2.1一元二次方程 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
浙教版八下数学
第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
重要的，整理+综上联立
数学的本质是在认识数的同时，认识数量之间的关系（多与少），进一步抽象，是数与数之间的关系（大与小)。
两个相关联的数或数量之间的关系，初中阶段主要可分为三类：一是加减运算的和差关系，二是乘除运算的倍比关系，三是乘方、开方运算的幂、方根关系。
百分数属于倍比关系，表示一个数是另一个数的百分之几的数。
增长率：增加的数额与原来的数额的比例关系，用“%”表示。
温故知新：
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x，可列出方程
x
x
x
3
X2+3x=4
等量关系：部分量+部分量=总量
X2+3x - 4=0
2. 如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m.
6
x+6
( x + 6 )2 + 72 = 102.
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
7m
C
1m
10m
A
B
D
E
6m
x
3.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
可列得方程5（1＋x）2=7.2,
分析：
设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；
同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，
即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.
总结：原来的量，变化后的量，平均增长率以及变化的次数之间的关系
a S x% n
5x2 +10x-2.2＝0.
4.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
分析:
全部比赛共
4×7=28场.
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,
(x-1)
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场.
x2-x=56
.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程.
x2 +12x-15 ＝0.
x2-x-56=0
5x2 +10x-2.2＝0.
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( )
③2x2-3x-1=0 ( ) ④ =0 ( )
学以致用：
X2+3x- 4=0
√
×
√
×
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
.判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.
练习：
当x=2时，左边=2 -2=4-2=2
右边=2
因为：左边=右边
所以x=2是方程的解。
解：当x=-1时，
左边=（-1） -2=1-2=-1
右边=-1
因为：左边=右边
所以x=-1是方程的解。
当x=0时，左边=0 -2=-2
右边=0
因为：左边≠ 右边
所以x=0不是方程的解。
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项.
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
二次项
一次项
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、
一次项系数和常数项.
(1)9x2=5-4x； (2)(2-x)(3x+4)=3.
解：（1）移项，整理得9x2+4x-5=0
这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5。
（2）方程左边多项式相乘，得-3x2+2x+8=3，
移项，整理得-3x2+2x+5=0
a=-3，b=2，c=5。
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
2x2-x=4
y-4y2=0
(2x)2=(x+1)2
2x2-x-4=0
3x2-2x-1=0
2
-1
-4
3 -2 -1
填表:
练习：
-4y2+ y=0
.
-4 0
.
解得 　
b=1
c=-15
所以这个一元二次方程是2x2+x-15=0
例2 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0的两个根分别为x1= 和x2=-3，求这个方程.
.
解：将x1= 和x2=-3带入方程 2x2+bx+c=0得
2×()2+b+c=0
2×(-3)2+(-3)b+c=0
.
.
.
把x=3代入方程得：9+3a+a=0
练习：.已知关于x的一元二次方程　　　　　 的一个根是3,求a的值，
x2+ax+a=0
a= -
.
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项要先化为一般式.
根
使方程左右两边相等的未知数的值.
课堂小结
1.关于 x 的方程 (k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k 　　　时，是一元二次方程．
≠3
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k 　　　时，是一元二次方程．,
当k 　　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
夯实基础，稳扎稳打
.
且
.
同时满足
a=5，b=-4，c=-4.
系数和项均包含前面的符号.
3. 将一元二次方程（x-）（x+）+(2x-1)2=0化为一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项.
.
解：(x2-5)+(4x2-4x+1)=0
x2-5+4x2-4x+1=0
5x2-4x-4=0
4. 关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+|a|-1=0的一个根为0，求a的值.
解：将x=0代入方程|a|-1=0，
解得a= ±1.
∵ a+1 ≠0，
∴ a ≠-1，
综上所述：a =1.
且
同时满足
.
.
解：由题意，得|m|＝2，且m＋2≠0，解得m＝2.
∴当m＝2时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程．
m≥0且m≠1
5.已知关于x的方程 . , 当m为何值时，该方程是一元二次方程？
.
.
.
m=2
.
被开方数
二次项系数
6.若方程（m-1）x2+ x=1是关于 x 的一元二次方程，求m的取值范围.
.
连续递推，豁然开朗
指数
(m+2)x+2x-1=0
.
7. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
变形: 若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗
解：由题意得
方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
推广: 若 a-b +c=0, 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗
a+b+c=0
a+b+c=0
a+b
.
a+b
.
a+b
.
8.对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若a+b+c=0,则方程必有一个根为_______.
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若a+c=b,则方程必有一个根为_______.
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若4a+2b+c=0,则方程必有一个根为_______.
X=1
X=2
X= -1
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若a-2b+4c=0,则方程必有一个根为_______.
x= -
.
9. 如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m.
6
x+6
( x + 6 )2 + 72 = 102.
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
7m
C
1m
10m
A
B
D
E
6m
x
思维拓展，更上一层
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了 1m，他的说法正确吗？为什么？
(2) 底端滑动的距离可能是 2m 吗？可能是 3m 吗？为什么？
不正确，1 + 12 - 15 = -2.
距离是 2m 不可能，4 + 24 - 15 = 13.
距离是 3m 不满足方程，不是方程的解
小亮把他的求解过程整理如下:
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 + 12 x - 15 -15 -8.75 -2 5.25 13
所以 1 < x <1.5，
进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12 x - 15 -0.59 0.84 2.29 3.76
所以 1.1 < x <1.2 .