(共29张PPT)
新浙教版数学八年级（下）
4.1 多边形(1)
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所形成的图形叫三角形 .
由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所形成的图形叫四边形 .
三角形
四边形
四边形的定义：
多边形的定义：
由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接形成的图形叫做多边形.
我们知道 边数为3的多边形叫三角形,边数为4的多边形叫四边形.
六角螺帽
依此类推，边数为5的多边形叫五边形,……边数为n的多边形叫n边形.(n为大于或等于3的正整数)
多边形的定义：
在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的（封闭）图形。
对角线：
连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
n边形
……
三角形
四边形
五边形
六边形
请画出下列图形的一条对角线：
三角形
六边形
四边形
八边形
……..
五边形
是解决多边形问题的常用辅助线
对角线
多边形问题 三角形问题
转化
（未知）
（已知）
A
B
C
A
B
C
D
内角（角）
边
内角（角）
边
四边形的表示法：
四边形ABCD或四边形ADCB
三角形的表示法：△ABC
E
E
外角
外角
A
B
C
D
顶点
内角
边
对角线
外角
E
构成四边形的元素
不能记作：四边形ACBD
记法：从任一顶点开始按顺时针或逆时针顺序记。如四边形ABCD或四边形BCDA等
右图的四边形表示为：
四边形ABCD或四边形ADCB
四边形的边：
四边形的内角：
∠A， ∠B ,∠ C,∠D。
线段AB，BC,CD,AD。
试一试
思考：三角形的内角和是多少度？
四边形呢？
你有办法推导吗？
凸四边形
凹四边形
温馨提示：
本套教科书所说的都指凸多边形，即多边形的
各边都在任意一条边所在直线的同一侧。
画一个四边形，并用正确的方法表示出来
你能利用手中的一副三角板拼出四边形吗？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
１、这两块三角板拼成的四边形的内角和等于多少度？为什么呢？
２、任意四边形ＥＦＧＨ的内角和难道也是360 °吗？请说明理由。
Ｈ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
4
3
2
1
四边形的内角和等于360°
剪一剪，拼一拼
实验不等于证明!
你能否利用以前学过的几何知识来证明四边形的内角和为360度呢
探索：四边形的内角和等于360 °
动
脑
推
理
已知：四边形ABCD（如图）
求证： ∠A+∠B+ ∠C+ ∠D=360 °
证明：连结AC
∵ ∠B+∠BAC+ ∠BCA =180 °
∠D+∠DCA+ ∠CAD =180 °
(三角形三个内角的和等于180 °)
∴ ∠B+∠BAC+ ∠BCA+ ∠D+∠DCA+ ∠CAD
=180 °+ 180° = 360°
即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360 °
你还有其他添辅助线方法来证明吗
畅
想
天
地
4人小组合作,共同探讨其他的证明方法.
四边形的内角和等于360°
1.已知四边形ABCD中，∠A＝80 °,∠B＝60°, ∠C=70°则∠D=_____.
3. 如图，在四边形ABCD中， ∠A=85 °，∠D＝110 °， ∠1的外角是71 °，则∠1＝____,
∠2＝____.
B
85 °
A
D
C
110 °
2
71 °
1
150 °
128 °
109°
56 °
2.已知四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝80 °，则∠D＝ .
100°
4.已知四边形ABCD中， ∠A＝72 °, ∠B： ∠C ：∠ D =4：2：3 ,则其中最大的角为 .
填一填
1.已知四边形ABCD，∠A=∠B=∠C=90°则∠D=___.
90 °
探究：四边形最多有_____个直角.
４
３
最多有 个钝角.
最多不能超过 个锐角.
３
2.四边形的四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1，则它的四个内角的度数分别为
____________________.
100°,100°,60°,100°
（１）小彤每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？
（２）她每跑完一圈，
身体转过的角度之和
是多少？
3
4
1
2
∠1，∠2，∠3，∠4
∠1+∠2+∠3+∠4 = ？
小彤拿着风筝沿着一个四边形公园周围的小路，按逆时针方向跑了一圈．
D
A
B
C
5
四边形的外角和等于360°
已知：如图，∠５ ,∠ ６,∠７ ,∠８
是四边形的四个外角。
求证：∠５＋∠６+ ∠７ +∠８ =360°
５
D
A
B
C
６
７
８
１
２
３
４
证明： ∵∠ 1+∠５ =∠2+ ∠６= ∠3+∠７ ＝∠ 4+∠８= 180°
∴ ∠ 1+∠５ +∠2+ ∠６+ ∠3+∠７+ ∠ 4+∠８
=4× 180°= 720°
即: (∠ 1+∠2 +∠ 3 + ∠4)+ (∠５ +∠ ６ + ∠ ７ +∠８) = 720°
∵ ∠１ +∠ ２ + ∠ ３ +∠４=360°(根据四边形的内角和是360°)
∴ ∠５+∠ ６+ ∠ ７ +∠８ = 720°－ 360°= 360°
四边形的外角和等于360°
1. 四边形中有三个内角分别为72 、88 、
60 ,则第四个内角的度数为______.
140°
2. 已知四边形ABCD中， ∠A与∠C互 补，∠B=800，则∠D=______ .
100°
练一练：
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｂ
3、如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＢＣ， ∠Ａ＝ ∠Ｃ＝１００°，则∠Ｄ的度数为———°
７０
α
120
120
110
。
。
。
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
4、如图，在四边形ＡＢＣＤ中， ∠Ｃ＝１１０°， ∠ＢＡＤ， ∠ＡＢＣ的外角都是１２０°，则∠ＡＤＣ的外角α的度数是————度。
５０
做一做
B
A
D
C
1
85 °
110 °
2
71 °
1.如图在四边形ABCD中， ∠A=85 °，
∠D＝110 °， ∠1的外角是71 °，
则∠1＝________, ∠2=_______ .
109 °
56°
2.我们知道，任何一个三角形中，最多只有三个锐角，最多只有一个钝角，最多只有一个直角，以下关于四边形四个内角的叙述，正确的是（ ）
A、四个角可能都是锐角
B、四个角可能都是钝角
C、四个角可能都是直角
D、以上说法都不对
C
四边形最多有_____个直角,最多有_____个钝角.
４
3
3.如图：有一个四边形的建筑，围绕它的四个角分别是半径为1米的扇形花坛，则花坛的总面积是 ( )
米2 B. 米2
C. 米2 D. 米2
C
三角形 四边形
图形
定义
顶点个数
边的条数
表示法
内角和
外角和
A
B
C
D
A
B
C
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接形成的图形叫三角形
3个
3条
可以表示为△ ABC、△ BCA、△ CAB等
180
360°
由不在同一直线的四条线段首尾顺次相接形成的图形叫做四边形。
4个
4条
可以表示为四边形ABCD、四边形BCDA、四边形CDAB、四边形DABC等。
360
360°
这节课你学到些哪些知识和数学方法？登陆21世纪教育 助您教考全无忧
新浙教版八年级数学（下） 4.1 多边形（1）
班级 姓名
基础自测
1. 已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D=70°，则∠C的度数为…………………（ ）
A. 70° B. 90° C. 110° D. 140°
2. 在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B比∠D大60°，则与∠B相邻的外角为……（ ）
A. 60° B. 80° C. 120° D. 130°
3. 如图所示，已知在四边形ABCD中，DA⊥AB，BC⊥AB，∠ADC与∠BCD的平分线交于点E，则∠DEC的度数为……………………………………………………………………( )
A. 70° B. 80° C.90° D.100°
4. 如图所示，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉的距离都是一个单位，用橡皮筋构成如图的一个四边形，那么这个四边形的面积为………………………………………（ ）
A. 2. 5 B. 5 C. 7. 5 D. 9
5.四边形的外角和为 .
6. 如图，四边形ABCD中，∠A=95°，∠D=100°，外角∠ABE=70°，则∠ABC=___ _ _°，∠C=____ _°.
7. 如图，把四张全等的四边形纸片可组成一幅镶嵌图，这样做的理由是 .
8.四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：4：1：5.
(1)求四边形ABCD的四个内角的度数.
(2)四边形ABCD中是否有互相平行的边？若有，请找出来，并说明理由.
9.已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A＝∠C. 求证：AD=CD.
证明：连结AC.
能力提升
10.如图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是…………（ ）
A. 这两个四边形面积和周长都不相同
B. 这两个四边形面积和周长都相同
C. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长
D. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长
11. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=4，AD=4，则四边形ABCD的面积是…………………………………（ ）
A. 16 B. 16 C. 16 D. 24
12. 如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、、2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于________.
13. 在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC.
(1)求证：AB∥CD.
(2)若∠ADC-∠A=60°，过点D作DE∥BC交AB于点E. 请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由.
14.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.
如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD相交于点O.
(1)求证：①；②OB=OD，；
（2）如果AC=6，BD=4，求筝形ABCD的面积.
.
创新应用
15.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC平分，=60°，与互补，求证：.
小敏反复探索，不得其解. 她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.
(1)特殊情况入手
添加条件：“”，如图2，可证. （请你完成此证明）
(2)解决原来问题
受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F. （请你补全证明）
参考答案
基础自测
1. 已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D=70°，则∠C的度数为…………………（ ）
A. 70° B. 90° C. 110° D. 140°
答案：C
2. 在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B比∠D大60°，则与∠B相邻的外角为……（ ）
A. 60° B. 80° C. 120° D. 130°
答案：A
3. 如图所示，已知在四边形ABCD中，DA⊥AB，BC⊥AB，∠ADC与∠BCD的平分线交于点E，则∠DEC的度数为……………………………………………………………………( )
A. 70° B. 80° C.90° D.100°
答案：C
4. 如图所示，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉的距离都是一个单位，用橡皮筋构成如图的一个四边形，那么这个四边形的面积为………………………………………（ ）
A. 2. 5 B. 5 C. 7. 5 D. 9
答案：C
5.四边形的外角和为 .
答案：360°
6. 如图，四边形ABCD中，∠A=95°，∠D=100°，外角∠ABE=70°，则∠ABC=___ _ _°，∠C=____ _°.
答案：110 55
7. 如图，把四张全等的四边形纸片可组成一幅镶嵌图，这样做的理由是 .
答案：四边形的内角和等于360°
8.四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：4：1：5.
(1)求四边形ABCD的四个内角的度数.
(2)四边形ABCD中是否有互相平行的边？若有，请找出来，并说明理由.
解：(1) ∵∠A:∠B:∠C:∠D=2:4:1:5，∴设∠C=x°，则∠A=2x°，∠B=4x°，∠D=5x°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2x+4x+x+5x=360，解得x=30.
∴∠A=60°，∠B=120°，∠C=30°，∠D=150°.
(2)∵∠A+∠B＝180，∴AD∥BC.
9.已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A＝∠C. 求证：AD=CD.
证明：连结AC.
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA.
∵∠BAD=∠BCD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD.
能力提升
10.如图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是…………（ ）
A. 这两个四边形面积和周长都不相同
B. 这两个四边形面积和周长都相同
C. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长
D. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长
解析：Ⅰ的周长为，面积为；Ⅱ的周长为，面积为.
答案：D
11. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=4，AD=4，则四边形ABCD的面积是…………………………………（ ）
A. 16 B. 16 C. 16 D. 24
解析：延长CD，BA交于E点. 由∠A=135°得∠DAE=45°，而∠D=90°，故△ADE是等腰直角三角形，得DE=AD=4. 同理，可得△BCE是等腰直角三角形，于是BE= BC=4. 因此，S四边形ABCD=S△BCE-S△ADE= =16.
答案：C
12. 如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、、2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于________.
解析：连结AC. 由已知易得△ABC是等腰直角三角形，且. 由于AC2+AD2=CD2，故∠DAC=90°，于是∠BAD=135°.
答案：135°
13. 在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC.
(1)求证：AB∥CD.
(2)若∠ADC-∠A=60°，过点D作DE∥BC交AB于点E. 请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由.
解：(1)∵∠A=∠B，∠C=∠ADC，∴∠B+∠C=(∠A+∠B+∠C+∠ADC)=180°，∴AB∥CD.
(2)△ADE是正三角形.
∵AB∥CD，∴∠ADC+∠A=180°.
又∵∠ADC-∠A=60°，∴解得∠A=60°.
∵DE∥BC，∴∠AED=∠B=∠A=60°=∠ADE，∴△ADE是正三角形.
14.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.
如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD相交于点O.
(1)求证：①；②OB=OD，；
（2）如果AC=6，BD=4，求筝形ABCD的面积.
证明：(1)①在和中，
AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴．
②，∴．
，∴OB=OD，．
(2)筝形ABCD的面积的面积＋的面积
=12.
创新应用
15.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC平分，=60°，与互补，求证：.
第7题
第6题
第3题
第4题
Ⅰ
Ⅱ
第7题
第6题
第3题
第4题
Ⅰ
Ⅱ
E
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