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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 能力提升测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知x=2是方程 的一个解，则 的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
4．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
5．若能用完全平方式分解因式，则的值为（ ）
A．±6 B．±12 C．-13或11 D．13或-11
6．某景区2018年比2017年旅游人数增加了8%，2019年比2018年旅游人数增加了x%，已知2017年至2019年景区的旅游人数平均年增长率为19%，则下列方程正确的是（ ）
A．（1＋8%）（1＋19%）＝（1＋x）2
B．（1＋8%）（1＋x%）＝1＋19%×2
C．（1＋8%）（1＋19%）＝（1＋x%）2
D．（1＋8%）（1＋x%）＝（1＋19%）2
7．已知关于x的方程x2-7x+6a=0的一个解是x1=2a，则原方程的另一个解是（ ）
A．x2=0或7 B．x2=3或4 C．x2=3或7 D．x2=4或7
8．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a b≠0）有两个相等的实数根k.（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若 ，则0＜a＜1
9．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则2023-a-b= ．
12．若m，n为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
13．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 .
14．若关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则关于 的一元二次方程 的解为 .
15．若m是的一个实数根，则 .
16．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）4（x+1）2=1； （2）x（x-4）+3x=0； （3）x2-4x-5=0．
18．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）不解方程，你能判断方程根的情况吗？为什么？
（2）若方程有一个根为3，求 的值．
19．在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80.
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则 ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
21．如图，在△ABC中、∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E、连结CD。
（1）若∠A=26°，求∠ACD的度数。
（2）设BC= ，AC=b，线段AE的长是方程x2+ax-b2=0的一个根吗？说明理由。
22．已知 是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程x2+ x+2c-a=0有两个相等的实数根，关于x的方程 的根为 .
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，求m的值.
23．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE= c，这时我们把关于x的形如ax2+ +b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是
12 ，求△ABC面积.
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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 能力提升测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知x=2是方程 的一个解，则 的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】将x=2代入方程得，解得a=3，
则2a-1=6-1=5.
故选C.
2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵x2-6x+4=0，
∴x2-6x=-4，
∴x2-6x+9=-4+9，即（x-3）2=5．
故答案为：D．
3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
【答案】B
【解析】解；（x+1）2﹣m=0，
（x+1）2=m，
∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，
∴m≥0，
故选：B．
4．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
【答案】B
【解析】∵，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故答案为：B．
5．若能用完全平方式分解因式，则的值为（ ）
A．±6 B．±12 C．-13或11 D．13或-11
【答案】D
【解析】∵能用完全平方式分解因式
∴ 是完全平方式，
∴有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（k-1）2-4×4×9=0，
∴k-1=±12，
则k= 13或-11 .
故答案为：D.
6．某景区2018年比2017年旅游人数增加了8%，2019年比2018年旅游人数增加了x%，已知2017年至2019年景区的旅游人数平均年增长率为19%，则下列方程正确的是（ ）
A．（1＋8%）（1＋19%）＝（1＋x）2
B．（1＋8%）（1＋x%）＝1＋19%×2
C．（1＋8%）（1＋19%）＝（1＋x%）2
D．（1＋8%）（1＋x%）＝（1＋19%）2
【答案】D
【解析】设2017年的旅游人数为a人，
a（1＋8%）（1＋x%）＝a（1＋19%）2，
即（1＋8%）（1＋x%）＝（1＋19%）2，
故答案为：D．
7．已知关于x的方程x2-7x+6a=0的一个解是x1=2a，则原方程的另一个解是（ ）
A．x2=0或7 B．x2=3或4 C．x2=3或7 D．x2=4或7
【答案】C
【解析】设方程的另一个根为 x2 ，
解之：
∴方程的另一个根为3或7.
故答案为：C.
8．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a b≠0）有两个相等的实数根k.（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若 ，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若 ，则0＜a＜1
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2 4a（b＋1）＝0，即：4a( a b 1)＝0，
又∵ab≠0，
∴a b 1＝0，
即a＝b＋1，
∴ax2＋2ax＋a＝0，
解得：x1＝x2＝ 1，
∴k＝ 1，
∵ ＝ ，
∴当 1＜a＜0时，a 1＜0，a（a 1）＞0，
此时 ＞0，即 ；
当0＜a＜1时，a 1＜0，a（a 1）＜0，
此时 ＜0，即 ；
故A、C错误；
当 时，即 ＞0，
＞0，
解得：a＞1或a＜0，
故B错误；
当 时，即 ＜0，
＜0，
解得：0＜a＜1，
故D正确
故答案为：D.
9．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】设方程 的两根为x1、x2，方程 同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①符合题意；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②符合题意；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故答案为：D．
10．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】①∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac≥0成立，
∴①正确，符合题意；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，
∴②正确，符合题意；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
∴当c≠0时，ac+b+1＝0，
当c＝0时，ac+b+1不一定等于0，
∴③不一定正确，不符合题意；
④∵（2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+b2，
∴b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，
∵a≠0，
∴ax02+bx0+c＝0，
∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴ax02+bx0+c＝0成立，
∴④正确，符合题意，
综上所述，说法正确的有①②④．
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则2023-a-b= ．
【答案】2022
【解析】∵一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2022
12．若m，n为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】1
【解析】∵m，n为一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴，
故答案为：1．
13．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 .
【答案】16
【解析】分为两种情况：
情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程的一个解，
代入4到方程中，求得，
此时方程的两个解为4和8，
对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去；
情况二：当底边为4时，此时方程有两个相等的实数根，
∴△=12 -4k=0，解得k=36，
此时方程的两个解为6和6，
对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16.
故答案为：16.
14．若关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则关于 的一元二次方程 的解为 .
【答案】 ，
【解析】令
则方程 可变形为
由题意得：关于t的方程 的解为 ，
即 ，
解得 ，
则关于 的一元二次方程 的解为 ，
故答案为： ， .
15．若m是的一个实数根，则 .
【答案】3
【解析】∵m是 的一个实数根，
∴，
∴，
∴
故答案为：3.
16．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
【答案】
【解析】∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）4（x+1）2=1；
（2）x（x-4）+3x=0；
（3）x2-4x-5=0．
【答案】（1）解：∵4（x+1）2=1，
∴2（x+1）=±1，
∴2（x+1）=1或2（x+1）=-1，
整理，解得：x1= ，x2= .
（2）解：∵ x（x-4）+3x=0 ，
∴x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1.
（3）解：∵x2-4x-5=0，
∴（x-5）（x+1）=0，
∴x1=5，x2=-1.
18．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）不解方程，你能判断方程根的情况吗？为什么？
（2）若方程有一个根为3，求 的值．
【答案】（1）解：能．
理由如下： ， ，
∵
∴方程 有两个不相等的实数根
（2）解：∵ 有一个根是3
∴
即
∴ ， ．
19．在水果销售旺季，某水果店购进一种优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价x（元/千克）满足的关系为一次函数y＝﹣2x+80.
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【答案】（1）解：∵y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80.
∴当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33.
答：当天该水果的销售量为33千克.
（2）解：根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝35，x2＝25.
∵20≤x≤32，
∴x＝25.
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元.
20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则 ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
【答案】（1）8
（2）解：由一元二次方程得，或，一元二次方程是“倍根方程”，或，当时，，，当时，m=n，综上所述，的值为2或．
【解析】（1）解：设一元二次方程两根为和，则，解得，故答案为：8；
21．如图，在△ABC中、∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E、连结CD。
（1）若∠A=26°，求∠ACD的度数。
（2）设BC= ，AC=b，线段AE的长是方程x2+ax-b2=0的一个根吗？说明理由。
【答案】（1）解：∵∠A=26°，∠ACB=90°，
∴∠B=90°-26°=64°。
∵BC=BD，
∴∠BCD=(180°-64°)÷2=58°，
∴∠ACD=90°-58°=32°-
（2）解：∵∠ACB=90°，BC= ，AC=b，
∴AB=
∴AE=AD=
方程x +ax-b =0的一个正根为x=
∴线段AE的长是方程x +ax-b =0的一个根-
22．已知 是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程x2+ x+2c-a=0有两个相等的实数根，关于x的方程 的根为 .
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，求m的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+ x+2c-a=0有两个相等的实数根，
∴Δ= -4×1×(2c-a)=0，
∴a+b=2c.
又∵关于x的方程3cx+2b=2a的根为x=0，
∴a=b，
∴a=b=c，即△ABC是等边三角形.
（2）解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+mx-3m=0的两个实数根，
又由（1）知a=b，
∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=m2+4×3m=0，
解得m=0或m=-12.
当m=0时，方程x2+mx-3m=0可化为x2=0，
解得x1=x2=0.
又由a，b，c是△ABC的三边长，得a>0，b>0，c>0，故m=0不符合题意：
当m=-12时，方程x2+mx-3m=0可化为
x2-12x+36=0，
解得x1=x2=6，
可知m=-12符合题意.
故m的值为-12.
23．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝
是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求
的值.
【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝ ，x2＝
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得 + +1＝0，
∴ 是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝ 是方程②的根
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ ，
∴a＝ ＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴ ＝1
24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE= c，这时我们把关于x的形如ax2+ +b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是
12 ，求△ABC面积.
【答案】（1）解： （答案不唯一）
（2）解：
∴必有实数根
（3）解：∵x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0的一个根
∴ ，
∵四边形ACDE的周长是
∴
∴∴c=4
∴ ，
∴
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