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新浙教版数学八年级（下）
4.2 平行四边形及其性质（2）
几何语言：
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
在 ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，（平行四边形的对边相等） ∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
定理2：平行四边形的两组对角分别相等
请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？
你的直尺与课本的两边成什么角度？
量在课本的哪个位置？
大家量得的结果是一样的吗？
可以把直尺放在课本上任何一个位置，但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的．
两平行线的所有
公垂线段都相等．
A
B
C
D
l1
l2
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，
这时连结两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段．
通过上面的操作，启发你能猜想出什么结论？
两平行线中一条上的任一点到另一条的垂线段叫作两平行线的公垂线段．
可以证明这个猜想是否正确？
两平行线的公垂线段，也可以换一种说法：
1．夹在两平行线间的平行线段相等．
2．夹在两平行线间的垂线段相等．
A
B
A′
B′
AB、A'B'：夹在两平行线间的平行线段．
CD、C'D'：夹在两平行线间的垂线段．
C
D
C′
D′
如图，设a,b,c是三条互相平行的直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离．
在a上任其一点A，过A作AC⊥a，分别与b,c相交于B，C两点则AB，BC，AC分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段．
AC＝AB+BC＝5+2＝7.
A
b
c
B
C
a
5厘米
2厘米
解
因此a与c的距离是7厘米．
如图，设l1//l2，A，B分别为l1，l2上的任意点，连结线段AB，再过A作AC⊥l2，垂足为C，则AC是l1,l2之间的公垂线段，AB是l1,l2之间的斜线段．因为AC，AB又分别是A点到l2的垂线段和斜线段，所以AC
两平行线上各取一点连经而成的所有线段中，公垂线段最短．
A
B
C
l1
l2
两平行线的公垂线段的长度叫作两平行线间的距离．
1.如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB的面积有什么关系？为什么？
相等
S△PAB＝S△QAB
∵ MN∥AB
∴ PM⊥AB QN⊥AB
∴ PM＝QN
∴ S△PAB＝S△QAB
解答：
A
B
M
N
Q
P
M
N
2.在图的四边形中，∠A = ∠B = ∠ C = ∠D =90 ，这样的四边形叫作矩形，矩形的两组对边AB和CD，AD和BC相等吗？为什么？
A
B
C
D
相等
两平行线的所有公垂线都相等
∵ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴ 有AD∥BC
AB⊥AD AB⊥BC CD⊥BC CD⊥AD
∴ AB = CD
同理 AD = BC
解答：
10cm，5cm
2
A
C
B
D
E
做一做
2．如图，在 ABCD中，∠B的平分线BE交AD于E，BC＝5，AB＝3，则ED的长为 ．
1、 ABCD的周长为30cm，两邻边之比为2﹕1，则 ABCD的两邻边长分别为 ．
3、 如图，在 ABCD中，AB=8cm，AD=5cm，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，求线段EF的长。
解：∵四边形是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC
（平行四边形的性质）
∴∠BAE=∠DEA
（两直线平行，内错角相等）
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∴∠DAE=∠DEA
∴DA=DE
（在一个三角形中，等角对等边）
同理：CF=CB
∴EF=DE+CF-CD=2cm
4．如图，在 ABCD中，E是AB的中点，过点E作EF∥AD，交CD于E．求证：点F是CD的中点．
5、如图，E是直线CD上的一点。已知 ABCD的面积为52cm2，
(2)若AB=4cm，则AB和DE间的距离为 _____cm
(1)△ABE的面积为 ______cm2
26
13
E
A
B
C
D
4
6、已知 ABCD中，AB=20，AD=16，AB和CD之间的距离为8，则AD和BC之间的距离为______
10
利用面积相等求两平行线间的距离
E
F
1、 已知：如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且AF∥CE． 求证：DE＝BF．
若改成求证∠FAB=∠ECD呢？
证明：如图，在平行四边形ABCD中
∵AD∥BC，AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形
（平行四边形的定义）
∴AE=CF
（平行四边形的对边相等）
又∵AD=BC
（平行四边形的对边相等）
∴AD-AE=BC-CF，即 DE=BF
1．如图，四边形ABCD、DBEC都是平行四边形，那么，图中与CD相等的线段有 ；
2．如图， ABCD中，∠A＝45°，BC＝ ，则AB与CD之间的距离是 ；若AB＝3，四边形ABCD的面积是 ，ΔABD的面积是 ．
AB和BE
（第1题图）
45°
1
3
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4.2 平行四边形及其性质（2）21世纪教育网
姓名 班级
【要点预习】21世纪教育网
平行四边形的性质：
(1)平行四边形的两组对边 .
(2)夹在两条平行线间的 相等. 21世纪教育网
(3)夹在 间的垂线段相等.
基础自测
1如图，□ABCD的为16cm，AD＝5cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于………………………………………（ ）21世纪教育网
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
2. 如图所示，在□ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为……………………………………………………（ ）
A. B. C. D. 3
3.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40. 则□ABCD的面积为……………………（ ）
A.24 B.36 C.40 D.48
4.已知直线a∥b，夹在a，b之间的一条线段AB的长为6，AB与直线a的夹角为150°，则夹在a，b之间的距离为_____ _.
5. 如图，在□ABCD中，BD是对角线，E、F是对角线上的两点，要使△BCF≌△DAE，还需添加一个条件（只需添加一个条件）是 .
6.已知，如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E. 求证：BE=CD.
7.将图甲中的□ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC方向平移，得到图乙中的△A1D1C1. 连结AD1，BC1. 除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形（不能另外添加辅助线和字母） 请选择其中的一对加以证明.
8.如图，E，F是□ABCD的对角线AC上的点，CE=AF. 请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：
能力提升
9.在□ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为………………………………………（ ）
A.2 B. C. D.15
10.国家级历史文化名城——金华，风光秀 丽，花木葱茏. 某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是…………………………………………………（ ）
A.红花、绿花种植面积一定相等 B.橙花、紫花种植面积一定相等
C.红花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等
11. 如图，P是面积为的正△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF= .
12. (02广西)已知，如图，在□ABCD中，AE＝CF，EF与BD交于点H，由图中可以得到许多结论，例如：AB=DC；∠A＝∠C；△ADB≌△CBD；S梯形ADFE＝S梯形BCFE；……等等，你一定还能从图中得出许多有趣的结论，请你写出一个你认为有价值的正确结论，并证明之.
13. 如图，在□ABCD中，EF∥BC，MN∥AB，且四边形AEPN，BEPM，CFPM的面积分别为6，4，8. 求□ABCD的面积.
创新应用
14.在中，，点P为所在平面内一点，过点P分别作交AB于点E，交BC于点D，交AC于点F.
若点P在BC边上（如图1），此时，可得结论：.
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在内（如图2），外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
参考答案
4.已知直线a∥b，夹在a，b之间的一条线段AB的长为6，AB与直线a的夹角为150°，则夹在a，b之间的距离为_____ _.
答案：3
5. 如图，在□ABCD中，BD是对角线，E、F是对角线上的两点，要使△BCF≌△DAE，还需添加一个条件（只需添加一个条件）是 .
答案：如BF=DE，CF∥AE，∠BCF=∠DAE等
6.已知，如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E. 求证：BE=CD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∴.
∵AE平分，∴，∴，
∴AB=BE，∴BE=CD．
7.将图甲中的□ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC方向平移，得到图乙中的△A1D1C1. 连结AD1，BC1. 除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形（不能另外添加辅助线和字母） 请选择其中的一对加以证明.
解：△AA1D≌△C1CB，△AD1C1≌△C1BA.
证明：由题意，得AA1=C1C，A1D1=CB，∠ACB=∠C1A1D1，
∴∠AA1D1=∠C1CB，∴△AA1D≌△C1CB.
8.如图，E，F是□ABCD的对角线AC上的点，CE=AF. 请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：
猜想：
证明：
猜想：BE∥DF，BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠BCA=∠DAC. 又∵CE=AF，∴.
∴BE=DF，∠BEC=∠CFA，∴BE∥DF.
能力提升
9.在□ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为………………………………………（ ）
A.2 B. C. D.15
解析：如图，设每个小平行四边形的面积为S. ，，，，∴，∴，∴.
答案：B
10.国家级历史文化名城——金华，风光秀 丽，花木葱茏. 某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是………………………………………………………（ ）
A.红花、绿花种植面积一定相等 B.橙花、紫花种植面积一定相等
C.红花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等
解析：
11. 如图，P是面积为的正△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF= .
解析：延长EP交AB于H. 则可得□BDPH和正△AEH，正△FPH，于是可得PD=BH，AH=HE，HP=PF=HF. 因此，PD+PE+PF=BH+PE+ HP=BH+HE=BH+AH=AB. 根据已知可求得正三角形边长AB为4.
答案：4
12. (02广西)已知，如图，在□ABCD中，AE＝CF，EF与BD交于点H，由图中可以得到许多结论，例如：AB=DC；∠A＝∠C；△ADB≌△CBD；S梯形ADFE＝S梯形BCFE；……等等，你一定还能从图中得出许多有趣的结论，请你写出一个你认为有价值的正确结论，并证明之.
结论：BH=DH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，∠BEF=∠DFE.
∵AE=CF，∴BE=DF，
∴△BEH≌△DFH，∴BH=DH.
13. 如图，在□ABCD中，EF∥BC，MN∥AB，且四边形AEPN，BEPM，CFPM的面积分别为6，4，8. 求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，MN∥AB，
∴EF∥BC∥AD，MN∥AB∥CD，
∴，∴，∴S4=12，∴S=6+4+8+12=30.
创新应用
14.在中，，点P为所在平面内一点，过点P分别作交AB于点E，交BC于点D，交AC于点F.
若点P在BC边上（如图1），此时，可得结论：.
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在内（如图2），外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
D
D1
D2
A
A1
A2
A3
A4
B1
B2
C
C2
C1
C3
C4
B
图1
图2
图3
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
D
D1
D2
A
A1
A2
A3
A4
B1
B2
C
C2
C1
C3
C4
B
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