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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．某电影上映第一天票房收入约 亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到 亿元.若增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．若x 是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
3．某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
5．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，且满足 ，则（ ）
A．b=a B．c=2a C．a(x+2)2=0 D．-a(x-2)2=0
6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知：关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为 ， 其中 ，若 是关于 的函数，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于 的一元二次方程 与 ，且 ， 下列说法正确的是（ ）
A．若方程 有两个相等的实数根，则方程 没有实数根
B．若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同
C．若 是方程 的一个根，则 也是方程 的一个根
D．若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是
9．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．若 为任意实数，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．84 C．100 D．121
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．对于实数 ， ，定义一种运算 为： 如果关于 的方程 有两个相等的实数根，则 .
12．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 m.
（第12题） （第15题）
13．已知关于x的方程x2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
14．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2021，则一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=-2（a≠0）必有一根为
15．如图，在 中， ， ， ，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动.如果 、 两点同时出发，问：经过 秒后 的面积等于 .
16．若方程 有实根，则
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0.
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值.
18．已知关于x的一元二次方程x2-（m+5）x+5m=0．
（1）若此方程的一个根是x=2，求方程的另一根；
（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长求m的值．
19．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设 是方程的两个根，且 ，求 的值.
20．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天的销售数量为 件（用含a的代数式表示）．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？
（3）该商店每天的销售利润可能达到1450元吗？请说明理由．
21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.
（2）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由
22．定义，若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 （ ），分别以 为横坐标和纵坐标得到点 ，则称点M为该一元二次方程的的衍生点.
（1）若方程为 ，写出该方程的的衍生点M的坐标.
（2）若关于x的一元二次方程 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.
（3）是否存在b，c，使得不论k（ ）为何值，关于x的方程 的衍生点M始终在直线 的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由.
23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A-B-C表示墙面)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF ，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE= ▲ 米；(用含 x的代数式表示)
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
24．某水果微商九月中旬购进了榴莲和江安李共600千克，榴莲和江安李的进价均为每千克24元，榴莲以售价每千克45元，江安李以售价每千克36元的价格很快销售完.
（1）若水果微商九月中旬获利不低于10440元，求购进榴莲至少多少千克？
（2）为了增加销售量，获得更大利润，根据销售情况和“国庆中秋双节”即将来临的市场分析，在进价不变的情况下该水果微商九月下旬决定调整售价，将榴莲的售价在九月中旬的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），江安李的售价在九月中旬的基础上上涨a%；同时，与（1）中获得最低利润时的销售量相比，榴莲的销售量下降了a%，而江安李的销售量上升了25%，结果九月下旬的销售额比九月中旬增加了360元，求a的值.
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浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．某电影上映第一天票房收入约 亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到 亿元.若增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设增长率为 ，
依题意，得： .
故答案为：D.
2．已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．若x 是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】A、当m=0时，方程化为x+1=0，解得x=-1，故A不符合题意；
B、把x=代入方程，得，解得m=4，
∴+x=-，解得x=-1，
∴方程的另一根为x=-1，故B不符合题意；
C、∵mx2+x﹣m+1＝0， ∴（x+1）（x-m+1）=0，
∴x=-1或x=m-1，故C不符合题意；
D、∵△=1-4m（-m+1）=（2m-1）2≥0，
∴当m≠0时，方程有两个实数根，故D符合题意.
故答案为：D.
3．某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得：．
故答案为：A.
4．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
∴用① -②得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 或 （不合题意），
当 时，原方程为 和 ，此时 不符合题意，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：D．
5．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，且满足 ，则（ ）
A．b=a B．c=2a C．a(x+2)2=0 D．-a(x-2)2=0
【答案】C
【解析】 一元二次方程 满足 ，
是方程 的解，
又 有两个相等的实数根，
.
故答案为：C.
6．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=1-m＞0，
∴m＜1，
∵b是方程的一个实数根，
∴ ，
∴4b2-4b+m=0，
∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m，
∴m= ，
∴ ＜1，
∴y＞-1，
故答案为：A.
7．已知：关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为 ， 其中 ，若 是关于 的函数，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 是关于 的一元二次方程，
，
由求根公式，得 .
或 .
， ，
， .
，
解得 ，
.
故答案为：D.
8．已知关于 的一元二次方程 与 ，且 ， 下列说法正确的是（ ）
A．若方程 有两个相等的实数根，则方程 没有实数根
B．若方程 的两根符号相同，则方程 的两根符号也相同
C．若 是方程 的一个根，则 也是方程 的一个根
D．若方程 和方程 有一个相同的根，则这个根必是
【答案】B
【解析】A、若方程程 有两个相等的实数根，
则有 ，可得方程 也有两个相等的实数根，不符合题意；
B、若方程 的两根符号相同，即 ，
则方程 的两根符号也相同，符合题意；
C、把 代入方程得： ，
而 不一定为 ，即 不一定是方程 的一个根，不符合题意；
D、若方程 和方程 有一个相同的根，
则有 ，即 ，
由 ，得到 ，即 ，不符合题意.
故答案为：B.
9．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】设方程 的两根为x1、x2，方程 同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①符合题意；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②符合题意；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故答案为：D．
10．若 为任意实数，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．84 C．100 D．121
【答案】C
【解析】
，
，
的最大值为100.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．对于实数 ， ，定义一种运算 为： 如果关于 的方程 有两个相等的实数根，则 .
【答案】0
【解析】由 得 ，
依题意有 ，
，
解得， ，或 舍去 .
故答案为：0.
12．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 m.
【答案】2
【解析】设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝2，x2＝35.
当x＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；
当x＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去.
故答案为：2.
13．已知关于x的方程x2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
【答案】5
【解析】当b＝c时，Δ＝（k+2）2-8k＝0，
解之：k＝2，
方程化为x2 4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2＋2＋1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1 （k＋2）＋2k＝0，
解之：k＝1，
∴x2 3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5.
故答案为：5.
14．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2021，则一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=-2（a≠0）必有一根为
【答案】2022
【解析】 ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2021，
∴一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=-2（a≠0）即a（x-1）2+b（x-1）+2=0的根为
∴x-1=2021
解之：x=2022.
故答案为：2022.
15．如图，在 中， ， ， ，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动.如果 、 两点同时出发，问：经过 秒后 的面积等于 .
【答案】2
【解析】如图，过点Q作QE⊥PB于点E ，则 ，
，
，
设经过t秒后△PBQ的面积等于 ，
则 ， ， ，
根据题意可得：
， ，
当 时， ，不合题意；
.
经过2秒后△PBQ的面积等于 .
故答案为：2.
16．若方程 有实根，则
【答案】
【解析】 方程有实根，
，即 ，
化简得： ，
，而 ，
， ，解得 ， ，
所以 .
故答案为 ： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0.
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值.
【答案】（1）证明：∵△=[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）=（m+1）2≥0，
∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于 4，
∴x=±2 是原方程的根，
当 x=2 时，4﹣2（m+3）+m+2=0.
解得m=0；
当 x=﹣2 时，4+2（m+3）+m+2=0，
解得m=﹣4.
综上所述，m 的值为 0 或﹣4.
18．已知关于x的一元二次方程x2-（m+5）x+5m=0．
（1）若此方程的一个根是x=2，求方程的另一根；
（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长求m的值．
【答案】（1）解：∵ 此方程的一个根是x=2，
∴4-2（m+5）+5m=0、
解之：m=2
∴原方程为：x2-7x+10=0
∴（x-2）（x-5）=0
∴x-2=0或x-5=0
解之：x1=2，x2=5，
答：方程的另一个根为5.
（2）∵△=[-（m+5）]2-20m=（m-5）2，
无论m取何值时（m-5）2≥0即△≥0
∴这个一元二次方程一定有两个实数根.
（3）解： x2-（m+5）x+5m=0，
∴（x-5）（x-m）=0
解之：x1=5，x2=m，
∵该一元二次方程的两根为a，b，
∴a=5，b=m或a=m，b=5，
∵ 2，a，b分别是一个直角三角形的三边长 ，∵5＞2
当22+m2=52，
解之：（舍去）；
当22+52=m2，
解之：（舍去）；
答：m的值为或.
19．已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设 是方程的两个根，且 ，求 的值.
【答案】（1）证明：∵
∴不论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵
∴
∴
解得 .
20．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价a元，则平均每天的销售数量为 件（用含a的代数式表示）．
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？
（3）该商店每天的销售利润可能达到1450元吗？请说明理由．
【答案】（1）（20+2a）
（2）解：设每件商品降价 a 元，则每件盈利（40-a）元，售出件数为（20+2a）件
则（20+2a）（40-a）=1200
（a-20）（a-10）=0
∴
当a=20时，40-a =20＜25
∴a =20舍去
答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元.
（3）解：设每件商品降价 a 元，则每件盈利（40-a）元，售出件数为（20+2a）件
则(20 +2a)(40-a)=1450
∴此方程无解.
∴不可能达到利润 1450元.
【解析】（1）∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
∴降价a元，平均每天可多售出2a件，
∴降价a元，平均每天的销售数量为（20+2a）件，
故答案为：（20+2a）；
21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.
（2）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由
【答案】（1）解：设降价x元，由题意得
，
， ，
答：每件童装降价20元或10元.
（2）解：设降价x元，由题意得
，
x2-30x+600=0，
=900-2400=-1500<0，
此方程无解，
故不可能做到平均每天盈利2000元.
22．定义，若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 （ ），分别以 为横坐标和纵坐标得到点 ，则称点M为该一元二次方程的的衍生点.
（1）若方程为 ，写出该方程的的衍生点M的坐标.
（2）若关于x的一元二次方程 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.
（3）是否存在b，c，使得不论k（ ）为何值，关于x的方程 的衍生点M始终在直线 的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由.
【答案】（1）解：∵ ，
∴x（x-3）=0， 解得： ， ，
故方程x2-3x=0的衍生点为M（0，3）.
（2）解：
整理得：
设方程的两根分别为 、 ， 且
由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形，
当 时，
，
整理得： 此时方程无解，
当 时，则 ，
， 解得
（3）解：存在. 理由如下：
直线
直线过定点 ，
∴x2+bx+c=0两个根为 ，
∴ ， ，
∴ ， .
23．某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A-B-C表示墙面)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF ，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE= ▲ 米；(用含 x的代数式表示)
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：①45-3x；
②由题意得：x(45-3x)= 132，解得：x1=4，x2=11
当x1=4时，BF=33> BC，∴x1=4舍去；当x2=11时，BF=12< BC，
答：若围成的饲养场BDEF的面积为132 平方米，饲养场的宽EF的长为11米
（2）解：设EF的长为x米，则DE=
则x·=15.6
整理得：x2-20x+104=0，此方程无实根，
∴不能达到
【解析】（1）①∵BD=EF=x，AB=3，
∴AD=x-3，
∴DE-4=38-（x-3）-x-x，
∴DE=（45-3x）米，
故答案为：45-3x；
24．某水果微商九月中旬购进了榴莲和江安李共600千克，榴莲和江安李的进价均为每千克24元，榴莲以售价每千克45元，江安李以售价每千克36元的价格很快销售完.
（1）若水果微商九月中旬获利不低于10440元，求购进榴莲至少多少千克？
（2）为了增加销售量，获得更大利润，根据销售情况和“国庆中秋双节”即将来临的市场分析，在进价不变的情况下该水果微商九月下旬决定调整售价，将榴莲的售价在九月中旬的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），江安李的售价在九月中旬的基础上上涨a%；同时，与（1）中获得最低利润时的销售量相比，榴莲的销售量下降了a%，而江安李的销售量上升了25%，结果九月下旬的销售额比九月中旬增加了360元，求a的值.
【答案】（1）解：设购进榴莲x千克，则购进江安李（600﹣x）千克，
根据题意可得：（45﹣24）x+（600﹣x）（36﹣24）≥10440
解得：x≥360，
答：购进榴莲至少360千克；
（2）解：九月份下旬的销售额＝45×360+36×240+360＝25200（元），
45（1﹣a%）×360（1﹣a%）+36（1+a%）×240（1+25%）＝25200，
令a%＝t，整理得：15t2﹣13t+2＝0，
解得：t1＝，t2＝，
当t＝时，售价＝75×（1﹣）＝25＜40，不合题意舍去；
当t＝时，售价＝75×（1﹣）＝60＞40，
故a＝20.
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