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第一章：解直角三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度为1：，则AB的长度为（ ）
A．10m B．10m C．5m D．5m
2.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为( )
A．cosθ(1+cosθ) B．cosθ(1+sinθ) C．sinθ(1+sinθ) D．sinθ(1+cosθ)
5.在中，、均为锐角，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
7．如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于和，若，，则长为（ ）
A．2 B． C． D．
8．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米
A． B． C． D．
9.如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2.作AE∥BC且AE=BC.点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点.那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C． D．4
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，在矩形ABCD中，，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点处，线段AB扫过的面积为
12．某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）
13.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．
14．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，点D、E分别在AC、BC上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则cos∠ABF＝
15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA=
16.如图．点E在正方形ABCD的边BC上，2BE=3CE，过点D作AE的垂线交AB于F，点G为垂足，若FG=3，则EG的长为
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）计算下列各式：
（1） （2）
18．（本题8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．
（1）求证：∠1=∠F．（2）若，，求的长．
19（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）求
20.（本题10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）
21．（本题10分）如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到岛礁C的距离；
（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）
22．（本题12分）如图，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于点O，A，顶点为B，动点E在抛物线对称轴上，点F在对称轴右侧抛物线上，点C在x轴正半轴上，且，连接OE，CF得四边形OCFE．
（1）求B点坐标；（2）当tan∠EOC=时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；（3）当0＜tan∠EOC＜3时，对于每一个确定的tan∠EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan∠EOC．
23（本题12分）．在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=， ，直接写出tan∠CEB的值．
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第一章：解直角三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：∵坡面AB的坡度为，
∴AC＝5m，
∴．
故选：A．
2.答案：A
解析：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得.
故答案为：A.
3.答案：B
解析：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵点A，B，C都在格点上，
∴∠ADC＝∠ABC，
在Rt△ABC中，
cos∠ABC＝＝cos∠ADC，
故选：B．
4.答案：D
解析：当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，
∵A′D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，
∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ
∴.
故答案为：D.
5.答案：B
∵|tanB |+(2sinA )2＝0，
∴|tanB |＝0，(2sinA )2＝0，
∴tanB=，∠B=60°，
2sinA-=0，sinA=，∠A=60°，
在△ABC中，∠C=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：B．
6.答案：C
解析：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：，
故答案为：C．
7.答案：D
解析：∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵是半圆的直径，
∴
∴
∴
∴
∴，
故选：D．
8.答案：B
解析：设EF＝5x米，
∵斜坡BE的坡度为5：12，
∴BF＝12x米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，
解得：x＝100，
则EF＝500米，BF＝1200米，
由题意可知，四边形DCFE为矩形，
∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝，
则，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，
∴，
解得：，
∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，
故选：B．
9.答案：B
解析：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=1，
∵AE=BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，
∴AD=2，则CE=AD=2，
当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，
当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN.
∵BC=2，CE=2，
由勾股定理得BE=4，
cos∠EBC=，即，
∴BF=8，
∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，
∴MN=CF=3，
∴点M的运动路径长为4.
故答案为：B.
10.答案：D
解析：设正方形的边长为2
∵在正方形ABCD中， E是BC的中点
∴AB=BC=2，BE=EC=AB=1，∠C=∠B=90°，
∴AE=,tan∠BAE=
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE =90°，
∴∠BAE=∠BAE
∴tan∠FEC=,CE=1
∴CF=
∴EF=
∴tan∠EAF =
∴∠BAE＝∠EAF，故①正确；
∴tan∠CFE=，tan∠AFE=，
∴∠AFE=∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；
∵BC=CD，BC=2CE=4CF，
∴CF=CD，故③正确；
作EG⊥AF于点G，
∵FE平分∠AFC，∠C=90°，
∴EG=EC，
∴EG=EB，
∵∠B=∠AGE=90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中
AE=AE，EB=EG
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）
∴AB=AG，
又∵CF=GF，AF=AG+GF，
∴AF=AB+CF，故④正确；
综上共有4个正确结论．
故答案为D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵
∴
∵矩形ABCD中，
∴,
由旋转可知，
∵，
∴
∵
∴,
∴线段AB扫过的面积
故答案为：
12.答案：
解析：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，
则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
设DE=x m，
在Rt△BDE中，
解得
则，
在Rt△ADE中，，
解得：，
∴CD=CE-DE=．
故答案为：12.7．
13.答案：
解析：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：，
∴
设DF=x m，CF=x m，
∴CD=，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=m，
∴DH=BF=+30（m），
∵∠ADH=30°，
∴AB=AH+BH=
故答案为：．
14.答案：
解析：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，
∵四边形CDFE是边长为2的正方形，
∴CD=CE=DF=EF=2，∠C=∠ADF=90°，
∵AC=6，BC=8，
∴AD=4，BE=6，
∴AB=，，
设BG=x，
∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，
∴20-（10-x）2=40-x2，
解得：x=6，
故答案为：
15.答案：或 ．
分两种情况：
①如图1，
BD是AC边上的中线，BD=AC．
设AD=DC=k，则BD=AC=2k．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°，
∴BC=，
∴tanA=；
②如图2，
AD是BC边上的中线，AD=BC．
设BD=DC=k，则AD=BC=2k．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，
∴AC=，
∴tanB=，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴tan∠CAB=
综上可知，所求值为或 ．
故答案为或 ．
16.答案：
解析：∵，且四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵，即
，
∴，
设
，则
，则
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）
解：原式
（2）
解：原式
18.解析：（1）证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；
（2）解：∵∠1=∠F，
∴AE=EF=2 ，
∴AB=2AE=4 ，
在Rt△ABC中，AC=AB sinB=4，
∴BC= ，
设CD=x，则AD=BD=8﹣x，
∵AC2+CD2=AD2，
即42+x2=（8﹣x）2，
∴x=3，即CD=3．
19.（1）解析：∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB= ，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD cos45°=，
∴BE=AB﹣AE=，
即线段BE的长为
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，
∴EH=BH=BE cos45°=，
∵BC=3，∴CH=1，
在Rt△CHE中，cot∠ECB= ，即∠ECB的余切值为
20.解析：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，
∴四边形BMEN为矩形，
∴NE=BM=5米，BN=ME，
在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴AM＝（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），
即广告牌CD的高度约为6.7米．
21.解析：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，
则DC=60海里，
故cos30°=，
解得：AC=40 ，
答：点A到岛礁C的距离为40 海里．
（2）解：如图所示 ：过点A′作A′N⊥BC于点N，
可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，
则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，
设AA′=x，则A′E=x，
故CA′=2A′N=2× x=x，
∵ x+x=40 ，
∴解得：，
答：此时“中国海监50”的航行距离为海里．
22.解析：（1）∵y=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
∴B（3，9）
（2）抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x轴于H，如图，
∵tan∠EOC=，即tan∠EOH=，
∴，
∴EH=4，
∴E点坐标为（3，4）或（3，﹣4），
当y=4时，﹣（x﹣3）2+9=4，解得x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ，
当y=﹣4时，﹣（x﹣3）2+9=﹣4，解得x1=3﹣ （舍去），x2=3+ ，
∴F点坐标为（3+ ）或（3+ ，﹣4）
（3）如图，∵平行四边形OEFC和平行四边形OE′F′C′等高，
∴这两个四边形的面积之比为1：2时，OC′=2OC，
设OC=t，则OC′=2t，
∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t，
而点F和F′的纵坐标互为相反数，
∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得，（舍去），
∴F点坐标为（ ， ），
∴E（3， ），
∴tan∠EOC=．
23.解析：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠AMB=∠NBC，
∴△ABM∽△BCN
（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.
∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，
∴∠BAP=∠CPM=∠C，
∴MP=MC
∵tan∠PAC=，
设MN=2m，PN=，
根据勾股定理得，，
∴
（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC=，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB=90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴，
设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
∵AB=AE，AG⊥BE，
∴EG=BG=4m，
∴GH=BG+BH=4m+3n，
∴，
∴n=2m，
∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC=
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