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4.3 中心对称 （讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1. 中心对称的概念：
如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做 ，这个点叫 .
如果一个图形绕着一个已知点旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，那么这两个图形关于该已知点成 .
2. 中心对称的性质：
对称中心平分连结两个 的线段.
【讲练互动】
【例1】下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是图中的…………（ ）
【绿色通道】判断是否中心对称图形的方法是将图形进行中心对称变换后，所得的像与原图形重合.
【变式训练】
1. 观察下列“风车”的平面图案：
其中是中心对称图形的有…………………………………………………………………（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例2】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点O是BC的中点，求作以点O为对称中心，与△ABC成中心对称的图形. （不写作法，保留痕迹）
【黑色陷阱】注意两个图形关于某一点成中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，前者是针对两个图形，如本例；后者是针对一个图形，如例1.
【变式训练】
2. 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地(如图所示)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和正方形组成(个数不限)，并且使整个长方形场地成中心对称图形，请画出你的设计方案.
【例3】下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图.
（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）既是中心对称图形，又是轴对称图形.
【变式训练】
3.如图，在直角坐标系中，图形①与图形②关于点P成中心对称.
(1)画出对称中心P，并写出点P的坐标；
(2)将图形②向下平移4个单位，画出平移后的图形③，并判断图形③与图形①的位置关系. (直接写出结果)
参考答案
1. 观察下列“风车”的平面图案：
其中是中心对称图形的有…………………………………………………………………（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
【例2】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点O是BC的中点，求作以点O为对称中心，与△ABC成中心对称的图形. （不写作法，保留痕迹）
解：如图△DCB就是
所求的图形.
【黑色陷阱】注意两个图形关于某一点成中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，前者是针对两个图形，如本例；后者是针对一个图形，如例1.
【变式训练】
2. 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地(如图所示)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和正方形组成(个数不限)，并且使整个长方形场地成中心对称图形，请画出你的设计方案.
答案：略
【例3】下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图.
（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）既是中心对称图形，又是轴对称图形.
解：见下图的阴影部分（取其中一个阴影即可）：
【变式训练】
3.如图，在直角坐标系中，图形①与图形②关于点P成中心对称.
(1)画出对称中心P，并写出点P的坐标；
(2)将图形②向下平移4个单位，画出平移后的图形③，并判断图形③与图形①的位置关系. (直接写出结果)
解：(1)P(1，5)；
(2) 图形③略.
图形③与图形①关于点(1，3)成中心对称.
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
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4.3 中心对称（巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预习】
1. 中心对称的概念：
如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做 ，这个点叫 .
如果一个图形绕着一个已知点旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，那么这两个图形关于该已知点成 .
2. 中心对称的性质：
对称中心平分连结两个 的线段.
基础自测
1. 下列命题中的真命题是…………………………………………………………………（ ）
A. 关于中心对称的两个图形全等 B. 全等的两个图形是中心对称图形
C. 中心对称图形都是轴对称图形 D. 轴对称图形都是中心对称图形
2. (哈尔滨中考)在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是…………（ ）
3. (盐城中考)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是…………………………………………………………………………………………（ ）
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是…………………（ ）
Ａ. 正六边形 Ｂ. 正五边形
Ｃ. 平行四边形 Ｄ. 等腰三角形
5.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB’的长为……………（ ）
A. 4 B. C. D.
6. 在英文字母“M”，“N”，“S”，“Z”，“W”中，是中心对称图形的有 个.
7.如图，BC为等腰三角形纸片ABC的底边，. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出不同的中心对称图形 个.
8. 下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心；若不是，请说明理由
(1)线段；(2)等腰三角形；(3)平行四边形；(4)圆.
9. 如图，点O在△ABC内. 以O为对称中心，求作与△ABC成中心对称的图形.
能力提升
10.若一个图形绕着一个定点旋转一个角（）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形. 例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形. 显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形. 下面四个图形中，旋转对称图形个数有…………………………………………（ ）
Ａ. 1 Ｂ. 2 Ｃ. 3 Ｄ. 4
11. 在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心在原点O，且A（3，2），B（2，-1），请在下面的直角坐标系中画出这个平行四边形，并求点C，D的坐标.
12.如图（1）所示，是一块边长为2的正方形瓷砖，其中瓷砖的阴影部分是半径为1的扇形. 请你用这种瓷砖拼出两种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并把它们分别画在下面边长为4的正方形（2）（3）中（要求用圆规画图）.
答案：
13. 如图，点O是□ABCD的对称中心，过O任意作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，请用平行四边形的中心对称性说明OE=OF.
创新应用
14.如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）.
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是…………………（ ）
Ａ. 正六边形 Ｂ. 正五边形 Ｃ. 平行四边形 Ｄ. 等腰三角形
答案：A
5.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB’的长为……………（ ）
A. 4 B. C. D.
答案：D
6. 在英文字母“M”，“N”，“S”，“Z”，“W”中，是中心对称图形的有 个.
答案：3
7.如图，BC为等腰三角形纸片ABC的底边，. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出不同的中心对称图形 个.
答案：3
8. 下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心；若不是，请说明理由
(1)线段；(2)等腰三角形；(3)平行四边形；(4)圆.
解：(1)线段是中心对称图形，对称中心中线段的中点；
(2)等腰三角形不是中心对称图形，无论绕哪一点旋转180°后，图形不可能与原图形重合；
(3)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；
(4)圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
9. 如图，点O在△ABC内. 以O为对称中心，求作与△ABC成中心对称的图形.
解：如图，△DEF就是的图形.
能力提升
10.若一个图形绕着一个定点旋转一个角（）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形. 例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形. 显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形. 下面四个图形中，旋转对称图形个数有…………………………………………（ ）
Ａ. 1 Ｂ. 2 Ｃ. 3 Ｄ. 4
解析：第1个图形的旋转角为60°或120°或180°；第2个图形不是中心对称图形，故不是旋转图形；第3个图形的旋转角为120°；第4个图形的旋转角为72°.
答案：C
11. 在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心在原点O，且A（3，2），B（2，-1），请在下面的直角坐标系中画出这个平行四边形，并求点C，D的坐标.
解：如图. C(-3，-2)，D(-2，1).
12.如图（1）所示，是一块边长为2的正方形瓷砖，其中瓷砖的阴影部分是半径为1的扇形. 请你用这种瓷砖拼出两种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并把它们分别画在下面边长为4的正方形（2）（3）中（要求用圆规画图）.
答案：
13. 如图，点O是□ABCD的对称中心，过O任意作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，请用平行四边形的中心对称性说明OE=OF.
解：∵点O是□ABCD的对称中心，∴AD 与BC关于O对称.
而过O任意作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，∴E，F关于O点对称，
∴OE=OF.
创新应用
14.如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）.
答案：
图1
图2
A．
B．
C．
D．
30°
A
C
B’
B
C’”””””
（2）
（3）
（1）
30°
A
C
B’
B
C’”””””
（2）
（3）
（1）
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新浙教版数学八年级（下）
4.3 中心对称
观察下面的两个图形你有什么发现
小组合作，发现新知
下一页
像这样把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能够和 另一个图形重合,那么,我们就说这两个图关于这个点对称或中心对称,这个点就叫对称中心,这两个图形中的对应点,叫做关于中心的对称点.
观察:C.A.E三点的位置关系怎样 线段AC.AE的大小关系呢
做一做：下列哪些图形是中心对称图形？
（１）
（２）
（３）
（４）
判断下列图形是不是中心对称图形 ：
想一想
等边三角形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？
平行四边形呢？
下一页
A’
A
B
C
C’
B’
O
性质1：关于中心对称的两个图形是全等形。
∵ △ABC与△A`B`C`关
于点O成中心对称
∴ △ABC≌ △A`B`C`
性质2：关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
∵△ABC与△A`B`C`关
于点O成中心对称
∴AA`、BB`、CC`经过点O
且 OA=OA`，OB=OB`，OC=OC`
中心对称的性质：
１、观察图形，并回答下面的问题：
（１）哪些只是轴对称图形？
（２）哪些只是中心对称图形？
（３）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
（１）
（３）
（２）
（４）
（５）
（６）
做一做
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
（６）
２、下面图案是中心对称图形吗？若是请指出它们的对称中心，对于图（６），只要把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合。
3、图中，不是中心对称图形的是（ ）
B
A
D
C
B
4、已知：下列命题中真命题的个数是（ ）
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等图形
③两个全等的图形一定关于中心对称
A、0 B、1 C、2 D、3
B
A
O
A′
5、 （1）如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；
点A′即为所求的点．
应 用
画法：连接AO并延长到A′，使OA′=OA，得到点A的对称点A′.
A′
B′
A
B
O
(2).画出线段AB关于点O的中心对称线段A′B′
(3)、如图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
A’
C’
B’
△A′B′C′即为所求的三角形．
(4) 已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使它与已知四边形关于这一点对称.
A
B
A′
C′
B′
D′
D
O
C
四边形A１B１C１D１即为所求的图形.
A
B
C
D
O
∴四边形A`B`C`D是
所求的四边形。
A`
．
D`
．
C`
．
B`
．
变式一：若点O是BC的中点呢？
A
B
C
D
∴四边形A`B`C`D`就是
所求的四边形。
A`
D`
．
C`
．
B`
．
变式二：若点O与点A重合呢？
例题讲述
已知四边形ABCD和点O（下图），画四边形A’B’C’D’，使它与已知四边形关于点O对称.
.
o
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
画法：1. 连结AO并延长到A’，使
OA’=OA，得到点A的对称点A’.
2. 同样画B、C、D的对称点
B’、C’、D’.
3. 顺次连结A’、B’、C’、D’
各点.
四边形A’B’C’D’就是所求的四边形.
关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
中心对称的性质：
定理1：
定理2：
关于中心对称的两个图形是全等形。
△ABC≌ △A`B`C`
A、O、A`三点共线
B、O、B`三点共线
C、O、C`三点共线
OA=OA` OB=OB` OC=OC`
1.判断题:
①如果两个图形关于某点成中心对称,那么这
两个图形全等.( )
②两个全等的图形一定关于某点成中心对称.
( )
③如果两个图形关于某点成中心对称,那么将
其中一个图形绕着对称中心旋转180°必定
与另一个图形重合.( )
④如果两个图形关于某点成中心对称,那么
对称点的连线一定经过对称中心.( )
√
×
√
√
巩固练习：
O
B
A
C
D
对称中心是 ______，
点O
点A的对称点是 ______，
点D的对称点是 ______，
点C
点B
小练习
A’
B’
C’
O
A
B
C
3、如图，已知等边三角形ABC和点O，画△A’B’C’,使△A’B’C’和△ABC关于点O成中心对称。
做一做
4、今有正方形的土地一块，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路宽度可忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案（在给出的图中的三个正方形上分别画图，并简述画图步骤.
做一做
B2
5
如图，已知△ABC和一点P，
⑴画△ABC关于点P的对称图形△A1B1C1;
⑵过点P任意画一条直线m,画△ABC关于直
线m的对称图形△A2B2C2;
·
P
A
B
C
A1
B1
C1
A2
C2
m
观察△A1B1C1 和△ A2B2C2
它们有什么关系吗
n
合作探究:
分别连接AA′，BB′,CC′
点O在线段AA′上吗？
如果在，在什么位置？
△ABC与△A′B′C′有什么关系？
(1)点O是线段AA ′的中点
（2）△ABC≌△A′B′C′
O
A’
B’
C’
C
B
A
很显然画出的△ABC与△A’B’C’关于点O对称.
旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋 转180°，画出△A′B′C′；
第三步，移开三角板.
证明：（1）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，
即点O是线段AA′的中点。
同理，点O也在线段BB′和CC′上，
且OB=OB′，OC=OC′，
即点O是BB′和CC′的中点。
求证：（1）点O是线段AA ′、 BB′ 、 CC ′的中点
证明探究:
证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴AB=A′B′
同理：AC=A′C′，BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
求证：（2）△ABC≌△A′B′C′
证明探究:
轴对称 与中心对称定义、性质对比图：
轴对称 中心对称
定
义
1
2
3 有一条对称轴—直线
图形沿轴对折，(翻转达180度。)
翻转后与另一个图形重合。 有一个对称中心—点。
图形绕中心旋转180度。
旋转后与另一个图形重合。
性
质 1
2
两个图形是全等形。
对称轴是对称点连线的垂直平分线。
两个图形是全等形。
对称点连线都过对称中心，
且被对称中心平分。
中心对称的特征与实际应用
具有数学美。因为中心对称图形形状匀称美观。所以许多建筑、工艺品、商标常用这种图形作装饰图案。
平稳旋转。具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳旋转。所以在生产中，有关旋转的零部件常设计成中心对称图形。
