2.2.3 一元二次方程的解法（配方法）同步练习（含解析）

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浙教版（2012）八年级数学下册 同步练习
2.2.3一元二次方程的解法（配方法）
一、选择题
1．将一元二次方程化成的形式，则的值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式 （ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是 （ ）
A． B． C． D．
4．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是 （ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
5．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为 （ ）
A．6 B． C． D．
二、填空题
6．把一元二次方程通过配方化成的形式为______
7．已知关于的方程的一个根是，则____________．
8．当_________时，代数式的值等于．
9．用配方法解方程，配方得，常数m的值是 _____．
10．实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图所示），若，当时，的长度为___________
三、解答题
11．用配方法解一元二次方程：
12．解方程：（配方法）
13．试用配方的方法说明：代数式的值恒大于．
14．已知的三条边分别是．
(1)判断的值的正负．
(2)若满足，判断的形状．
15．我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
参考答案：
1．D
【分析】移项后配方，即可得出答案．
【解析】解：，
，
配方，得，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
2．D
【分析】解题时首先进行移项，变形成，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解析】解：
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数移项到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．B
【分析】一元二次方程的二次项系数为1时，方程两边加上一次项系数的一半的平方，进行配方，据此即可判断．
【解析】解：A．用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上1，不符合题意；
B．用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上4，符合题意；
C．用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同除以2，再同时加上1，不符合题意；
D．用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上16，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．A
【分析】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可．
【解析】解：①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故选A．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的解题步骤是解题的关键．
5．B
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解析】x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x=36，
4x=6，
x=，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
6．
【分析】由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方．
【解析】解：，
即，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，注意配方时，一般要把二次项系数化为1，再配方．
7．1
【分析】将代入已知方程中，然后解关于k的一元二次方程即可求解．
【解析】解：根据题意，将代入方程中，
得：，即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程，理解一元二次方程的解的意义是解答的关键．
8．-1或-3
【分析】根据题意列出方程，，求解即可得出答案．
【解析】根据题意得：，
，
配方得：，即 ，
开方得：，
解得：， ．
故答案为：-1或-3．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．
【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案．
【解析】解：，
，
，
，
则．
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
10．##
【分析】根据数轴得出之间的关系，设未知数列方程求解．
【解析】解：由数轴得：，
设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数和数轴，方程思想是解题的关键．
11．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解析】
或
【点晴】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
12．
【分析】首先移项，将二次项系数化为1后，然后在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键．
13．见解析
【分析】将代数式用配方法配方，利用平方的非负性即可证明．
【解析】解：．
无论x取何值，总有，
．
即代数式的值恒大于．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
14．(1)的值为负
(2)等边三角形
【分析】（1）运用因式分解法将转化为，借助三角形的三边关系问题即可解决；
（2）运用配方法，将所给等式的左边变形、配方，利用非负数的性质问题即可解决．
【解析】（1）解：，
的三条边分别是，
，
的值的为负；
（2）解：，
，
即，
又，，
，
为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解、配方法在代数式的化简求值、几何图形形状的判断等方面的应用问题，解题的关键是灵活运用，正确变形，准确判断．
15．(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．
【解析】（1）解：．
（2），
∵，
∴当即时，
原式有最小值．
（3），
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．
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