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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A.是分式方程，所以不是；
B.a的值不确定，当a=0时，所以不是；
C.是；
D.含有两个未知数，所以不是.
故选C.
2．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．x2+1=0中△=02-4×1×1=-4＜0，没有实数根；
B．x2-2x+1=0中△=（-2）2-4×1×1=0，有两个相等实数根；
C．x2+2x+4=0中△=22-4×1×4=-12＜0，没有实数根；
D．x2-x-3=0中△=（-1）2-4×1×（-3）=13＞0，有两个不相等的实数根；
故答案为：D．
3．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，且方程可以用直接开平方法求解，
∴，
∴．
故答案为：D．
4．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A．此方程的根为x=，符合题意；
B．此方程的根为x=，不符合题意；
C．此方程的根为x=，不符合题意；
D．此方程的根为x=，不符合题意；
故答案为：A．
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣5
C．1或﹣5 D．m≠1的任意实数
【答案】B
【解析】把x=0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0中，得
m2+4m﹣5=0，
解得m=﹣5或1，
当m=1时，原方程二次项系数m﹣1=0，舍去，
故选B．
6．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故答案为：A．
7．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，得：．
故答案为：C．
8．已知a、b是方程x2-2x-1=0的两根，则a2+a+3b的值是（ ）
A．7 B．5 C．-5 D．-7
【答案】A
【解析】由题意知，a+b=2，x =2x+1，即a =2a+1，
∴a +a+3b=2a+1+a+3b
=3（a +b）+1
=3×2+1
=7．
故答案为：A.
9．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（ ）
A． B．2020 C．2019 D．2018
【答案】B
【解析】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，
设t=x-1，
所以at2+bt-1=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，
所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，
则x-1=2019，
解得x=2020，
所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．
故答案为：B．
10．有两个一元二次方程： ； ，其中 ，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程 有两个不相等的实数根，那么方程 也有两个不相等的实数根
B．如果方程 和方程 有一个相同的根，那么这个根必是
C．如果7是方程 的一个根，那么 是方程 的一个根
D．如果方程 有两根符号相同，那么是方程 的两根符号也相同
【答案】B
【解析】A、在方程 中△＝b2 4ac，在方程 中△＝b2 4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、M N得：（a c）x2＋c a＝0，即（a c）x2＝a c，
∵a c≠0，
∴x2＝1，解得：x＝±1，错误.
C、∵7是方程M的一个根，
∴49a＋7b＋c＝0，
∴a＋ b＋ c＝0，
∴ 是方程N的一个根，正确；
D、∵ 和 符号相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一元二次方程的解是 ， .
【答案】1；-2
【解析】
∴或
解得：；
故答案为：1；-2.
12．如果关于x的一元二次方程（m+3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是 ．
【答案】3
【解析】由题意，把x＝0代入（m+3）x2+3x+m2﹣9＝0，得m2﹣9＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣3．
又∵m+3≠0，即m≠﹣3，
则m＝3符合题意．
故答案是：3．
13．某校准备组织一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么共有 个队参加.
【答案】8
【解析】∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4=28场比赛，
设共有x个队参赛，
则由题意可列方程为： =28，
解得：x1=8，x2=-7（舍去），
答：共有8个队参赛.
故答案为：8.
14．若三角形ABC两边的长分别是4和3， 第三边的长是一元二次方程的一个 实数根，则该三角形的面积是 .
【答案】6或
【解析】解方程：x2-8x+15=0，即（x-5）（x-3）=0，解得：x1=3，x2=5.
当x1=3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高AD=，
所以该三角形的面积是4×÷2=；
当x2=5时，与另两边组成直角三角形，即3，4，5符合直角三角形三边关系，
∴该三角形的面积=3×4÷2=6.
综上所述，该三角形的面积是6或.
故答案为：6或.
15．已知实数，满足，则 .
【答案】0
【解析】设（x2+y2）为t且t≥0，
则t2+9t=0，
t（t+9）=0
∴t=0或t=-9（不合题意舍去）.
故答案为：0.
16．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①④
【解析】①根据公式法解一元二次方程可知，若a+c=0，且a≠0，∴a，c异号，∴，故此时有两个不相等的实数根，故答案为：①正确；
②若c=0，b≠0，则，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，方程cx2+bx+a=0仅有一个解，故答案为：②错误；
③将x=c代入方程ax2+bx+c=0，可得，即，解得c=0或ac+b+1=0，因此ac+b+c=0不一定成立，故答案为：③错误；
④∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，此时
，故答案为：④正确
故答案为：①④.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
【答案】（1）解：，，，，，；
（2）解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；
（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．
18．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程只有一个根为负数，求m的取值范围．
【答案】（1）证明：∵△＝m2﹣4×（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根
（2）解：由求根公式可得 ,
当 时，解得 或 ，
当 时，解得 或 ，
综上所述，无论m取何值时，该方程的解为x＝﹣1或x＝﹣m+1，
若方程有一个根为负数，则 ，解得 ．
故m的取值范围为
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．
20．自2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑.据统计：某超市2020年1月10日这天猪肉售价为每千克56元，比去年同一天上涨了40%.
（1）求2019年1月10日，该超市猪肉的售价为每千克多少元？
（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克.为促进消费，超市决定对这批猪肉进行降价销售，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加18千克.为了实现平均每天有950元的销售利润，超市应将每千克猪肉定为多少元？
【答案】（1）解：设该超市猪肉的价格为每千克x元，
根据题意得：（1+40%）x＝56，
解得x＝40，
答：该超市猪肉的价格为每千克40元；
（2）解：设每千克猪肉降价y元，
根据题意得：（56﹣46﹣y）（100+18y）＝950，
解得y1＝5，y2＝﹣ （舍去），
则56﹣y＝56﹣5＝51.
答：每千克猪肉应该定价为51元.
21．已知关于x的一元二次方程x2+4x=1-m。
（1）当m=5时，试判断此方程根的情况。
（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且(x12+4x1)(x22+4x2)=49，求m的值。
【答案】（1）解：当m=5时，原方程为x +4x+4=0
∵△=42-4×4=0
∴方程有两个相等实数根
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根
∴△=42-4(m-1)>0 即m<5
又∵x1，x2是方程的两实数根，
∴x1 +4x1=1-m
x2 +4x2=1-m
从而由条件可得：(1-m) =49
∴m1=-6 m2=8(不符题意，舍去)
即m的值为-6-
22．关于 的方程 ,其中 分别是 的三边长.
（1）若方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）若 为等边三角形，试求出这个方程的解.
【答案】（1）直角三角形
根据题意，得
即
所以 是直角三角形
（2）根据题意，可得
解出
23．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米.
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由.
【答案】（1）24
（2）解：设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10.
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意.
答：边CD的长为10米
（3）解：不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：x2﹣16x+70＝0.
∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米.
【解析】（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）.
故答案为：24.
24．如图，在长方形 中，边 、 的长 是方程 的两个根.点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 边 的方向运动，运动时间为 秒 .
（1）求 与 的长；
（2）当点 运动到边 上时，试求出使 长为 时运动时间 的值；
（3）当点 运动到边 上时，是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： ，
则 ，
， .
则 ， ；
（2）解：由题意得 ，
， 舍去 ，
则 时， ；
（3）解：存在点 ，使 是等腰三角形，
当 时， 秒 ；
当 即 为对角线 中点 时， ， .
， ，
秒 ；
当 时，作 于 ，
， ，
，
秒 ，
可知当 为 秒或 秒或 秒时， 是等腰三角形.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+4m﹣5=0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣5
C．1或﹣5 D．m≠1的任意实数
6．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知a、b是方程x2-2x-1=0的两根，则a2+a+3b的值是（ ）
A．7 B．5 C．-5 D．-7
9．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（ ）
A． B．2020 C．2019 D．2018
10．有两个一元二次方程： ； ，其中 ，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程 有两个不相等的实数根，那么方程 也有两个不相等的实数根
B．如果方程 和方程 有一个相同的根，那么这个根必是
C．如果7是方程 的一个根，那么 是方程 的一个根
D．如果方程 有两根符号相同，那么是方程 的两根符号也相同
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一元二次方程的解是 ， .
12．如果关于x的一元二次方程（m+3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是 ．
13．某校准备组织一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么共有 个队参加.
14．若三角形ABC两边的长分别是4和3， 第三边的长是一元二次方程的一个 实数根，则该三角形的面积是 .
15．已知实数，满足，则 .
16．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①a+c=0，方程ax2+bx+c=0，有两个不相等的实数；②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立，其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
18．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程只有一个根为负数，求m的取值范围．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
20．自2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑.据统计：某超市2020年1月10日这天猪肉售价为每千克56元，比去年同一天上涨了40%.
（1）求2019年1月10日，该超市猪肉的售价为每千克多少元？
（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克.为促进消费，超市决定对这批猪肉进行降价销售，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加18千克.为了实现平均每天有950元的销售利润，超市应将每千克猪肉定为多少元？
21．已知关于x的一元二次方程x2+4x=1-m。
（1）当m=5时，试判断此方程根的情况。
（2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且(x12+4x1)(x22+4x2)=49，求m的值。
22．关于 的方程 ,其中 分别是 的三边长.
（1）若方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）若 为等边三角形，试求出这个方程的解.
23．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米.
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由.
24．如图，在长方形 中，边 、 的长 是方程 的两个根.点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 边 的方向运动，运动时间为 秒 .
（1）求 与 的长；
（2）当点 运动到边 上时，试求出使 长为 时运动时间 的值；
（3）当点 运动到边 上时，是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间 的值；若不存在，请说明理由.
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