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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 尖子生测试卷1（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知关于 的方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，方程无解
B．当 时，方程有一个实数解
C．当 时，方程有两个相等的实数解
D．当 时，方程总有两个不相等的实数解
【答案】C
【解析】当 时，方程为一元一次方程 有唯一解。
当 时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：
∵ ，
∴当 时，方程有两个相等的实数解，当 且 时，方程有两个不相等的实数解。综上所述，说法C符合题意。
故答案为：C。
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴a≠0，≥0时，方程有实数根；
∴，
解得：a≤1，
∴且，
故答案为：D
3．关于 的方程 的解是 ， 均为常数， ，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】 关于 的方程 的解是 ， ， 均为常数， ，
把 当做第一个方程中的 ，则方程 可变形为
则 或 ，
解得 ， .
方程 的解是 ， ，
故答案为：B.
4．如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）cm
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】设该有盖纸盒的高为
根据题意，得纸盒盖面积为：
∵纸盒盖面积为
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∴该有盖纸盒的高为1cm
故答案为：D.
5．已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，其中a≠b．则以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解
D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取-1
【答案】D
【解析】A、∵方程甲有两个不相等的实数解，a≠b
∴△=4b2-4a2＞0
∴4b2＞4a2；
∵ 方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，
∴△=4a2-4b2＜0，
∴方程乙没有实数解 ，故A不符合题意；
B、∵方程甲有两个相等的实数解，a≠b，
∴△=4b2-4a2=0
∴4b2=4a2；
方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程 ，
∴△=4a2-4b2=0，
∴方程乙有两个相等的实数根，
∴若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解，故B不符合题意；
C、∵若x=1是方程甲的解，
∴a+2b+a=0，
∴a+b=0即a=-b；
∴方程乙： bx2-2bx+b=0
∵b≠0
∴x1=x2=1，
∴x=1也是方程乙的解，
∴若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解，故C不符合题意；
D、∵x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，
∴
由①-②得
（a-b）n2-2（a-b）n+a-b=0
∵a≠b
∴n2-2n+1=0
解之：n1=n2=1，
∴n的值可以取1，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
6．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：，边长为11，故得的正数解为.小明按此方法解关于的方程时，构造出同样的图形.已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程可变形为，将四个长为，宽为的长方形纸片（面积均为n）拼成一个大正方形，由题意可知大正方形的面积=4n+m2，小正方形的面积= m2，
∵大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，
∴10=4n+m2，4= m2，
根据题意m、n为正数，解得，.
故答案为：A.
7．设|x2+ax|＝4只有3个不相等的实数根，则a的值和方程的某一个根可能是（ ）
A．a＝4，x＝2+2 B．a＝4，x＝2
C．a＝﹣4，x＝2﹣2 D．a＝﹣4，x＝﹣2
【答案】C
【解析】∵|x2+ax|＝4，
∴x2+ax﹣4＝0①或x2+ax+4＝0②，
方程①②不可能有相同的根，
而原方程有3个不相等的实数根，
∴方程①②中有一个有等根，
而Δ1＝a2+16＞0，
∴△2＝a2﹣16＝0，
∴a＝±4，
当a＝4时，原方程为x2+4x﹣4＝0或x2+4x+4＝0，
原方程的解为：x＝﹣2或﹣2±2 ；
当a＝﹣4时，原方程为x2﹣4x﹣4＝0或x2﹣4x+4＝0，
原方程的解为：x＝2或2±2 ；
故答案为：C.
8．已知x>y>0，且，则=( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴2x2-4xy-y2=0，
∴=0，
设=m，
∴2m2-4m-1=0，
∴（m-1）2=，
∴m=或m=（不符合题意，舍去），
∴=，
故答案为：A.
9．定义：是一元二次方程的倒方程.则下列四个结论：
①如果x＝2是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无实数根，则它的倒方程也无实数根；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①的倒方程为+2x+1＝0，
将x=2代入+2x+1＝0中，得4c+5=0，
解得：，故①正确；
②∵ac＜0，
∴两个方程都是一元二次方程，它们的判别式都是，
当ac＜0时，＞0，
故这两个方程都有两个不相等的实数根，故②正确；
③如果一元二次方程﹣2x+c＝0无实数根时，
则，即ac＞1，
那么它的倒方程－2x+a＝0也是一元二次方程，
判别式为，
∴它的倒方程也无解，故③正确；
④如果一元二次方程+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则＞0，
它的倒方程+bx+a＝0，
当b≠0，c=0时是一元一次方程，只有一个实数解，
所以如果一元二次方程+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程不一定也有两个不相等的实数根，故④错误，
综上，正确的有①②③，共3个，
故答案为：C.
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则常数k的取值范围是 .
【答案】 且
【解析】由题意得：1 2k≠0即k≠ ，
k+1≥0，即k≥ 1，
△=b2 4ac=( 2 )2 4×(1 2k)×( 1)=8 4k>0，
∴k<2，
故答案为： 且 .
12．对于实数m，n，先定义一种断运算“ ”如下： ，若 ，则实数x的值为 .
【答案】3
【解析】当x≥－2时，x2+x－2=10，
解得：x1=3，x2=－4（不合题意，舍去）；
当x＜－2时，（－2）2+x－2=10，
解得：x=8（不合题意，舍去）；
∴x=3.
故答案为：3.
13．已知关于x的方程ax2-bx-c=0(a≠0)的系数满足a-b-c=0，且4a+2b-c=0，则该方程的根是
【答案】x1=1，x2=-2
【解析】把x=1代入方程ax2-bx-c=0，得出a-b-c=0，
把x=-2代入方程ax2-bx-c=0，得出4a+2b-c=0，
∴该方程的根是x1=1，x2=-2.
故答案为：x1=1，x2=-2.
14．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6-a=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是
【答案】10
【解析】∵一元二次方程x2+（a+2）x+6-a=0有两个相等的实数根，
∴△=（a+2）2-4（6-a）=0，
∴a2+8a-20=0，
∴（a-2）（a+10）=0，
∴a=2或a=-10（不符合题意，舍去），
∵△ABC是等腰三角形， 三条边长分别为4，a，b，
∴b=4或b=2（不能构成三角形，舍去） ，
∴△ABC的周长=4+4+2=10.
故答案为：10.
15．已知方程 ，则 的值为 ．
【答案】3
【解析】∵ ，
∴，
∴ 或，
∴ 或（舍去），
∴.
故答案为：3.
16．如图，将长方形沿图中虚线剪成四块图形(图中的x，y，x-y是相应线段的长度)，用这四块图形恰能拼成一个正方形，若y=2，则正方形的面积为
【答案】2+6
【解析】根据题意得正方形的边长为（x-y+y）=x，
∴x2=y（x+y），
∵y=2，
∴x2-2x=4，
∴x2-2x+1=4+1，
∴（x-1）2=5，
∴x=+1或x=-+1（不符合题意，舍去），
∴x=+1，
∴正方形的面积为（+1） 2=2+6.
故答案为：2+6.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】（1）解：根据题意得△=（-3）2-4k≥0，解得k≤
（2）解：满足条件的k的最大整数为2，此时方程变形为方程x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
当相同的解为x=1时，把x=1代入方程得m-1+1+m-3=0，解得m=
当相同的解为x=2时，把x=2代入方程得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，
不符合题意，舍去，所以m的值为
18．关于 的一元二次方程 .
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，且 ，求方程的根.
【答案】（1）解：由 ， ，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解： 方程有两个相等的实数根，且 ，
.
解得 ， 舍去 .
方程为 ，
解得 .
19．已知一元二次方程 .
（1）试判断方程根的情况；
（2）若方程的两根 ， 满足 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：∵一元二次方程 ，
，
该方程有两个实数根；
（2）解：将 代入方程 ，得
，
方程的两根 ， 满足 ，
，
解得 ，
即 的取值范围是 .
20．如图所示，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿边 向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以 的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：设经过x秒后，则
（2）解：
∴不存在
21．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【答案】（1）解：设平均每年下降的百分率为
根据题意有：
即 或
解得： ， （舍）
答：平均每年下降的百分率为 ．
（2）解：设单价应降低 元
据题意有：
即 或
解得：
∵为了减少库存
∴ （舍）
∴
答：如果每天盈利1150元，单价应降低15元
22．如图，在足够大的空地上有一段长为50米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.
（1）若BC的长不小于20米，当所围成的矩形菜园的面积为1200平方米，求AB的长；
（2）①所围成的矩形菜园的面积能否到达1300平方米？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由；
②设这个矩形菜园的面积为，利用配方法求这个矩形菜园的面积的最大值.
【答案】（1）解：设，则
由题意得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴（舍去），
∴.
∴AB的长为30米.
（2）解：①∵，
∴，
∴
∴方程没有实数解，即不能达到1300平方米.
②
当时，的最大值为1250.
23．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩.
（1）求该基地这两年“阳光攻瑰”种植面积的平均年增长率，
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克.
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，
依题意，得：100（1+y）2==256，
解得：y1=0.6=60%，y2=-2.6（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．
（2）解：①
②依题意，得：（20-10-x）（200+45x）=2125，．
整理，得：9x2-50x+25=0，
解得：x1=5，x2=
∵要尽量减少库存，
∴x=5．答：售价应降低5元．
24．阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点 、 ，那么 、 两点的距离 则 .
例如：若点 ， ，则 ，
根据上面材料完成下列各题：
（1）
若点 ， ，则 、 两点间的距离是 .
（2）若点 ，点 在坐标轴上，且 、 两点间的距离是5，求 点坐标.
（3）若点 ， ，且 、 两点间的距离是5，求 的值.
【答案】（1）
（2）解：当 点在 轴上，设 ，
而点 ， 、 两点间的距离是5，
，解得 或-6，
此时 点坐标为 或 ；
当 点在 轴上，设 ，
而点 ， 、 两点间的距离是5，
，解得 或 ，
此时 点坐标为 或 ；
综上所述， 点坐标为 或 或 或 ；
（3）解： 点 ， ，且 、 两点间的距离是5，
，
整理得 ，
解得 ， ，
即 的值为-1或6.
【解析】（1）∵点 ， ，
；
故答案为 ： ；
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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知关于 的方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，方程无解 B．当 时，方程有一个实数解
C．当 时，方程有两个相等的实数解 D．当 时，方程总有两个不相等的实数解
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则a应满足（ ）
A． B． C．且 D．且
3．关于 的方程 的解是 ， 均为常数， ，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒盖面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）cm
A．4 B．3 C．2 D．1
（第4题） （第6题）
5．已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，其中a≠b．则以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解
D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取-1
6．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：，边长为11，故得的正数解为.小明按此方法解关于的方程时，构造出同样的图形.已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（ ）
A． B． C． D．
7．设|x2+ax|＝4只有3个不相等的实数根，则a的值和方程的某一个根可能是（ ）
A．a＝4，x＝2+2 B．a＝4，x＝2
C．a＝﹣4，x＝2﹣2 D．a＝﹣4，x＝﹣2
8．已知x>y>0，且，则=( )
A． B． C． D．
9．定义：是一元二次方程的倒方程.则下列四个结论：
①如果x＝2是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无实数根，则它的倒方程也无实数根；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则常数k的取值范围是 .
12．对于实数m，n，先定义一种断运算“ ”如下： ，若 ，则实数x的值为 .
13．已知关于x的方程ax2-bx-c=0(a≠0)的系数满足a-b-c=0，且4a+2b-c=0，则该方程的根是
14．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6-a=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是
15．已知方程 ，则 的值为 ．
16．如图，将长方形沿图中虚线剪成四块图形(图中的x，y，x-y是相应线段的长度)，用这四块图形恰能拼成一个正方形，若y=2，则正方形的面积为
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
18．关于 的一元二次方程 .
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，且 ，求方程的根.
19．已知一元二次方程 .
（1）试判断方程根的情况；
（2）若方程的两根 ， 满足 ， ，求 的取值范围.
20．如图所示，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿边 向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以 的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
21．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
22．如图，在足够大的空地上有一段长为50米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.
（1）若BC的长不小于20米，当所围成的矩形菜园的面积为1200平方米，求AB的长；
（2）①所围成的矩形菜园的面积能否到达1300平方米？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由；
②设这个矩形菜园的面积为，利用配方法求这个矩形菜园的面积的最大值.
23．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩.
（1）求该基地这两年“阳光攻瑰”种植面积的平均年增长率，
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克.
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
24．阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点 、 ，那么 、 两点的距离 则 .
例如：若点 ， ，则 ，
根据上面材料完成下列各题：
（1）
若点 ， ，则 、 两点间的距离是 .
（2）若点 ，点 在坐标轴上，且 、 两点间的距离是5，求 点坐标.
（3）若点 ， ，且 、 两点间的距离是5，求 的值.
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