已知x=2﹣ ，y=2+ ，求代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【答案】（1）解：x2+2xy+y2
=（x+y）2
=[（2﹣ ）+（2+ ）]2
=42
=16；
（2）解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
=（2﹣ +2+ ）（2﹣ ﹣2﹣ ）
=4×（﹣2 ）
=﹣8 ．
20．如图：每个小正方形的边长都是1.
（1）求四边形的周长.
（2）求证：.
【答案】（1）解：利用勾股定理得：，，，
∴四边形的周长
（2）证明：连接BD.
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴.
21．（1）已知：，求的值．
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）解：当时，
原式，
，
，
，
（2）解：，，
，
原式，
，
，
．
22.（1）已知a为实数，求代数式： 的值.
（2）已知m是 的小数部分.①求m2+2m+1的值；②求 的值.
【答案】（1）解：由 ，得， ，
则 .
（2）解：①m＝ ﹣1：
原式＝（m+1）2＝2；
②原式＝|m﹣ |＝| ﹣1﹣ ﹣1|＝2.
23．阅读下面问题：
，根据以上解法试求：
（1）直接填空： ；
（2） ；
（3）利用上述规律，求下列式子的值：
．
【答案】（1） ﹣
（2） ﹣
（3）解：
＝ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ﹣
＝﹣3+10
＝7．
【解析】（1） ＝ ＝ ﹣ ；
故答案为： ﹣ ；
（2） ＝ ＝ ﹣ ；
故答案为： ﹣ ；
24．由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号.
例如：已知 ，求式子 的最小值.
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当 ，式子 的最小值为 ；当 ，则当 时，式子 取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值.
【答案】（1）2；-3
（2）解：设篱笆的长为 ，则宽为 ，∴篱笆的周长为 ,
∵ ，
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，解得 或 （舍去），
∴ =4，
∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）解：设点B到AC的距离BE= ，点D到OC的距离DF= ，
∵ 、 的面积分别是8和14，
∴OA= ，OC= ，
∴AC=OA+OC= + ，
∴
( + )
= + + ，
∵ ，
∴ + ，
∴ + + ，
∴四边形 面积的最小值 .
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴式子 的最小值为为2，
故答案为：2；
∵ ，
∴ ＞
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，
解得 不符合题意，舍去，取 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，式子 取到最大值，
故答案为：-3；
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