第二章 直线与圆的位置关系单元测试卷（较易 含解析）

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浙教版初中数学九年级下册第二单元《直线与圆的位置关系》（较易）（含答案解析）
考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，则以为直径的圆与的位置关系是( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法确定
2. 如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的大小等于( )
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与坐标轴的位置关系为( )
A. 与轴相离、与轴相切 B. 与轴、轴都相离
C. 与轴相切、轴相离 D. 与轴、轴都相切
4. 如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点若的半径为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，与的两边分别相切，其中边与相切于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，三个半径为的圆两两外切，且的每一边都与其中两个圆相切，则的周长是 ( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果，，那么弦的长是( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，在中，，，，点在上，以为直径作与相切于点，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，是的内切圆，点，，为切点，，，，则长为( )
A. B. C. D. 无法确定
10. 下列结论中：的内切圆半径为，的周长为，则的面积是；同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；圆内接平行四边形是矩形；无论取何值，方程总有两个不等的实数根其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11. 如图，不等边内接于，是其内心，，，，内切圆半径为( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，已知是的直径，与相切于点，连接，若，则______．
14. 如图，，为边上一点，以为圆心，为半径作，交于，两点，当 时，与相切．
15. 如图，，，是的切线，，，为切点，如果，，则的长为_______．
16. 若的周长为，面积为，则的内切圆半径为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
18. 本小题分
如图，是的直径，为上一点，平分交于点过点作交的延长线于点．
求证：是的切线．
若，，求半径
19. 本小题分
如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，为的直径，是的切线
求证：∽；
若，，求．
20. 本小题分
教材习题变式如图，，，分别与相切于，，，且，，求的长．
21. 本小题分
如图，，分别与相切于，两点，是上任意一点，过点作的切线，分别与，相交于，两点，若，求的周长．
22. 本小题分
如图所示，四边形的边、、、分别与相切于点、、、求证：．
23. 本小题分
如图，已知，平分交于点，请利用尺规作的内心保留作图痕迹，不要求写作法
24. 本小题分
已知在中，．
用尺规作图，作出的内切圆，与边，，分别切于点，，保留作图痕迹；
若，，求此内切圆的半径．
25. 本小题分
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点过作直线．
若，则______；______．
求证：；
求证：是的切线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过点作于点，交于点，
，
，
、分别是、的中点，
，，
，
，
以为直径的圆半径为，
，
以为直径的圆与的位置关系是：相交．
故选：．
首先过点作，根据三角形面积求出的长，进而得出直线与的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是连接，
先根据等腰三角形的性质得所以，根据切线的性质和直角三角形的性质即可求得的度数．
【解答】
解：连接，中，，所以，
因为是的外角，所以，又因为是的切线，所以，在中，，故选C．

3.【答案】
【解析】解：点为圆心，为半径的圆，
则有，，
这个圆与轴相切，与轴相离．
故选：．
本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则该圆与坐标轴相离；若等于半径时，则该圆与坐标轴相切．
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径；与圆相离，圆心到直线的距离大于半径．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．连接，根据菱形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，即可得到结论．
【解答】
解：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选D．
5.【答案】
【解析】解：如图，连接，
边与相切于点，
，
，
与的两边分别相切，，
平分，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：．
如图，连接，先利用切线的性质得到，再利用切线长定理得到平分，则为等腰直角三角形，从而得到．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
6.【答案】
【解析】解：如图．连接、、、、，由题意知，是等边三角形，，是的平分线，
，，
同理，，四边形，，是矩形，，
的周长．
故选B．
从各圆心向边作垂线，由题意知是等边三角形，是的平分线，可求得，；再根据四边形，，是矩形，，从而求得的周长．
本题考查了切线长定理、等边三角形的判定和性质等知识点．
7.【答案】
【解析】解：，为的切线，
，
，
为等边三角形，
．
故选C．
先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
本题考查切线长定理，以及等边三角形的判定和性质．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：是的内切圆，点，，为切点，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据切线长定理可得，，，然后求解即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，主要利用了切线长定理，熟记定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：的内切圆半径为，的周长为，则的面积是，故正确；
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为，故错误；
圆内接平行四边形是矩形；故正确；
方程，
，
无论取何值，总有两个不等的实数根．故正确；
故选：．
利用圆的内切圆的知识，平行四边形的性质，概率，根的判别式的知识，依次判断可求解．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，根的判定式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：延长交于点，连接，，，交于点，
则：，
是内心，
，，
，
，
即：，
，
，，
，
，
，
，
，，
过点作，，，
则：，
，，
≌，
，
，
是内心，
，，，
，
如图：过点作，连接，
设，
则：，
，
即：，
解得：，
，
，
设的半径为，
则：
，
即：，
解得：；
故选：．
延长交于点，连接，，，交于点，利用圆周角定理，以及内心是三角形三条角平分线的交点，证明是等腰三角形，过点作，，，证明≌，得到，利用切线长定理，求出的长，过点作，连接，设，利用勾股定理，求出的高，进而求出的面积，再利用的面积等于的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可．
本题考查三角形的内切圆和内心，熟练掌握内心是三角形角平分线的交点，合理的添加辅助线是解题的关键．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】解：是的直径，与相切于点，
，
，
，
设，，
，
，
，
故答案为：．
根据切线的性质得到，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．
【解答】
解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
为的下半圆弧的中点，
，
，
，
，且是半径，
是的切线；
在中，，
，
不合题意舍去，，
的半径为．
【解析】由等腰三角形的性质和垂径定理可求，可得结论；
由勾股定理可求解．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了垂径定理．
18.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
解：过点作于，
，，
四边形为矩形，
，，
设的半径为，则，
，
，
，
解得．
半径为．
【解析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，构造直角三角形是解题的关键．
根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
过点作于，证明四边形为矩形，设的半径为，由勾股定理列出方程求解．
19.【答案】是切线，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
∽．
在中，，设，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题．
欲证明∽，只要证明即可．
在中，由，设，，利用勾股定理列出方程求出，再利用，得列出方程即可解决问题．
20.【答案】解：，，分别与相切于，，；
，
，
，
，
．
．
【解析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到是直角三角形．再根据勾股定理求出的长．
21.【答案】解：与分别切于、两点，切于，
，，，
的周长．
【解析】由、、、都为的切线，根据切线长定理得到，，，然后把的周长进行等线段代换得到的周长，而，即可得到的周长．
本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两切线的夹角．
22.【答案】证明：四边形的边、、、分别与相切于点、、、，
，，，，
，
，，，，
．
【解析】直接利用切线长定理得出，，，，进而得出答案．
此题主要考查了切线长定理，正确利用切线长定理得出相等的线段是解题关键．
23.【答案】解：如图：
点即为所求．
【解析】作的平分线，交于，则即为的内心．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握三角形内心的概念和用尺规作角平分线的方法．
24.【答案】如图即为所求作的图形．
如图：连接、、，得正方形，
的内切圆，与边，，分别切于点，，，
设此内切圆的半径为，
在中，，，，．
，，，
解得．
答：此内切圆的半径为．
【解析】根据尺规作图作两个角的平分线即可找到内切圆的圆心，进而作出三角形的内切圆；
根据切线长定理和勾股定理即可求解．
本题考查了尺规作图、切线的性质、三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握切线长定理并会运用．
25.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
，
，
，
点是的内心，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：，；
证明：，
，
，
，，
，
，
；
证明：，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
由圆周角定理可得，由三角形的内心的性质可得；
由三角形的内心的性质可得平分，平分，可得，，由外角的性质可得，可证；
由垂径定理可得，由平行线的性质可得，可得结论．
本题考查了三角形内切圆与内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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