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4.1 多边形（2）
姓名 班级
【要点预习】
1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和为 .
2. 多边形的外角和性质：任何多边形的外角和为 .
基础自测
1.六边形的内角和等于……………………………………………………（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
2. 已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是……………………………（ ）
3. 过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形边数是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4.在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2＝ 度.
5.若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是_____.
6. 如图所示，画出五边形ABCDE的所有对角线.
7. 已知一个多边形的内角和是1440°.
(1)求这个多边形的边数；
(2)从这个多边形的某个顶点出发，最多可以画多少条对角线？
8. 证明多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°.
下面已给出已知、求证，请你写出证明多边形内角和定理的一种方法及证明过程.
能力提升
9.一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为……………………………………………………………（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形的内角和为……………… ( )
A. 180°或360° B. 180°或540° C. 360°或540° D. 180°或360°或540°
11. n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比(n+1)边形的内角和小__________度.
12.在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程.
13. n(n为整数，且n≥3)边形的内角中最多有多少个锐角？多少个直角？多少个钝角？请你通过尝试进行猜想，并证明你的猜想.
创新应用
14. 如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，且AF=AB=3，BC=CD=2，求DE与EF的长.
参考答案
基础自测
1.六边形的内角和等于……………………………………………………（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
答案：D
2. 已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是……………………………（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
答案：B
3. 过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形边数是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
答案：D
4.在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2＝ 度.
答案：230
5.若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是_____.
答案：8
6. 如图所示，画出五边形ABCDE的所有对角线.
解：如图
7. 已知一个多边形的内角和是1440°.
(1)求这个多边形的边数；
(2)从这个多边形的某个顶点出发，最多可以画多少条对角线？
解：(1)设多边形的边数为n，则(n-2)·180=1440，解得n=10.
(2) 从这个多边形的某个顶点出发，最多可以画8条对角线.
8. 证明多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°.
下面已给出已知、求证，请你写出证明多边形内角和定理的一种方法及证明过程.
已知：如图，n边形.
求证：n边形的内角和等于(n-2)·180°.
证明：
证明：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形.
∵n个三角形的内角和等于以O为公共顶点的n个角的和为360°，∴n边形的内角和为.
∴定理得证.
能力提升
9.一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为……………………………………………………………（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解析：设这个多边形的边数为n. 由多边形的一个外角大于0°且小于180°，故可得不等式：570-180<180(n-2)<570，解得答案：A
10. 将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形的内角和为……………… ( )
A. 180°或360° B. 180°或540° C. 360°或540° D. 180°或360°或540°
解析：长方形木板锯掉一角后，得到的多边形可能是三角形、四边形或五边形.
答案：D
11. n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比(n+1)边形的内角和小__________度.
解析：180(n+1-2)-180(n-2)=180.
答案：180
12.在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程.
解：四边形从一个顶点出发有4-3=1条对角线，这样4个顶点共有(4-3)×4条对角线，而每条对角线由两个顶点确定，故四边形共有＝2条对角线；
五边形从一个顶点出发有5-3=2条对角线，这样5个顶点共有(5-3)×5条对角线，而每条对角线由两个顶点确定，故四边形共有＝5条对角线；
类似地，凸六边形有条对角线，凸七边形有条对角线，凸八边形有条对角线.
创新应用
14. 如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，且AF=AB=3，BC=CD=2，求DE与EF的长.
解：双向延长AF，BC，DE交于G，H，P.
∵六边形ABCDEF的每个内角都是120°，
∴∠GAB=∠GBA=∠HCD=∠HDC=∠PEF =∠PFE=60°，
∴△ABG，△CDH，△EFP，△GHP都是正三角形.
∴AF=AB=AG=BG=3，BC=CD=CH=DH=2，GH=HP=GP.
∴3+2+2=2+DE+EF=3+3+EF，∴EF=1，DE=4.
1
2
50°
1
2
50°
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新浙教版数学八年级（下）
4.1 多边形（2）
小组合作、巩固旧知、引入新课:
3个角
（三角形）
4个角
(四边形)
5个角
(五边形)
（1）把一张长方形的桌面截去一个角, 还剩几个角？
得到什么图形？
（2）长方形桌面的内角和发生了什么变化？
三角形的内角和等于180°
那么，四边形的内角和是多少呢？
那么，四边形的内角和是多少呢？
小组合作、巩固旧知、引入新课:
活动１：请使用适当的方法探究一般四边形的 内角和。
180°×2=360°
180°×3-180°=360°
小组合作、巩固旧知、引入新课:
活动２：探究任意多边形的内角和
请你对五边形进行研究，得到五边形内角和。并选取最简便的方法研究六边形…乃至n边形的内角和,并和你的同学交流你的成果和感受。（小组讨论）
小组合作、巩固旧知、引入新课:
180°×3 = 540°
从五边形的一个顶点出发引对角线，把这个五边形分割成3个三角形，从而得到五边形的内角和为
小组合作、巩固旧知、引入新课:
n 边形的内角和是(n-2) 180°
n 边形的内角和是(n-2) 180°
多边形的边数
分成的三角形个数
多边形的内角和
3
4
5
6
…
n
1
2
3
4
…
n-2
…
(n-2) 180°
1×180°
=180°
2×180°
=360°
3×180°
=540°
4×180°
=720°
结 论
A
B
D
C
E
2
1
3
5
4
★ 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
3.每个顶点处有几个这样的角？各有什么关系？
★ 多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
小组合作、巩固旧知、引入新课:
小明跑完一圈，身体一共转过多少度？
多边形的外角和都等于3600？
小组合作、巩固旧知、引入新课:
A
B
D
C
E
2
1
3
5
4
（1）在多边形所在的平面内任取一点，（2）将一枝铅笔的一端放在这一点上，使铅笔先与一边平行，（3）绕该点转动铅笔，使它依次平行于多边形的其它各边，最后回到起点.
问题（二）
1.你能利用这个实验来解释五边形的外角和为什么是3600吗？
小组合作、巩固旧知、引入新课:
问题（二）
2.根据实验，你能得到一种验证五边形的外角和是3600的方法吗？
A
B
D
C
E
2
1
3
5
4
8
C'
7
B'
6
D'
9
O
A'
E'
10
小明是这样思考的：
过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA ′ 、OB ′ 、OC ′ 、OD ′ 、 OE ′ ,得到五个角∠6、 ∠7、 ∠8 、∠9 、∠10，根据这五个角的和就能求出∠1、 ∠2、 ∠3 、∠4 、∠5的和。你明白其中的道理吗？
小组合作、巩固旧知、引入新课:
小组合作、巩固旧知、引入新课:
想一想：
如果小路围成的是六边形、八边形……
任意多边形，还有类似的结论吗？
多边形的外角和都等于3600.
与边数无关！
小组合作、巩固旧知、引入新课:
已知一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是多少？
1、
（1）求出图中的 x 的值:
（2）正十边形内角和是多少？它的
每个内角是多少？
（3）一个多边形的每个内角都是144°，
它是几边形？
140°
x
x
课堂练习2、
(1)八边形的内角和是 ____。
(2)十边形的内角和是____。
(3)一个多边形的内角和是1800°，它是 ________边形。
（8－2）×180o=1080o
（10－2）×180o=1440o
（n－2）×180o=1800o
n=12
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
A
C
B
D
解:因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°
所以∠ B+∠D =360°－(∠A+∠C)
=360°－180°
=180°
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内
角和是（n-2）·1800，外角和等于3600. 由题意得
（n-2）·180=3×360
解得 n=8
答：这个多边形是八边形.
1、12边形的内角和等于_______
2、如果一个多边形的内角和等于1440°，那么这是___边形
1800°
十
已知边数求多边形内角和
已知多边形内角和求边数
（12-2）×180°=1800°
(n-2)×180°=1440°
n=10
小试牛刀，相信你能行!
1.十边形的内角和是____ ，外角和是____.
2.如果一个多边形的每个外角都等60°，
则这个多边形的边数是_____.
14400
3600
6
3、如图，OB⊥AB，垂足为B，OC⊥AC，垂足为C,试判断∠A与∠1有什么关系？
C
A
B
O
1
4、已知一个多边形，它的内角和等于720°，求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n，
(n-2) 180°= 720 。
解得: n=6
这个多边形的边数为6。
5、已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n，
(n-2) 180°=2×540 。
解得: n=8
这个多边形的边数8。
6、求下列图形中x的值：
(2)
∟
(1)
1、一个正多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是几边形？
解：设这个多边形是n边形，由题意得
（n－2）×180o=n × 135o
解得：n=8
答：这个多边形是八边形。
巩固提高
1、若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是_______。
2、七边形的内角和等于_______。
3、正五边形的每个内角是________。
4、下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
（A）540° （B）580° （C）1800° （D）900°
5、从n边形的一个顶点出发画对角线，最多可以画_____条，这些对角线把n边形分成_____个三角形。
当堂检测
8
900°
108°
B
n-3
n-2
如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值。
F
A
B
C
D
E
N
M
K
T
H
巩固提高
1.十边形的内角和是________；
2.（a＋1）边形的内角和是________.
小组竞赛A组
1440°
(a-1)180°
1.一个多边形的内角和等于1440°，是__ 边形。
2．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边
形的对角线条数为（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
3．一个多边形的内角和是1800°， 那么这个
多边形是（ ）
A．五边形 B．八边形
C．十边形 D．十二边形
小组竞赛B组
十
D
D
1．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形．
2．内角和等于外角和的多边形是 边形．
3．多边形每个内角都相等，内角和为720°，
则它的每一个外角为 ．
小组竞赛C组
八
四
60°
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）
A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
5．一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的
外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
小组竞赛C组
D
C
（2009年嘉兴市）在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B 比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
小组竞赛D组
∠A =70o
∠B =90o
∠C =140o
