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浙教版八下第二章一元二次方程培优讲义（难）教师版
考点一：根的判别式
1．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，然后求出两不等式的解集的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，
解得k≥且k≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据方程有实数根得出△≥0且m﹣5≠0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣5）×2≥0且m﹣5≠0，
解得：m≤5.5且m≠5，
m的最大整数解为4，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
4．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1＝0有根且只有整数根的一切有理数r的值有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定
【分析】由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r≠0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．
【解答】解：（1）若r＝0，x＝，原方程无整数根；
（2）当r≠0时，x1+x2＝﹣，x1x2＝；
消去r得：4x1x2﹣2（x1+x2）+1＝7，
即（2x1﹣1）（2x2﹣1）＝7，
∵7＝1×7＝（﹣1）×（﹣7），
∴①，解得，
∴1×4＝，解得r＝﹣；
②，解得；
同理得：r＝﹣，
③，解得，r＝1，
④，解得，r＝1．
∴使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1＝0有根且只有整数根的r值是﹣或1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．
5．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
【分析】根据根的判别式，一元二次方程有两个相等或不相等的实数根时，b2﹣4ac≥0．
【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0
当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0
所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是用特殊值法．
6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
考点二：整体思想
1．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a+的值为 2012 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2013a+1＝0，则a2＝2013a﹣1，然后把a2＝2013a﹣1代入原式可化简得原式＝a+﹣1，然后通分后再次代入后化简即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2013a+1＝0，
∴a2＝2013a﹣1，
∴原式＝2013a﹣1﹣2012a+＝a+﹣1
＝﹣1
＝﹣1
＝2013﹣1
＝2012．
故答案为：2012．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2．已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为 ﹣1 ．
【分析】根据方程解的含义，已知m．n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，所以m2+2007m﹣2009＝0①，n2+2007n﹣2009＝0②，将①②变形代入所求代数式即可．
【解答】解：∵m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，
∴m2+2007m﹣2009＝0，n2+2007n﹣2009＝0，
∴m2+2007m＝2009，n2+2007n＝2009，
∴（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）＝（2009﹣2008）（2009﹣2010）＝﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程解的意义，考试时常常利用方程解的意义来求代数式的值．
3．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为 2019 ．
【分析】因为a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a2﹣a＝1，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据条件得a2﹣a＝1，然后整体代入求值是解题的关键．
4．已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝ ﹣2017 ．
【分析】由方程的根的定义得a2﹣2017a＝﹣1、a2+1＝2017a，代入原式＝a（a2﹣2017a）﹣逐步化简可得．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2017a+1＝0，即a2﹣2017a＝﹣1，a2+1＝2017a，
则原式＝a（a2﹣2017a）﹣
＝﹣a﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣2017，
故答案为：﹣2017．
【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．
5．设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，则＝ 8 ．
【分析】利用一元二次方程的解的意义得到m2﹣3m+1＝0，两边除以m得到m+＝3，再把原式变形得到原式＝m2+1+＝（m+）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m+＝3，
∴原式＝m2+1+
＝（m+）2﹣2+1
＝9﹣2+1
＝8．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为 21 ．
【分析】将a代入方程可得a2﹣3a+1＝0，a2＝3a﹣1，a2+1＝3a，1＝3a﹣a2，可得a3+＝a（3a﹣1）+＝3a2﹣a+＝3（3a﹣1）﹣a+＝9a﹣3﹣a+24﹣8a，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴a2﹣3a+1＝0，a2＝3a﹣1，a2+1＝3a，1＝3a﹣a2，
∴a3+
＝a（3a﹣1）+
＝3a2﹣a+
＝3（3a﹣1）﹣a+
＝9a﹣3﹣a+24﹣8a
＝21．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是求出a2＝3a﹣1，a2+1＝3a，1＝3a﹣a2，利用整体法代值计算，此题难度较大．
7．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0
【分析】将方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0变形为a（x+m﹣1）2+b＝0，再结合关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1知方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，从而得出答案．
【解答】解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
【分析】根据已知方程的解得出x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，求出x即可．
【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1是解此题的关键．
考点三：韦达定理
1．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 ．
【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴+＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键．
2．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 2018 ；
【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，
∴a2+a＝2019，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，
故答案为：2018．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b＝﹣1和a2+a＝2019是解此题的关键．
3．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为 11 ．
【分析】由根与系数的关系可知：α+β＝，α β＝2，而2α2+β2+β﹣3＝2α2+β2+（α+β）β﹣3＝2（α2+β2）+αβ﹣3＝2（α+β）2﹣3αβ﹣3，然后把前面的值代入即可求出其值．
【解答】解：由根与系数的关系可知：
α+β＝，α β＝2，
而2α2+β2+β﹣3
＝2α2+β2+（α+β）β﹣3
＝2（α2+β2）+αβ﹣3
＝2（α+β）2﹣3αβ﹣3
＝2×10﹣3×2﹣3
＝11．
故填空答案：11．
【点评】灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键，特别是α+β＝这个式子的转换．
4．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 m＝1或m＞2 ．
【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．
当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；
当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；
当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，
[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，
∴x1＝，x2＝．
∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2．
综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．
故答案为：m＝1或m＞2．
【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况讨论求解．
5．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是 .
【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y＝ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x＝1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．
【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且Δ＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得﹣＜a＜，
∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
即9++1＜0，
解得＜a＜0，
最后a的取值范围为：＜a＜0．
方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，
由于方程的两根一个大于1，一个小于1，
∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，
当a＞0时，x＝1时，y＜0，
∴a+（a+2）+9a＜0，
∴a＜﹣（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x＝1时，y＞0，
∴a+（a+2）+9a＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
6．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 3 ．
【分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，
∴Δ＝4+4a，
∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x＝＝1±，
∵a＞﹣1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故答案为3．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，
③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，
若x1＝2x2，则，＝×2，
即，﹣×2＝0，
∴＝0，
∴＝0，
∴3＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，×2＝，
即，则，×2﹣＝0，
∴＝0，
∴﹣b+3＝0，
∴b＝3，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
8．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0
（1）k取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|＝x2，求k的值．
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）|x1|＝x2，即方程的两根相等或互为相反数，当两根相等时判别式Δ＝0；当方程的两根互为相反数时，两根的和是0，利用根与系数的关系可以得到关于k的方程，然后解方程即可求出k的值．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（k2+1）＝2k﹣3，
∵△≥0，即2k﹣3≥0，
∴k≥，
∴当k≥时，方程有两个实数根；
（2）由|x1|＝x2，
①当x1≥0时，得x1＝x2，
∴方程有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即2k﹣3＝0，k＝．
又当k＝时，有x1＝x2＝＞0
∴k＝符合条件；
②当x1＜0时，得x2＝﹣x1，
∴x1+x2＝0
由根与系数关系得k+1＝0，
∴k＝﹣1，
由（1）知，与k≥矛盾，
∴k＝﹣1（舍去），
综上可得，k＝．
【点评】解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根；
（4）x1+x2＝﹣；
（5）x1 x2＝．
9．已知关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：，解可得答案；
（2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是＝0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，（2分）
∴且k≠0；（3分）
（2）假设存在，根据一元二次方程根与系数的关系，
有x1+x2＝＝0，即；（4分）
但当时，Δ＜0，方程无实数根（5分）
∴不存在实数k，使方程两根互为相反数．（6分）
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝2，求k的值．
【分析】（1）分k＝0与k≠0两种情况进行分类讨论；
（2）先用k表示出x的值，再根据|x1﹣x2|＝2即可得出k的值．
【解答】（1）证明：k＝0时，方程为x﹣2＝0，方程有实数根．
k≠0时，方程为一元二次方程，
Δ＝（3k﹣1）2﹣8k（k﹣1）
＝k2+2k+1＝（k+1）2
∵（k+1）2≥0，
∴一元二次方程有实根，
∴无论k为任何实数，方程总有实根．
（2）解方程 kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0
得：x＝，即x1＝2，x2＝．
∵|x1﹣x2|＝2，
∴2﹣＝2或﹣2＝2，
∴k＝1或k＝﹣．
∴k的值为1或﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝2，找出关于k的一元二次方程．
11．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，利用α2+β2﹣αβ＝6得到（α+β）2﹣3αβ＝6，则（2m﹣1）2﹣3m2＝6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）存在．
根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，反过来也成立．也考查了根的判别式．
考点四：配方法的运用
1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求x﹣y的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求边c的最大值；
（3）若已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a﹣b+c的值．
【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b＝4，得到a＝b+4，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
【解答】解：（1）x2+2xy+2y2+2y+1＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，
∴（x+y）2+（y+1）2＝0，
∴（x+y）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x+y＝0，y+1＝0，
∴x＝1，y＝﹣1，
∴x﹣y＝2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∵三角形两边之和＞第三边，
∴c＜a+b，c＜3+4，
∴c＜7，
又∵c是正整数，
∴△ABC的最大边c的值4，5，6；
（3）∵a﹣b＝4，即a＝b+4，代入得：
（b+4）b+c2﹣6c+13＝0，
（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
（b+2）2+（c﹣3）2＝0，
∴b+2＝0，c﹣3＝0，
∴b＝﹣2，c＝3，a＝2，
∴a﹣b+c＝7．
【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．【阅读材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解决问题】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2021的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
【分析】（1）将61拆分为25和36，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出b、c的值，再根据三角形三边关系解答．
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，
将61拆分为25和36，可得
（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，
根据完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，
∴m+5＝0，n﹣6＝0，
∴m＝﹣5，n＝6，
∴（m+n）2021＝（﹣5+6）2021＝1．
（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，
将61拆分为25和36，可得
b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，
根据完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，
（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，
∴b＝4，c＝2．
∵a是△ABC中最长的边，
∴4≤a＜6，即a的取值范围为4≤a＜6．
【点评】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
3．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求2x﹣y的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
【分析】（1）由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+1可拆分常数项、一次项两种不同形式；
（2）通过配方后，求得x，y的值，再代入代数式求值．
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．
【解答】解：（1）x2﹣4x+1的两种配方分别为：
x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
x2﹣4x+1＝（x﹣1）2﹣2x；
（2）由x2+y2﹣4x+6y+13＝0得：x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0
解得：x＝2，y＝﹣3
∴2x﹣y＝4+3＝7；
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4
＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）
＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）
＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0，
从而有a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，
即a＝1，b＝2，c＝1，
故a+b+c＝4．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：因为x2﹣4x+6＝（x ﹣2 ）2+ 2 ；所以当x＝ 2 时，代数式x2﹣4x+6有最 小 （填“大”或“小”）值，这个最值为 2 ．
（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．
【分析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；
（2）利用求差法和配方法解答即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
所以当x＝2时，代数式x2﹣4x+6有最小值，这个最值为2，
故答案为：﹣2；2；2；小；2；
（2）x2﹣1﹣（2x﹣3）
＝x2﹣2x+2；
＝（x﹣1）2+1＞0，
则x2﹣1＞2x﹣3．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．
5．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2 x 3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2 x 2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ﹣10 ；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
【分析】（Ⅰ）根据配方的过程求得a、b的值代入求值即可；
（Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；
（Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2 x 2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，
∴a＝2，b＝﹣5，
∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．
故答案是：﹣10；
（Ⅱ）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2 x k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，
∴﹣k2+7＝2，
解得k＝±2．
【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
6．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
通过对实数的学习，我们知道x2≥0，根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，所以完全平方公式的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+8x﹣3的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式＝2（x2+4x）﹣3
＝2（x2+2x 2+22﹣22）﹣3
＝2（x+2）2﹣11
∵2（x+2）2≥0
∴2（x+2）2﹣11≥0﹣11，且x＝﹣2时，2（x+2）2﹣11的值最小，为﹣11
请根据上面的解题思路，解答下列问题：
（1）求多项式3x2﹣6x+2的最小值是多少，并写出对应的x的值；
（2）多项式4﹣x2+2x的最大值；
（3）求多项式x2+2x+y2﹣4y+9的最小值．
【分析】（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；
（3）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
【解答】解：（1）3x2﹣6x+2
＝3（x2﹣2x）+2
＝3（x2﹣2x+1﹣1）+2
＝3（x﹣1）2﹣1，
∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2的值为非负数，
∴（x﹣1）2的最小值为0，此时x＝1，
∴3（x﹣1）2﹣1的最小值为﹣1；
则当x＝1时，原多项式的最小值是﹣1；
（2）同（1）得：4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，
∵无论x取什么数，都有（x﹣1）2的值为非负数，
∴（x﹣1）2的最小值为0，此时x＝1，
∴﹣（x﹣1）2+5的最大值为：﹣0+5＝5，
则当x＝1时，原多项式的最大值是5．
（3）同（1）得：x2+2x+y2﹣4y+9＝（x+1）2+（y﹣2）2+4，
当（x+1）2＝0，（y﹣2）2＝0时，多项式x2+2x+y2﹣4y+9的最小值为4．
【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式．
7．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．
（2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由．
知识迁移：
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
【分析】（1）利用“配方法”计算即可；
（2）两式相减，差和0比较，确定大小；
（3）S＝大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+12，
∴y＝（x﹣3）2+3，
∴y的最小值为3；
（2）3x2﹣x+2﹣（2x2+3x﹣6）
＝3x2﹣x+2﹣2x2﹣3x+6
＝x2﹣4x+8
＝（x﹣2）2+4
∵（x﹣2）2+4＞0
∴3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6；
（3）根据题意可得：
S＝S△ABC﹣S△PQC，
S＝×4×3﹣（4﹣2t）t，
S＝6﹣2t+t2，
S＝（t﹣1）2+5，
∴S的最小值为5．
【点评】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法．
8．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 10＝12+32 ；
（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝ ﹣2 ；
探究问题：
（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝ ﹣2 ；
（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（5）已知实数x、y满足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．
【分析】解决问题：
（1）把10拆成两个两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出mn的值；
探究问题：
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值；
（4）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
拓展结论：
（5）等式表示出y，代入x﹣2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：解决问题：
（1）根据题意得：10＝12+32；
故答案为：10＝12+32；
（2）根据题意得：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1
m＝2，n＝﹣1；
mn＝﹣2
探究问题：
（3）已知等式变形得：（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，
即（x﹣1）2+（y+32＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
得：x＝1，y＝﹣3
则x+y＝1﹣3＝﹣2
故答案为﹣2，
（4）当k＝8，S为“完美数”，理由如下：
S＝x2+9y2+4x﹣12y+9，
＝（x2+4x+4）+（9y2﹣12y+4），
＝（x+2）2+（3y﹣2）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，3y﹣2也是整数，
∴S是一个“完美数”；
拓展结论：
（5）∵﹣x2+x+y﹣2＝0，
∴﹣y＝﹣x2+x﹣2，即﹣3y＝﹣3x2+7x﹣6，
5x﹣3y＝5x﹣3x2+7x﹣6，
＝﹣3（x﹣2）2+6，
当x＝2时，5x﹣3y最大，最大值为：6．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2﹣ac＝0；我们记“K＝b2﹣ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是 ② （填序号即可）；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）关于x的一元二次方程x2﹣n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中K的值，由此即可得出结论；
（2）将方程（x﹣2）（mx+n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出K＝0，整理后即可得出4m2+5mn+n2的值；
（3）根据方程x2﹣n＝0（m≥0）是倍根方程即可得出m、n之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出m、n之间的关系，进而即可求出m、n的值，此题得解．
【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）2﹣×1×（﹣2）＝10≠0；
在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）2﹣×1×8＝0．
∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．
故答案为：②．
（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，
∴K＝（n﹣2m）2﹣m （﹣2n）＝0，
∴4m2+5mn+n2＝0．
（3）∵是倍根方程，
∴，
整理得：m＝3n．
∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，
∴n＝3m﹣8，
∴n＝1，m＝3，
∴此方程的表达式为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键．
考点五：一元二次方程的应用
1．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？
【分析】（1）若鸡场面积150平方米，求鸡场的长和宽，关键是用一个未知数表示出长或宽，并注意去掉门的宽度；
（2）求二次函数的最值问题，因为a＜0，所以当（x﹣）2＝0时函数式有最大值．
【解答】解：（1）设宽为x米，则：x（33﹣2x+2）＝150，
解得：x1＝10，x2＝（不合题意舍去），
∴长为15米，宽为10米；
（2）设面积为w平方米，则：W＝x（33﹣2x+2），
变形为：W＝﹣2（x﹣）2+
故鸡场面积最大值为＜200，即不可能达到200平方米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，一面靠墙矩形面积求法，以及二次函数最值问题，题目比较典型，是中考中热点问题．
2．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，然后可得另两面则为（26﹣2x+2）米，然后利用其面积为80列出方程求解即可；
（2）设小路的宽为a米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米
根据题意得：x（28﹣2x）＝80
整理得：x2﹣14x+40＝0
解得x＝4或x＝10，
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）
当x＝10时，28﹣2x＝8＜12
∴长为10米，宽为8米．
（2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，
a2﹣14a+13＝0，
解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，
答：小路的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
3．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．
（1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x为多少米？
（2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？
（3）已知a＝28，b＝14，要在场地上修筑宽为2米的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），使草坪地的总面积为120平方米，则m2+n2＝ 32或68或82 （直接写出答案）．
【分析】（1）根据四块草坪的面积和为312平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由a：b＝2：1可得出a＝2b，根据四块草坪的面积和为312平方米，即可得出关于b的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）根据草坪地的总面积为120平方米，即可得出（14﹣n）（7﹣m）＝30，由m，n为常数结合30＝2×3×5，即可得出结论．
【解答】解：（1）四块矩形场地可合成长为（26﹣x）米，宽为（15﹣x）米的矩形．
依题意，得：（26﹣x）（15﹣x）＝312，
整理，得：x2﹣41x+78＝0，
解得：x1＝2，x2＝39（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽x为2米．
（2）四块矩形场地可合成长为（2b﹣2）米，宽为（b﹣2）米的矩形．
依题意，得：（2b﹣2）（b﹣2）＝312，
整理，得：b2﹣3b﹣154＝0，
解得：b1＝14，b2＝﹣11（不合题意，舍去），
∴a＝2b＝28．
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米．
（3）草坪可合成相邻两边分别为（28﹣2n）米、（14﹣2m）米的矩形，
依题意，得：（28﹣2n）（14﹣2m）＝120，
即（14﹣n）（7﹣m）＝30．
∵30＝2×3×5，
∴当7﹣m＝2时，m＝5，n＝﹣1，不合题意，舍去；
当7﹣m＝3时，m＝4，n＝4；
当7﹣m＝5时，m＝2，n＝8；
当7﹣m＝6时，m＝1，n＝9．
∴m2+n2＝32或68或82．
故答案为：32或68或82．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及因数倍数，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将30分解质因数．
4．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；
（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a＝；
故答案为：
（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x ＝2430，
解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）．
答：中间通道的宽度为2米．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
5．某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出：
A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．
B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格．
注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价．
（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．
①B类果酱有 （20﹣x） 吨；
②A类水果所获得总利润为 （﹣x2+10x） 万元；
③B类果酱所获得总利润为 （2x2﹣57x+328） 万元．
（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？
（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）①根据题意可得答案；
②根据总利润＝每吨的利润×数量可得答案；
③根据总利润＝总售价﹣总费用可得答案；
（2）根据题意列出方程，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24，解方程可得答案；
（3）设两类水果总利润的和为w万元，得出w关于x的关系式，再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）①B类果酱有（20﹣x）吨；
故答案为：（20﹣x）；
②A类水果所获得总利润为（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x，
故答案为：（﹣x2+10x）；
③设B类水果每吨销售价格为z元，
∵A类水果每吨所获利润为（﹣x+10）元，
根据题意可知，＝2×，解得z＝﹣2x+23，
∴B类水果所获总利润为：（﹣2x+23﹣3）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝2x2﹣57x+328；
故答案为：（2x2﹣57x+328）；
（2）由题意得，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24，
解得x1＝16（舍），x2＝，
∴20﹣＝（吨），
答：A类水果有吨，B类水果有吨；
（3）设两类水果总利润的和为w万元，
则w＝（2x2﹣57x+328）+（﹣x2+10x）＝x2﹣47x+328，
∵w≥48，
∴x2﹣47x+328≥48，
∴0＜x≤7或x≥40（舍），
∴x的取值范围为0＜x≤7．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．
6．某汽车销售公司2月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：
若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．
（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？
（2）如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利＝销售利润+返利）
【分析】（1）根据若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，得出该公司当月售出7辆汽车时，则每辆汽车的进价为：30﹣0.1×（7﹣1），即可得出答案；
（2）利用设需要售出x辆汽车，由题意可知，每辆汽车的销售利润，列出一元二次方程．
【解答】解：（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为：30﹣0.1×（7﹣1）＝29.4万元
（2）设需要售出x辆汽车，
由题意，[31﹣（30.1﹣0.1x）]x+0.5x＝12，
整理，得x2+14x﹣120＝0，
解这个方程，得x1＝﹣20（不合题意，舍去），x2＝6．
答：需要售出6辆汽车．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．
7．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元，那么每月就可以多售出50个．
（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？
（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？
（3）在2销售过程中，销量好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可求出值；
（2）设每个学习机应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意得：60×（360﹣280）＝4800（元），
则降价前商场每月销售学习机的利润是4800元；
（2）设每个学习机应降价x元，
由题意得：（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，
解得：x＝8或x＝60，
由题意尽可能让利于顾客，x＝8舍去，即x＝60，
则每个学习机应降价60元；
（3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，
根据题意得：（360﹣60+y﹣280）[5（60﹣y）+60]＝10580，
方程整理得：y2﹣52y+676＝0，
解得：y1＝y2＝26，
则应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
8．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．
【分析】（1）设打x折销售，根据利润率＝≥10%，列方程可得结论；
（2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价3m%，每天可多销售m%，依此列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
由题意得：≥10%，
x≥8.8，
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49，
m2﹣5m﹣6＝0，
m1＝6，m2＝﹣1（舍）．
【点评】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程与不等式，再求解．
9．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
【点评】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
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浙教版八下第二章一元二次方程培优讲义（难）学生版
考点一：根的判别式
1．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
3．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1＝0有根且只有整数根的一切有理数r的值有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定
5．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
考点二：整体思想
1．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a+的值为 ．
2．已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为 ．
3．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为 ．
4．已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝ ．
5．设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，则＝ ．
6．若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为 ．
7．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0
8．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
考点三：韦达定理
1．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 ．
2．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 ；
3．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为 ．
4．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
5．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是 .
6．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为 ．
7．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
8．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0
（1）k取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|＝x2，求k的值．
9．已知关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
10．已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝2，求k的值．
11．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
考点四：配方法的运用
1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求x﹣y的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求边c的最大值；
（3）若已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a﹣b+c的值．
2．【阅读材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解决问题】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2021的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
3．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求2x﹣y的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：因为x2﹣4x+6＝（x ）2+ ；所以当x＝ 时，代数式x2﹣4x+6有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ．
（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．
5．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2 x 3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2 x 2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
6．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
通过对实数的学习，我们知道x2≥0，根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，所以完全平方公式的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+8x﹣3的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式＝2（x2+4x）﹣3
＝2（x2+2x 2+22﹣22）﹣3
＝2（x+2）2﹣11
∵2（x+2）2≥0
∴2（x+2）2﹣11≥0﹣11，且x＝﹣2时，2（x+2）2﹣11的值最小，为﹣11
请根据上面的解题思路，解答下列问题：
（1）求多项式3x2﹣6x+2的最小值是多少，并写出对应的x的值；
（2）多项式4﹣x2+2x的最大值；
（3）求多项式x2+2x+y2﹣4y+9的最小值．
7．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．
（2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由．
知识迁移：
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
8．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 ；
（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝ ；
探究问题：
（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝ ；
（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（5）已知实数x、y满足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．
9．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2﹣ac＝0；我们记“K＝b2﹣ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）关于x的一元二次方程x2﹣n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．
考点五：一元二次方程的应用
1．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？
2．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
3．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．
（1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x为多少米？
（2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？
（3）已知a＝28，b＝14，要在场地上修筑宽为2米的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），使草坪地的总面积为120平方米，则m2+n2＝ （直接写出答案）．
4．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
5．某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出：
A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．
B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格．
注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价．
（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．
①B类果酱有 吨；
②A类水果所获得总利润为 万元；
③B类果酱所获得总利润为 万元．
（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？
（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．
6．某汽车销售公司2月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：
若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．
（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？
（2）如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利＝销售利润+返利）
7．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价10元，那么每月就可以多售出50个．
（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？
（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？
（3）在2销售过程中，销量好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．
8．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．
9．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
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