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4.2 平行四边形及其性质（3）课时训练
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【要点预习】21cnjy
平行四边形的性质：平行四边形的 互相平分.
基础自测21cnjy
1. 平行四边形不一定具有的性质是………………………………………………………（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对边相等
2. 如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有………………………………………………（ ）
A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对
3. 如第2题图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=6，BD=8，AB=4，则△COD的周长为……………………………………………………………………………（ ）
A. 18 B. 9 C. 11 D. 无法确定
4. 如第2题图，□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=6，BD=8，则边AB长的取值范围是……………………………………………………………………………………（ ）
A. 1＜AB＜7 B. 2＜AB＜14 C. 6＜AB＜8 D. 3＜AB＜4
5. 如第2题图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则□ABCD的周长为_____ _cm.
6. 已知□ABCD的周长为40，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长小6，则AB=________，BC=_______.
7. 如图，O为□ABCD的对角线交点，E为AB的中点，DE交AC于点F，若S□ABCD＝12，则S△DOE的值为 .
8. 如图，已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O任作一直线分别交AD、CB的延长线于E、F，求证：OE＝OF.
9. 如图，已知∠AOB，OA=OB. 点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形. 请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹，不写画法)，并说明理由.
能力提升
10. (2007日照中考)如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
11.在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处. 如果AE过BC的中点，则□ABCD的面积等于……………………………（ ）
A.48 B. C. D.
12. (眉山中考)如图，ΔACD和ΔAEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°. 四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是……………………………( )
A.ΔACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与ΔADB重合
B.ΔACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与ΔDAC重合
C.沿AE所在直线折叠后，ΔACE与ΔADE重合
D.沿AD所在直线折叠后，ΔADB与ΔADE重台
13. □ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，那么图中有全等三角形 对.
14. 如图，在□ABCD中，E在AD上，以BE为折痕把△ABE向上翻折，使点A落在CD上的点F. 若△DEF的周长为8，△FCB的周长为22，则FC= .
15. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=45°，且AE+AF=，求□ABCD的周长.
创新应用
16. 已知点A(3，0)，B(-1，0)，C(0，2)，以A，B，C为顶点画平行四边形，求第四个顶点D的坐标.
分析：本题分三种情况讨论，即AB、AC、BC分别是对角线时的三种情况.
参考答案
5. 如第2题图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则□ABCD的周长为_____ _cm.
答案：22
6. 已知□ABCD的周长为40，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长小6，则AB=________，BC=_______.
答案：7 13
7. 如图，O为□ABCD的对角线交点，E为AB的中点，DE交AC于点F，若S□ABCD＝12，则S△DOE的值为 .
答案：1.5
8. 如图，已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O任作一直线分别交AD、CB的延长线于E、F，求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DO=OB.
∴∠E=∠F，∠EDO=∠FBO.
∴△DOE≌△BOF(AAS)，∴OE=OF.
9. 如图，已知∠AOB，OA=OB. 点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形. 请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹，不写画法)，并说明理由.
解：连结AB，EF相交于C点，则射线OC就是所求的角平分线.（图略）
证明：∵四边形AEBF是平行四边形，∴AC=BC.
∵OA=OB，∴OC平分∠AOB.
能力提升
10. (2007日照中考)如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
分析：由四边形ABCD是平行四边形得BO=OD，又OE⊥BD，故得BE=DE，于是△ABE的周长即为AB+AD，这可根据平行四边形的周长求得.
答案：D
11.在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处. 如果AE过BC的中点，则□ABCD的面积等于……………………………（ ）
A.48 B. C. D.
解析：如图，由题意可知AB=CD=CE，BC=AD=AE，AC=CA，于是△ABC≌△CEA，得∠ACB=∠CAE，即FA=FC，又BF=FC，故∠BAC=90°，由勾股定理可求得AC=，因此可求得△ABC的面积，进而求得□ABCD的面积.
答案：C
12. (2007眉山中考)如图，ΔACD和ΔAEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°. 四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是………………………………………………………………( )
A.ΔACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与ΔADB重合
B.ΔACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与ΔDAC重合
C.沿AE所在直线折叠后，ΔACE与ΔADE重合
D.沿AD所在直线折叠后，ΔADB与ΔADE重台
解析：由已知易证△DAB≌△CAE≌△DAE，△ACB≌△DAC. △ACE的顶点绕A点逆时针旋转90°后与△ADB的顶点对应重合，故A正确；选项B中线段AB绕A点顺时针旋转90°不可能与DC重合，故不正确；选项C、D，进行相应的轴对称变换都成立.
答案：B
13. □ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，那么图中有全等三角形 对.
解析：由已知可证以下全等三角形：△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△AOB≌△COD，△BOC≌△DOA，△BOE≌△DOF，△AOE≌△COF.
答案：6
14. 如图，在□ABCD中，E在AD上，以BE为折痕把△ABE向上翻折，使点A落在CD上的点F. 若△DEF的周长为8，△FCB的周长为22，则FC= .
解析：由题设可知DE+EF+DF=DE+AE+DF=AD+DF=AD+CD-FC =8，BF+BC+FC=AB+BC+FC=CD+AD+FC=22，于是可得FC=7.
答案：7
15. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=45°，且AE+AF=，求□ABCD的周长.
分析：结合已知条件求得AB=AE，AD=AF间的关系，进而可得AB+AD=4，于是可求得□ABCD的周长.
解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，且∠EAF=45°，∴∠C=135°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∴∠B=∠D=45°.
∴AB=AE，AD=AF.
又∵AE+AF=，∴AB+AD=4，即□ABCD的周长为8.
创新应用
16. 已知点A(3，0)，B(-1，0)，C(0，2)，以A，B，C为顶点画平行四边形，求第四个顶点D的坐标.
分析：本题分三种情况讨论，即AB、AC、BC分别是对角线时的三种情况.
解：(1)当AB是对角线时，D(2，-2)；
(2) 当AC是对角线时，D(4，2)；
(3) 当BC是对角线时，D(-4，2).
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新浙教版数学八年级（下）
4.2 平行四边形及其性质（3）
B
C
A
D
我们学过平行四边形有哪些性质
温故知新
定理 1 平行四边形的两组对边分别相等.
夹在两条平行线间的平行线段相等.
夹在两条平行线间的垂线段相等.
推论：
为迎接“五一”旅游黄金周的到来，某风景区正在精心“装扮”，静待佳客来临。打算在风景区的入口处建一个形状如图所示的花坛
现在想在花坛里种上四种不同颜色的花并且这四种花正好将花坛分成面积相等的四块，你能帮忙划分吗？把你的划分方案向大家展示一下好吗？
想一想：平行四边形的对角线有什么关系？
合作探究，引入新课
平行四边形的对角线互相平分
折一折
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
求证: OA=OC,OB=OD.
B
A
C
D
3
4
1
2
O
证明∵AD∥BC(平行四边形的定义)
∴∠1=∠2, ∠3=∠4 .
又∵AD=BC(平行四边形的对边相等).
∴⊿AOD≌⊿COB（ASA）
∴OA=OC,OB=OD.
证明命题：平行四边形的对角线互相平分
几何语言：
定理2：平行四边形的对角线互相平分
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
在 ABCD中，
OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO
平行四边形的性质有：
平行四边形的对边相等
平行四边形的对边平行
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的邻角互补
A
B
D
C
O
AB=CD；AD=BC
AB∥CD；AD∥BC
OA=OC；OB=OD
小结：平行四边形的性质是证明线段相等和角相等的重要依据和方法。
1、如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，
(1)若AC=18cm,BD=24cm,则AO= , BO= .
又若AB=13厘米，则△COD的周长为 。
（2）若△AOB的周长为30cm, AB=12cm,则对角线AC与BD的和是 。
2.如图：平行四边形ABCD中, AC、BD相交于点O, AB=8, 则以下两条线段长能作为平行四边形的对角线的长的是（ ）
A. 4, 12 B. 6, 8 C. 8, 26 D. 12, 20
9cm
12cm
34cm
36cm
D
练一练
3、已知O是 ABCD两条对角线的交点,若AC=24mm, BD=38mm,ＢC=28mm,则△OBC的周长为_____
B
A
C
D
O
59mm
练一练
4、已知O是 ABCD两条对角线的交点,若已知ＡＢ＝５，△ＯＡＢ的周长比△ＯＢＣ的周长短３，
则ＢＣ＝_____
8
6、如图，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，AB=10，AD=8， ＤＢ⊥ＡＤ,求ＢＣ,ＣＤ及ＯＢ的长及 □ ABCD 的面积．
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｏ
8
10
∟
解；∵四边形ABCD是平行四边形
∴ＯＢ＝ ＢＤ＝３
∴ＢＤ＝ ＝ ＝６，
在Ｒt△ＡＤＢ中，ＡＤ＝８，ＡＢ＝１０，
∴ＢＣ＝ＡＤ＝８，ＣＤ＝ＡＢ＝１０
□ ABCD
7、已知:如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O. 过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F。 求证：OE=OF
A
B
C
D
F
E
O
证明∵AB∥CD
∴∠ODF=∠OBE
∴△DOF≌△BOE（ASA）
∴OD=OB
(平行四边形的对边平行）
(平行四边形的对角线互相平分）
∵ 四边形ABCD是平行四边形
又∵∠DOF=∠BOE
∴OE=OF
改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立么？
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
在这些图形中面积相等的图形有哪些？
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分
有一块平行四边形的草地，学校想在中间留一条小路，把它分成面积相等的两块，请你来想想，可以怎样分？有多少种分法？
想一想
有无数种分法，分割线只要过对角线的交点
B
A
C
D
O
E
F
求证：△ＯＢＥ≌△ＯＤＦ
证明：∵OB=OD ,OA=OC
∴OE=OF.
又∵ OE= OA, OF= OC(中点的定义)
又∵ ∠BOE= ∠ DOF(对顶角相等)
∴ △OBE≌△ODF（SAS）
1、已知：如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O，Ｅ，Ｆ分别是OＡ，ＯＣ的中点
(平行四边形的对角线互相平分)
2、如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点E，AC⊥BC，AC=4，AB=5，求BD的长。
A
B
C
D
E
解：∵ AC⊥BC
∴BC2=AB2-AC2=25=16=9
（勾股定理）
∴ BC=3
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴CE= AC=2，BD=2BE
∴
∴BD=2BE=
（平行四边形对角线互相平分）
（勾股定理）
你还有别的方法吗
F
3、如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 _________.
O
D
B
A
C
●
1＜AD＜9
练习:如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD的长为__________
2cm或8cm
O
1、已知O是 ABCD两条对角线的交点,AC=24mm, BC=38mm,OD=28mm,则△OBC的周长为_____
78mm
练一练
2、有没有这样的平行四边形,它的两条对角线长分别为14cm和20cm，它的一边长为18cm 为什么
若平行四边形的一边长为xcm，则x的取值范围为多少？
3cm＜x＜17cm
3、如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD的长为__________
2cm或8cm
O
练一练
4、一块草地中间有一水井，为了浇水的方便，经过水井修一条小路，并且把草地分成面积相等的两部分，同学们，你能画出小路的位置吗？
B
M
C
●
D
A
O
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4.2 平行四边形及其性质（3）讲练互动
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【要点预习】21cnjy
平行四边形的性质：平行四边形的 互相平分.
【讲练互动】
【例1】已知：如图，□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且BE//DF. 求证：BE=DF.
【绿色通道】当平行四边形中出现与对角线相关的问题时，往往利用“平行四边形的对角线互相平分”这一性质来解.
【变式训练】
1. 如图，□ABCD中，AC⊥AB，∠ABD=30°，AC与BD交于点O，AO＝1，求BC的长.
【例2】在一次数学探究活动中，小王用两条直线把□ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组.
(2)请你下图的平行四边形中画出满足小王分割方法的直线.
(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
【变式训练】
2. 如图是一块蛋糕的形状. 表面是平行四边形，且内有一个平行四边形的孔. 你能切一刀将它分成大小相等的两块吗？请说出你的刀法，并画出示意图.
参考答案
【例2】在一次数学探究活动中，小王用两条直线把□ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组.
(2)请你下图的平行四边形中画出满足小王分割方法的直线.
(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
解：(1)无数；
(2)如图
（AC、BD为对角线） （E、F、G、H为各边中点） （E、F、G、H为各边三等分点）
(3) 这两条直线都经过平行四边形的相同的等分点，且都经过对角线的交点.
【变式训练】
2. 如图是一块蛋糕的形状. 表面是平行四边形，且内有一个平行四边形的孔. 你能切一刀将它分成大小相等的两块吗？请说出你的刀法，并画出示意图.
解：这两个平行四边形的对角线交点的连线.如上图.
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