第二章 直线与圆的位置关系单元测试卷（困难 含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版初中数学九年级下册第二单元《直线与圆的位置关系》（困难）（含答案解析）
考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，，切于，两点，切于点，交，于，若的半径为，的周长等于，则的值是( )
A. B. C. D.
2. 如图，在中，，，，点是的三等分点，半圆与相切，，分别是与半圆弧上的动点，则的最小值和最大值之和是( )
A. B. C. D.
3. 如图为的直径，点为延长线上的点，过点作的切线，切点为，过、两点分别作垂线、，垂足分为、，连接，则平分；
；若，，则的长为；若，则有其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 如图，在中，，与，分别相切于点，，平分，连接若，的半径是则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5. 如图，与的三边分别相切于点，，，连接，若，，，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 如图，中，，以为直径的交于，交于，交于，点为延长线上的一点且延长交于，小华得出个结论：其中正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，、分别切于点、，是的直径，、的延长线交于点，为的中点，分别交、于点、，若为的中点，则下列结论：与互相垂直平分；为等边三角形；与相似；其中正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且，，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，点在边上不与，重合，点为的内心，则不可能是( )
A. B. C. D.
10. 如图，点为的内心，连接并延长，交的外接圆于点，点为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为( )
B. C. D.
11. 如图，中，，，内心为，连接并延长交的外接圆于，若，则( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，在中，点是的内心，连接，，过点作分别交，于点，已知的周长为，，的周长为，则表示与的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 一个边长为的正它有一个外接圆，我们记为第个圆，它的内切圆记为第个圆；在第个圆内作一个内接正的内切圆，记为第个圆；在第个圆内作一个内接正的内切圆，记为第个圆，，如此作下去，那么第个圆的半径是______．
14. 在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是______．
15. 如图，正方形的边长为，点是边上一点，连接，过点作于点，连接并延长交于点，则的最大值是____．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点点在直线上出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径画，是上一动点，且在第一象限内，过点作的切线与轴相交于点，与轴相交于点．
点在运动时，线段的长度也在发生变化，请写出线段长度的最小值，并说明理由．
在上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．
18. 本小题分
如图，已知点从出发，以个单位长度秒的速度沿轴向正方向运动，以，为顶点作菱形，使点，在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：
点的坐标用含的代数式表示；
当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．
19. 本小题分
如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的与 ，分别交于点，，连接，且．
判断直线与的位置关系，并证明你的结论
若，，，求的半径．
20. 本小题分
如图，点在以为直径的上，平分，且于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
21. 本小题分
在中，．
如图，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点求证：；
在图中作，使它满足以下条件：
圆心在边上；经过点；与边相切．
尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法
22. 本小题分
如图，的直径，、是的切线，在上取一点与不重合，切于，且与交于点，
求证：
设，，求出关于的函数关系式，并指出是何种函数．
23. 本小题分
如图，的半径为，在的对称轴上取一点，使得点在点的下方，过作直线，为直线上的一点，过点作的切线，，切点为，，连接
当时，求的长
连接，当最小时，求的长
试证明点在直线上运动时，弦必过一个定点．
24. 本小题分
如图，在中，，点，分别是的内心和外心，连接，，．
求的度数；
延长至点，使，连接，求证：；
在中，延长至点，使，连接，找出与之间的等量关系，并证明这个结论．
25. 本小题分
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接．
若，求的度数；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．
连接、、，延长交的延长线于点利用切线求得，，，再得出利用∽得出，在中，利用勾股定理求出，再求的值即可．
【解答】
解：连接、、，延长交的延长线于点．
，切于、两点，切于点
，，，，
的周长，
．
在和中，
，
∽．
，
，
在中，
，
解得，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
设与相切于点，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，当在边上时，与重合时，最大值，由此不难解决问题．
【解答】
解：如图，设与相切于点，连接，作垂足为交于，
此时垂线段最短，最小值为，
，，
，
点是的三等分点，
，，
，
与相切于点，
，
，
，
，
最小值为，
如图，当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，
最大值，
长的最大值与最小值的和是．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：连接，，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，即平分，故正确；
为的直径，
，
，，
，
，故正确；
，
，
，
，
的长为，故错误；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，故正确．
故选B．
连接，，可证，得出，由可得，故正确；证明∽，则可得出正确；求出，，则用弧长公式可求出的长为，故错误；由可得，则，得出，由余角的性质可求，则，，故正确．
本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的切线的定义，圆的切线的性质，角平分线的定义与性质，勾股定理，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，正方形的判定与性质，扇形、三角形的面积，熟练应用圆的切线的性质是解题的关键．
连接，，过点作于点，证出是的切线证明四边形为正方形，则，利用勾股定理求得，利用角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余三角形的内角和定理求出圆心角的度数，依据即可求得结论．
【解答】
解：连接，，过点作于点，如图，
为的切线，
．
平分，，，
．
这样，直线经过半径的外端，且垂直于半径，
是的切线；
与，分别相切于点，，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形．
．
，
，
．
由知：，
，
，，
平分，
．
平分，
．
，
，
，
．
．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的概念，解答本题的关键是掌握求三角形内切圆半径的思路与方法；连接、、、、、，过点作于，首先根据切线长定理得出，，，以及的三边长，设，则，
在中，，，在中，，，进一步得出，即，解得，得出的长，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积，设，根据，求出，即，在中，，，，求出，最后证明，得出，根据圆周角定理可得，得出，即可解答．
【解答】
解：连接、、、、、，过点作于，如图：
则，
根据切线的性质可知：，，，
，，，
根据切线长定理可知：，，，
，，，
于，
，
设，则，
在中，，，
在中，，，
，即，解得，
，
，
，
设，
，
，
，
，
在中，，，，
，
在和中，
，
，
根据圆周角定理可得，
，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法．
连结，，由，易得，，然后得出，
即可得出正确；又是直径可得，，得出，然后得出，即可判断出故正确；根据，，判断出中位线，即可得出正确．
【解答】
解：连结，，
，，，，
，，
，，
，即，
为的切线，
由已知得为的切线，
，故正确
是直径，，，
，，
，，
，，故正确
，，
是的中位线，，故正确．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了切线的性质，切线长定理，直角三角形全等判定，直角三角形斜边的中线，相似三角形的判定与性质等知识，分别判断各项即可．
、分别切于点、，切线的性质，切线长定理，可得出，从而判断出结论错误；
由直角三角形斜边的中线可得结论正确；
由结论推导出角的关系，从而得出，可得结论正确；
由直角三角形斜边的中线，得出角的关系，得到，得出比例式可证结论正确．
【解答】
连接，
、分别切于点、，
，，
又，，
，
，
，且平分，但不一定平分，故错误；
在中，为的中点，，
又，，为等边三角形，故正确；
为等边三角形，
，
平分，，
中，，，，
，
又，
，故正确；
连接，
是直角三角形，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，故正确．
正确，
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，证明三角形相似是本题的关键．
连接，，根据是直径，得出，，进而得，依据已知条件得出，证明∽，∽，最后根据勾股定理求得．
【解答】
解：连接，，
为直径，
，
，
，，
，，
，，
，
，
易证∽，
，即，
在中，，
，
，，
易证∽，
可得，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，
，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：在中，
，，
，
为的内心，
，，
，
点在线段上不与、重合，
，
，
，
不可能是．
故选：．
根据三角形的内角和可得，由为的内心，可得，，所以，由点在线段上不与、重合，可得，进而可得．
本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心，
10.【答案】
【解析】解：延长到，使，连接．
是的内心，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
故选：．
延长到，使，连接想办法求出，证明是的中位线即可解决问题．
本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
11.【答案】
【解析】解：如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，，
在中，，，内心为，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
是的内心，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
设的外接圆的圆心为，连接，，，，根据圆周角定理证明是等边三角形，根据垂径定理可得，，然后根据三角形内心证明，进而可以解决问题．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，解决本题的关键是得到是等边三角形．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象、三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的周长等知识；求出与的关系式是解决问题的关键．
由三角形的内心性质和平行线的性质证出，，得出的周长与的关系式为，求出，即可得出答案．
【解答】
解：点是的内心，
，，
，
，，
，，
，，
的周长，
的周长为，，
，
，
，
，
，
，
即与的函数关系式为，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：根据题意画图如下：
设第二个三角形为，正三角形中心为，连接，，
正三角形的中心与内切圆的圆心重合，
点、、为边、、的中点，
由三角形的中位线可得：，
同理可得：下一个正三角形的边长是上一个正三角形边长的一半；
第个正三角形的边长为：，
由图可得，
，
第个正三角形的外接圆半径为：，
故答案为：．
设第二个三角形为，正三角形中心为，连接，，根据正三角形的中心与内切圆的圆心重合，得点、、为边、、的中点，然后根据三角形中位线定理和特殊角三角函数即可解决问题．
本题主要考查了正三角形的性质，三角形中位线的性质，特殊角的三角函数；结合图形找到正三角形的边长规律是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，圆与三边的切点分别为，，，连接，，，
圆是的内切圆，，，，
，，，，
四边形是正方形，
设正方形的边长为，
则，，
根据题意，得
，
解得，
，
，
，
点在以为直径的圆上，如图，
连接，过点作于点，
当点运动到线段上时，取得最小值，
，
，圆的半径，
，
的最小值为．
故答案为：．
圆与三边的切点分别为，，，连接，，，先根据圆是的内切圆，，，，求出正方形的边长为，根据勾股定理可得，连接，过点作于点，当点运动到线段上时，取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心．
15.【答案】
【解析】解：以为直径作圆，因为，所以点在圆上．
当与圆相切时，最大．
此时，．
设，则，，
在中，利用勾股定理可得：
，
解得．
故答案为．
以为直径作圆，当与圆相切时，最大．根据切线长定理转化线段，在利用勾股定理求解．
本题主要考查正方形的性质、切线长定理等．
16.【答案】秒或秒或秒
【解析】
【分析】
本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，推出是等腰直角三角形，，当与轴相切时，如图，与轴和轴都相切时，当点只与轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】
解：设与坐标轴的切点为，
直线与轴、轴分别交于点、，点，
时，，时，，时，，
，，，
，，，
是等腰直角三角形，，
当与轴相切时，
点是切点，的半径是，
轴，，
是等腰直角三角形，
，，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
如图，与轴和轴都相切时，
，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
当点只与轴相切时，
，
，
点的速度为每秒个单位长度，
．
综上所述，则当或或秒时，与坐标轴相切，
故答案为：秒或秒或秒．
17.【答案】解：线段长度的最小值为，理由如下：连接，
切于，
，
取的中点，
则；
当时，最短，
即最短，
此时；
设存在符合条件的点，
如图，设四边形为平行四边形；
，
四边形为矩形，
又，
四边形为正方形，
，；
在中，根据，，
得点坐标为；
如图，设四边形为平行四边形；
，，
，
又，
，
，
轴；
设轴于点，
在中，根据，，
得点坐标为．
符合条件的点的坐标为或．
【解析】本题利用了切线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质求解．
如图，设的中点为，连接，由于是圆的切线，故是直角三角形，所以当与重合时，最短；
分两种情况：如图，当四边形是正方形时，，都是等腰直角三角形，可求得点的坐标为，如图，可求得，由于，故是等腰直角三角形，可求得点的坐标为．
18.【答案】解：过作轴于．
，
，
，．
点的坐标为．
当与相切时如图，切点为，此时．
，
，
．
当与，即与轴相切时如图，则切点为，．
过作于，则．
，
．
当与所在直线相切时如图，设切点为，交于，则．
，
．
过作轴于，则．
，
化简，得，
解得．
，
．
所求的值是，和．
【解析】过向轴引垂线，利用三角函数求出相应的横纵坐标；
与菱形的边所在直线相切，则可与相切；或与相切；或与相切，应分情况探讨．
四边形所在的直线和圆相切，那么与各边都有可能相切；
注意特殊三角函数以及勾股定理的应用．
19.【答案】 直线与相切．
证明：连接，
四边形是矩形，
，
．
，
．
，
．
四边形是矩形，
，
，
，
，
即．
为半径，
直线与相切．
四边形是矩形，
．
在中，，
．
四边形是矩形，
．
在中，，
．
设的半径为，
在中，，即，
解得，即的半径是．

【解析】
【分析】
本题主要考查切线的判定和性质，勾股定理以及矩形的性质，掌握切线的判定方法是解题的关键．
连接，利用等腰三角形的性质，平行线的性质推出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可得出结论；
先利用勾股定理求出，的长度，设的半径为，在中，利用勾股定理列式，计算求出即可．
20.【答案】证明：如图中，连接．
，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，过点作于点，
得矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
的半径为．
【解析】连接只要证明，由，即可推出；
过点作于点，得矩形，然后利用勾股定理即可求出半径的长．
此题主要考查了切线的性质与判定，解决本题的关键是掌握切线的判定．
21.【答案】解：证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
如图所示为所求．
作平分线交于点，
作的垂直平分线交于，以为半径作圆，
即为所求．
证明：在的垂直平分线上，
，
，
又平分，
，
，
，
，
，
与边相切．
【解析】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，
连接，可证得，结合平行线的性质和圆的特性可求得，可得出结论；
由可知切点是的角平分线和的交点，圆心在的垂直平分线上，由此即可作出．
22.【答案】解：证明：连结，
、是的切线，
，，
在和中
≌，
，
、也是的切线，
，，
在和中
≌，
，
，
如图，作交于，设，，
、与切于点定、，
，．
又，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
切于，
，，
则，
在中，
由勾股定理得：，
整理为：，
与的函数关系式是，是反比例函数．
【解析】此题考查了切线的性质，切线长定理，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理，函数关系式等．
可先连接，根据切线长定理，切线性质可证明≌和≌，进而得到角的关系得到，，进而得到；
根据切线长定理得到，，则，在直角中根据勾股定理，就可以求出与的关系．
23.【答案】解：连接、，如图：
当时，，
、是的两条切线，
，，
在中，，，，
，
；
连接、、，如图：
、是的两条切线，
垂直平分线段，，，
，，
，
又，
，
在中，，，，
是直线上一点，根据垂线段最短可知，、两点重合时，最短，的最小值为的长，
的最小值为，此时有最小值，有最小值，
此时的最小值为，
，
当最小时，的长为；
证明：设弦交于，连接、，如图：
在中，，，
，
、是的两条切线，
垂直平分线段，，
，
在四边形中，，
，
又，
，
，
在中，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点在直线上运动时，弦必过一个定点，且．
【解析】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数的概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法．
当时，利用勾股定理求出，根据切线长定理可得，，在中，，，，利用勾股定理求出，得出即可；
连接、、，根据切线的性质和切线长定理得出垂直平分线段，，，利用三角形的面积公式得出，，，，再根据，得出，在中，，根据垂线段最短可知，、两点重合时，最短，的最小值为的长，为，此时有最小值，有最小值，的最小值为，再根据即可；
设弦交于，连接、，在中，可得，根据切线长定理可得垂直平分线段，，，根据四边形的内角和可得，再根据邻补角的概念可得，进一步得出，所以，在中，，求出，然后证明得出，求出，，即可得出点在直线上运动时，弦必过一个定点，且．
24.【答案】解：点是的内心，
，．
．
．
，
是底边为的等腰三角形．
又是的内心，
平分．
．
．
证：延长交于点，连接、、，
．
又，
由知，是的中垂线，
．
是等腰直角三角形．
．
同理 ，．
延长至点，使，连接，，
是直角三角形外心，
，
四边形是平行四边形．
，．
．
．
．
在和中，
≌．
．

【解析】本题主要考查三角形内心和外心的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
根据内心的性质得出，，再由三角形内角和定理得出结论；
先证是底边为的等腰三角形，再由等腰三角形的性质得出结论；
延长交于点，连接、、，证出是等腰直角三角形；延长至点，使，连接，，
得出四边形是平行四边形，推出，再证和全等，即可解答．
25.【答案】解：是的内心，
平分，平分，平分．
，
，
，
，
，
；
证明：点是的内心，
，，
由圆周角定理得，，
，，
，
．
【解析】由点是的内心可得平分，平分，平分，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求出的度数；根据三角形内角和得到，利用三角形外角的性质得到，进而求出的度数；
根据内心的性质，三角形内角和定理证明．
本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，三角形的内心的概念，三角形的外角的性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)