第一章 解直角三角形单元测试卷（困难 含解析）

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浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为( )
A. B. C. D.
2. 在中，已知，则下列说法不正确的是( )
A. 边上任意一点到边、的距离之和等于点到的距离
B. 边的垂直平分线是的对称轴
C. 的外心可能在内部、边上或外部
D. 如果的周长是，那么
3. 如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为，再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处给出以下结论：是的中点；；；当时，．
其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
4. 在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 如图，是半径为的半圆弧，为等边三角形，点是上的一动点、则的面积的最大值是 ( )
A. B. C. D.
6. 如图，中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连接，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于、两点，连接、、，下列正确的是：；；；( )
A. B. C. D.
9. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，，线段的中点为，点在以为圆心，为半径的圆上运动，的中点为当点也落在上时，的值等于( )
A. B. C. D.
11. 如图，正方形的对角线，相交于点，点是上一点，交于点，连接，交于点，连接则下列结论：；∽；四边形的面积是正方形面积的；；若：：，则其中正确的结论有( )个
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 如图，建筑工地划出了三角形安全区，一人从点出发，沿北偏东方向走到达点，另一人从点出发，沿北偏西方向走到达点，则点与点相距( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，在中，，，垂足为给出下列四个结论：；；；其中正确的结论有______．
14. 如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的值为______．
如图，在菱形中，，，，则该菱形的面积是______．
如图，在矩形中，，，，分别为，，，的中点，若：：，四边形的周长是，则矩形的面积是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图所示那样折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
18. 本小题分
如图，在中，点在线段上，，，，，求的长．
如图，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长．
19. 本小题分
如图，在 中，，分别是，的中点．
求证：≌．
当，且的面积为，求证：四边形是菱形．
20. 本小题分
如图，四边形内接于，，，垂足为点，点在的延长线上，且，连接，，若，，求的值．
21. 本小题分
如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为，与轴交于点，且：：．
求抛物线的函数表达式；
设为线段上一点不含端点，连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
将绕点顺时针旋转当点的对应点落在的边所在直线上时，求此时点的对应点的坐标．
22. 本小题分
如图，在菱形中，，，连接．
求的长；
点为线段上一动点不与点，重合，点在边上，且．
当时，求四边形的面积；
当四边形的面积取得最小值时，的值是否也最小？如果是，求的最小值；如果不是，请说明理由．
23. 本小题分
如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点．
当点运动到中点时，证明：四边形是平行四边形；
当时，求的长；
当点从点开始向右运动到点时，求点运动路径的长度．
24. 本小题分
小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图，已知，，，，．
连结，求线段的长．
求点，之间的距离．
结果精确到参考数据：，，，，，
25. 本小题分
如图，四边形内接于，，，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的性质及判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．延长交于，作于设构建方程求出即可解决问题．
【解答】
解：延长交于，作于设．
，，
，
，
，
平分，，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
解得或舍弃，
，
，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：
在中，，
，
为边上任意一点，作交于点，作于点，作于点，如图：
，，，
，，，
，
边上任意一点到边、的距离之和等于点到的距离，故A中说法正确；
，
，
边的垂直平分线是的对称轴，故B中说法正确；
，
，均为锐角，
可能为锐角三角形，也可能为直角三角形，也可能为钝角三角形，
的外心可能在内部、边上或外部，故C中说法正确；
的周长是，
，
，
，
，
，故D中说法错误．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：将，分别沿，折叠，
，，，，，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
由折叠的性质可得，，，，，故正确．
当时，，
四边形是平行四边形，
，
，故正确．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，
则，
故选：．
利用互余两角三角函数的关系判断即可．
此题考查了互余两角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的面积的求法与锐角三角函数的增减性有关知识，根据三角形的面积公式，因为，都是圆的半径，所以，根据的范围，分锐角，钝角两种情况分析，进行解答即可．
【解答】
解：，
，
，
为等边三角形，
，
，
当时，随着角度的增大，增大，
当时，随着角度的增大，三角形的底不变，高在减小，面积在减小，
当时，最大，最大值是，
的面积的最大值是．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明，属于中考常考题型设交于，过点作于首先证明，再证明，可得结论．
【解答】
解：设交于点，过点作于点，如图所示．
在中，点是边的中点，
．
．
，
．
．
．
，，
．
．
．
，
．
，
B.
B.
，
．
．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【解答】
解：如图，为的中心，
为的边上的高，
则为边心距，
，
又，
，
，
在中，，
即，
：：：：．
在正中，是高，设，
则
正三角形面积为，
，
，
．
即，则，
：：：：，
．
即这个圆的半径为．
所以该圆的内接正六边形的边心距，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，，
≌，
，
，
故正确，
由可得：，
，，
≌，
，
故正确，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
∽，
；
故不正确，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
故正确，
正确的是．
故选：．
证明≌，由可得；
结合，证明≌；
证明，得；
求出和的面积，进而由它们的差可得．
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析．
9.【答案】
【解析】解：如图中，设，则，，
，，
，
故选：．
如图中，设，则，，求出，，可得结论．
本题考查解直角三角形，四巧板，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会利用参数解决问题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题目考查了等腰三角形的性质、三角形中位线的性质、锐角三角函数，关键是要根据点是的中点来分析作辅助线解答．
【解答】
解：当点也落在上时，如图，连结、、．
为的中点，为的中点，
，
作于，
，
，
，
故选C．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
可证明≌，进而证明≌，进一步得出结论；
可证明∽，从而，可证明∽，从而，进而得出，从而得出结论；
由四边形的面积等于的面积加的面积可得四边形的面积等于的面积加的面积，从而四边形的面积等于的面积，进而得出结论；
作，交于，可证得及≌，进一步得出结论；
作于，设，则，，可得出，可证得，从而得出，从而得出结论．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，，，，
，
，
，
≌，
，
≌，
，
，
，
，
，
故正确；
由∽得，，
由∽得，，
，
，
∽，
故正确；
由知：≌，
四边形的面积等于的面积加的面积，
四边形的面积等于的面积加的面积，
四边形的面积等于的面积，
而的面积等于正方形的面积的，
四边形的面积是正方形面积的；
故正确；
如图，
作，交于，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
故正确；
如图，
作于，
：：，
：：，
，
：：，
设，则，，
，
，
，
，
，
点、、、共圆，
，
，
故不正确，
正确，
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形，方位角，勾股定理得应用，过作，，，则，根据题意，结合勾股定理，求得，，，，最后根据勾股定理可得．
【解答】
解：如图，一人从点出发，沿北偏东方向走到达点，另一人从点出发，沿北偏西方向走到达点，
过作，，，则，
，，，
在直角三角形和直角三角形中，结合勾股定理可得
，，，，
，
根据勾股定理可得
故选B．

13.【答案】
【解析】解：，，
，，，
，，
，故正确；
，故正确；
在中，，
，故正确；
，，
，故正确；
故答案为．
本题主要考查锐角三角函数的定义，根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．作于，连接、，连接交于，如图，利用菱形的性质得为等边三角形，，再在在中计算出，接着证明，设，利用折叠的性质得到，垂直平分，，所以在中利用勾股定理得，解得，接下来计算出，从而得到的长，然后在中利用勾股定理计算出，再利用余弦的定义求解．
【解答】
解：作于，连接、，连接交于，如图，
四边形为菱形，，
为等边三角形，，
点为的中点，
，，
在中，，
，
，
设，
菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，
，垂直平分，，
在中，，解得，
在中，，，
在中，，
，
在中，，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：，，
设，，
，
菱形的边，
解得，
，，
在中，，
该菱形的面积．
故答案为：．
根据的余弦设，，根据菱形的四条边都相等列式求出的值，从而得到、的值，再利用勾股定理求出，然后根据菱形的面积等于底乘以高列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是解题的关键，利用的余弦设，使求解更加简便．
16.【答案】
【解析】解：在和中，
，，，
≌，
，
同理，
即四边形为菱形．
又四边形的周长是，
．
：：，
设，则．
由勾股定理得，，
，，，
矩形的面积
由题意知，，，，是全等三角形，所以，即四边形为菱形，四边形的周长是，可知边长为，根据勾股定理可求得和，即和的值就可求出，从而求矩形面积．
本题考查了矩形、菱形的性质及勾股定理，有一定难度．
17.【答案】解：，，
由勾股定理得，
由折叠可得，，
设，则，
所以，
解得，
．
【解析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换，勾股定理的计算，根据已知及翻折变换，勾股定理的计算，求出的值．
18.【答案】解：过点作交的延长线于点
如图，过点作于点
∽
，
在中，
，
在中，
，
，
．
【解析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
过点作交的延长线于点，根据相似三角形的判定与性质及平行线的性质求解；
如图，过点作于点，根据相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义求解．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，分别是，中点，
，，
，
，，
≌．
解法一、过作于，
，且的面积为，
，，
，
，
，
，
，分别是，中点，
，
≌，
，
，
四边形是菱形．
解法二、过作于，
，且的面积为，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，分别是，中点，
，
≌，
，
，
四边形是菱形
【解析】根据平行四边形的性质得到，，，推出，根据即可推出答案；
过作于，根据三角形的面积求出，根据锐角三角函数求出，得出等边三角形，推出，推出即可．
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
20.【答案】解：
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是线段的中垂线，
，．
又，设，，
则，即，解得，
，，，
∽，
，
作，垂足为点，
，，
∽，
，
，
，，
，
，

【解析】见答案
21.【答案】解：过点作轴于点，
令，得：，
，
，
解得： ，
，
将 代入 ，
解得： ，
；
，易证得∽，
，
又
，
，
，
将点 代入，
解得 ，
；
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，由题意可知，可转化为投影到轴的线段长，如图，过点作轴于点，过点作于点，交于点，则点即为所求．
直线的解析式为，，
，
，
点的坐标为
解：由题意易得为直角三角形，，，，
，，，
将绕点顺时针旋转 ，
当点的对应点落在的边所在直线上时分以下三种情况：
如图，
当点的对应点落在边所在直线上时，，
可求得点的坐标为
如图，过点作垂直轴，过作垂直，
当点的对应点落在边所在直线上时，，，
，
，
，，
，
可求得点的坐标为
如图，
当点的对应点落在边所在直线上时，
在中，由 ，，
可用锐角三角函数求得，，
可求得点的坐标为；
综上所述：当点的对应点落在的边所在直线上时，对应的点的坐标为或或
【解析】本题考查一次函数的图像，性质和用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图像，性质和用待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系中点坐标，相似三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值，解直角三角形，旋转的性质，分类讨论的数学思想．
首先求出点、坐标，然后求出直线的解析式，求得点坐标，代入抛物线解析式，求得的值
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，由题意可知，可转化为投影到轴的线段长，如图，过点作轴于点，过点作于点，交于点，则点即为所求，进而根据直线的表达式得到角的度数，求出的长，即可得解；
将绕点顺时针旋转 ，当点的对应点落在的边所在直线上时分以下三种情况：
如图，当点的对应点落在边所在直线上时；
如图，当点的对应点落在边所在直线上时，
如图，当点的对应点落在边所在直线上时，
利用解直角三角形即可解答．
22.【答案】解：过点作交的延长线于，如图：
四边形是菱形，
，
，
，
在中，，，
；
设交于点，过点作交的延长线于，如图：
菱形中，，，，
，
，
在中，，
是菱形的对角线，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，，
，
；
当四边形的面积取最小值时，的值是最小．
理由：设，则，过点作于点，过点作于点，
过点作于点，作于点，过点作交的延长线于，如图：
，，
四边形、是矩形，
，，，，
由可知：，，
，，
，，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
当时，四边形的面积取得最小值．
解法一：
，
，当且仅当时，，
，
当且仅当时，，即当时，的最小值为，
当四边形的面积取最小值时，的值也最小，最小值为．
解法二：
如图：将绕点逆时针旋转至，连接，
在中，，
，，
∽，
，即，
，
即当且仅当点、、三点共线时，的值最小，
此时点为菱形对角线的交点，中点，，，
当四边形的面积取最小值时，的值也最小，最小值为．
【解析】本题是四边形综合题，考查了菱形性质、解直角三角形、割补法求不规则图形面积、二次函数的顶点式及最值等知识点，也考查了从特殊到一般的数学思想和转化思想，难度较大，计算繁琐，解题关键是熟练掌握二次函数性质，是中考常考题型．
过点作交的延长线于，根据菱形中的内角得邻补角是，利用三角函数即可解答；
设交于点，过点作交的延长线于，因为利用求解，所以先解直角三角形求出上面求各部分面积需要的边长即可解答；
设，则，过点作于点，过点作于点，过点作于点，作于点，过点作交的延长线于，所以四边形、是矩形，对边相等，方法同，用含的式子表示计算面积需要的各边长并代入到中，根号里面化简、合并、配成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答．
23.【答案】解：连接，，如图所示：
，
为中点，
，
，
四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形．
作，设，如图所示，
，
四边形是菱形，
，
∽，
，
，
在中，，，
，
，，
在中，，，，
，
即，
整理得：，
解得：，舍去，
．
因点沿线段运动，点沿线段的延长线运动，并且，线段与线段的交点点运动轨迹为线段，运动刚开始时，、、、四点重合，当点与点重合时，点运动到极限位置，所以点轨迹为线段．
如图所示，作，
四边形为菱形，，，
，，
∽，
，即，
，
，
在中，，，
，
，，
在中，，，
，
．
点运动路径的长度为．
【解析】
【分析】
本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据题意表示出相关线段的长度是解题的关键
利用平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
作，设，利用三角形相似，求出此时的长，进而表示出相关线段的长度，再在中，利用勾股定理求解即可，
连接，作，分析出点的运动路径是线段，先在中，求出，，再在中，利用勾股定理求出的长度即可．
24.【答案】解：如图，过点作于点，
，．
，
，
，
线段的长约为；
横截面是一个轴对称图形，
延长交、延长线于点，
连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
点，之间的距离．
【解析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数即可解决问题；
根据横截面是一个轴对称图形，延长交、延长线于点，连接，所以，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
25.【答案】解：四边形内接于，，
，．
作于，于，则四边形是矩形，．
在中，
，，，
．
．
．
，，
．
，
．
在中，
，，
．
【解析】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出以及是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补得出，作于，于，则是矩形，解，得出，，那么再证明，根据互余角的互余函数相等得出
解，即可求出．
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