2.2.1 一元二次方程的解法（因式分解）同步练习（含解析）

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浙教版（2012）八年级数学下册 同步练习
2.2.1一元二次方程的解法（因式分解）
一、选择题
1．已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程可以为 （ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的解是 （　　）
A． B． C． D．
3．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 （ ）
A．0 B． C．4 D．0或4
4．若某三角形两边的长分别等于方程的两个实数根，则这个三角形的第三边长可能是 （　　）
A．5 B．10 C．13 D．14
5.关于x的一元二次方程的一根比另一根大2，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．方程的解为_____________．
7．小华在解一元二次方程时，在方程两边除以x，得到方程的解为，小华的解法正确吗？___________（填“正确”或“不正确”）．
8．已知，则的值等于______．
9．已知方程和方程的解完全相同，则__________．
10．分式的值为0，则_____________．
三、解答题
11．用适当的方法解下列方程：
(1)（2x﹣1）2＝6x﹣3；
(2)5（x+1）2＝3（x+1）．
12．已知方程的两个根是a和b，方程的正根是c，试判断以a，b，c为边的三角形是否存在？
13．阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下：
(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解．
(2)拓展：当代数式时，求的值．
14．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
15．阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为．①
解得．
当时，，，．
当时，，，．
∴原方程的解为．
解答问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
(2)利用上述材料中的方法解方程：．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意可设这个方程为，即可求解．
【解析】解：∵一元二次方程的两根是，
可设这个方程为，
∴这个方程可以为．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．D
【分析】根据因式分解法即可求出答案
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3．A
【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程的根的定义将代入，得到关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】解：由一元二次方程的定义可得，则，
将代入，得
，
即，
∴，
解得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
4．B
【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边关系定理判断即可．
【解析】解方程得：
∴这个三角形第三边的取值范围是
这个三角形的第三边长可能是10
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的关键．
5.A
【分析】利用因式分解法求出，，再根据根的关系即可求解．
【解析】解，
∴，
∴或，
解得，，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
6．，
【分析】利用分解因式法解方程即可.
【解析】
或
得，
故答案为: ，
【点睛】本题主要考查了分解因式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
7．不正确
【分析】出错的地方为：方程两边除以x，没有考虑x为0的情况，写出正确解法即可．
【解析】解：小华同学的解法有错误， 方程两边除以x，没有考虑x为0的情况．正确的解法如下：
移项得：
因式分解得：
∴
解得：
故答案为：不正确．
【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
8．2
【分析】因为，，所以，根据，得出，把看做一个整体，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查有理数乘法，偶次方的非负性，根据偶次方的非负性得出，再由乘法法则得出是解题的关键．
9．1
【分析】用因式分解法求的解即可．
【解析】解：
∵方程和方程的解完全相同，
∴，
故答案为1．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，方程和方程的解完全相同，即可化为的形式．
10．
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【解析】解：根据题意知，，且分母时，
解得，．
即当时，分式的值为零．
故答案是：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．
11．(1)x1＝，x2＝2；
(2)x1＝﹣1，x2＝﹣．
【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程；
（2）根据因式分解法可以解答此方程．
【解析】（1）解：（1）移项得（2x﹣1）2﹣（6x﹣3）＝0，
因式分解得（2x﹣1）（2x﹣4）＝0，
2x﹣1＝0或2x﹣4＝0，
解得，x1＝，x2＝2；
（2）（2）移项得5（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
把方程左边进行因式分解得（x+1）（5x+2）＝0．
∴x+1＝0或5x+2＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
12．不存在
【分析】先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断．
【解析】解：解方程得
，，
∴，，
解方程得
，，
∴，
∵，
∴，
∴以a，b，c为边的三角形不存在．
【点睛】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，求出a、b、c值是解题的关键．
13．(1)
(2)1或-3
【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；
（2）将方程左边因式分式后求出与的关系，求出结果即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
∴或．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式．
14．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）将代入方程，进行整理即可判断的形状；
（2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可．
【解析】（1）解：为等腰三角形，理由如下：
将代入方程，得：，
整理，得：，
即：，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即：，
，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
15．(1)换元，转化
(2)
【分析】（1）根据换元法和转化的数学思想即可得；
（2）设，利用换元法解方程即可得．
【解析】（1）解：由题意得：在原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元，转化．
（2）解：设，则方程可转化为，
解得：，
当时，，方程根的判别式为，方程没有实数根，
当时，，则，解得，
所以原方程的解为．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
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