2022-2023学年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学） 课后测验
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·乳山期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
2．设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
3．下列方程中的两实数根之和为-4的是（ ）
A．x2+2x-4=0 B．x2-4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2+4x-5=0
4．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022八下·常熟期末）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
6．（2022八下·乳山期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1 C． D．
7．（2022八下·金东期末）若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则p2+2p﹣q的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13
8．（2020八下·八步期末）设 是方程 的两个根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022八下·萧山期中）已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．若x 是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
10．（2019八下·宣州期中）设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（ ）
A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣2011
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2020八下·杭州期中）已知一元二次方程2x +bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，则b= ，c= 。
12．（2022八下·拱墅期末）若方程 为常致，且 的一个解是 ，则另一个解是 ．
13．请构造一个二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别为2和3，则这个方程为 .
14．（2022八下·浦江月考）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个实数根为α，β，则α+β+α β＝ .
15．（2022八下·钢城期末）若m，n为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
16．（2019八下·东台月考）已知x1，x2是方程3x2﹣4x+1＝0的两根，则x12+x22＝ .
17．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与-3；小王看错了q，解得方程的根为4与-2，则p和q的值分别为 .
18．（2021八下·新昌期末）已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是 .
19．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a= ．
三、综合题（共5题，共50分）
20．（2022九上·晋江月考）已知是方程的一个根，求方程的另一个根及k的值．
21．（2022九上·汉阴月考）已知关于的一元二次方程（为常数）．设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．
22．（2022九上·公安月考）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.
23．（2021·无棣模拟）已知： ， （ ＞ ）是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ， …， ．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得 ，于是，得 ．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求 ， 的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出 ， 的值．
②猜想：当n≥3时， ， ， 之间满足的数量关系，并证明你的猜想的符合题意性．
(注：关于x的一元二次方程 若有两根 ，则有 )
24．（2021八下·合肥期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求衍生点M的轨迹的解析式；
（3）若无论k为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b与c满足的关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有一个根是x1=3，另一个根x2，
∴3+x2==4，即x2=1，
即方程另一根x2是1．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得答案。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、 x2+2x-4=0 ，x1+x2=-2，错误；
B、 x2-4x+4=0 ，x1+x2=4，错误；
C、 x2+4x+10=0 ，△=b2-4ac=16-40=-24<0，∴方程无实数根，错误；
D、 x2+4x-5=0 ，x1+x2=-4，正确；
故答案为：D.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，结合△=b2-4ac≥0，依此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴ ，
解得a=-，b=1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系分别列式求出a、b值，即可解答.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：方程可化为，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，
∴该方程的两个根为一正一负，
故答案为：C.
【分析】由题意将原方程去括号、移项化为一般形式，计算b2-4ac的值，由平方的非负性可得b2-4ac＞0，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断该方程有两个不相等的实数根；设该方程的两个根为x1、x2，则根据根与系数的关系可判断该方程的两个根为一正一负.
6．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
此方程根的判别式，且，
解得且，
又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根 ，
∴p2+2p=9-p，p+q=-3
∴ p2+2p﹣q=9-p-q=9-（p+q） =9-（-3）=12.
故答案为：C.
【分析】利用p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根 ，可得到p2+2p=9-p，利用一元二次方程根与系数可求出p+q的值，再整体代入求值即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由已知得： ， =－2
∴ = = 5.
故答案为：B.
【分析】可以把 变形为 的形式，然后由一元二次方程根与系数的关系可以得解.
9．【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、当m=0时，方程化为x+1=0，解得x=-1，故A不符合题意；
B、把x=代入方程，得，解得m=4，
∴+x=-，解得x=-1，
∴方程的另一根为x=-1，故B不符合题意；
C、∵mx2+x﹣m+1＝0， ∴（x+1）（x-m+1）=0，
∴x=-1或x=m-1，故C不符合题意；
D、∵△=1-4m（-m+1）=（2m-1）2≥0，
∴当m≠0时，方程有两个实数根，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、把m=0代入方程，得出一元一次方程，即可判断A正确；
B、把x=代入方程，得出m=4，再根据根与系数的关系得出+x=-，解得x=-1，即可判断B正确；
C、利用因式分解法求出方程的解，即可判断C正确；
D、先求出△=（2m-1）2≥0，得出方程有两个实数根，即可判断D错误.
10．【答案】B
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a为x2+x-2011=0的根，
∴a2+a-2011=0，
∴a2+a=2011，
∴a3+a2+3a+2014b=a（a2+a）+3a+2014b
=2011a+3a+2014b
=2014（a+b），
∵a、b为x2+x-2011=0的两个实根，
∴a+b=-1，
∴a3+a2+3a+2014b=-2014．
故答案为：B,
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a-2011=0，则a2+a=2011，再利用因式分解的方法变形得到a3+a2+3a+2014b=2014（a+b），然后根据根与系数的关系得a+b=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
11．【答案】-6；4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x +bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，
∴
解之 ：b=-6，c=4.
故答案为：-6，4.
【分析】利用一元二次方程根与系数，根据两根之和为3，两根之积为2，建立关于a，b的方程，解方程求出a，b的值。
12．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程 的另一个解为 ，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为：0．
【分析】根据根与系数的关系可得a+x2==a，据此可得方程的另一个解.
13．【答案】（x+2）（x-3）=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵∵一元二次方程（二次项系数为1）的两个根为2和3，
∴这个方程为（x+2）（x-3）=0.
故答案为：（x+2）（x-3）=0.
【分析】利用以x1，x2为根的一元二次方程是x2-（x1+x2）x+x1·x2=0，利用已知条件可得到这个方程.
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
，
故答案为：3.
【分析】若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=- ，x1x2= ，求出和的值，然后代值计算即可.
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n为一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=2，mn=-2，再将其代入计算即可。
16．【答案】
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1、x2是方程 的两根，
∴
则
故答案为：
【分析】由题意根据一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2=-=，x1x2==，再把所求代数式根据完全平方式变形得原式=（x1+x2）2-2x1x2，然后把两根之和与两根之积代入变形后的代数式计算即可求解。
17．【答案】-2，-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵小张看错了p， q是正确的，
∴q=-3×1=-3，
∵小王看错了q， p是正确的，
∴p=-(-2+4)=-2.
故答案为：-2，-3.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，x1x2 =-，结合题意分别求出正确的系数，即可解答.
18．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设两直角边的长度分别为，n，
由题意可得：，n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】设Rt△ABC两直角边的长度分别为m，n，根据一元二次方程的根与系数的关系"mn="可得mn的值，然后根据S△ABC=mn可求解.
19．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，
∴x22+5x2﹣3=0，
∴x22+5x2=3，
∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1 x2+a=4，
∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10.
故答案为：10.
【分析】根据方程根的定义可把 x2代入方程，变形得x22+5x2=3，把此式代入2x1（x22+6x2﹣3）+a=4可得2x1 x2+a=4，再由根与系数的关系得x1x2=﹣3，从而求出a的值.
20．【答案】解：设方程的另一个根为，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，，
解得，
即方程的另一个根为，的值为9．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 设方程的另一个根为a，根据一元二次方程的根与系数的关系（x1+x2=，）得到关于字母a、k的方程组，解这个方程组，即可得到方程的另一个根及k的值 .
21．【答案】解：∵，为方程的两个实数根，
∴，
∵，
解得：，．
将代入中，得：，
解得：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得α+β=6，结合α+2β=14可得α、β的值，将α的值代入方程中可得关于k的方程，求解可得k的值.
22．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，
∵，
∴，
即，解得，或0，
由（1）知：，
∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可；
（2） 一元二次方程根与系数的关系可得， ，进而将题干中所给方程的左边利用通分计算后整体代入可得关于字母k的方程，求解并结合（1）中k的取值范围可得到符合题意的k的值.
23．【答案】解：①移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
开平方，得 ，
即 ，
∴ ， ．
于是， ， ．
②猜想： ．
证明：根据根的定义， ，
两边都乘以 ，得 ，①
同理， ，②
①＋②，得 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【分析】①由移项、开平方、配方即可得到，得到 ， ．于是， ， ；②根据根的定义， ，两边都乘以 ，得 ，①同理， ，②，①＋②，得 ，
因为 ， ， ，所以 ，即可得到 ．
24．【答案】（1）证明：
不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：
，，
衍生点M的轨迹的解析式；y=x+2；
（3）解：
直线经过定点
关于x的方程有两个根
由根与系数的关系式得，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 (1) 由一元二次方程根的判别式的△=4>0，即可得出结论；
(2) 解方程得出两根，可知衍生点M的坐标，由坐标的关系可得轨迹方程；
(3)由直线方程可知直线经过定点（2，4），可得一元二次方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系可得a，b，c的关系。
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学） 课后测验
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·乳山期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有一个根是x1=3，另一个根x2，
∴3+x2==4，即x2=1，
即方程另一根x2是1．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得答案。
2．设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列式求解即可.
3．下列方程中的两实数根之和为-4的是（ ）
A．x2+2x-4=0 B．x2-4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2+4x-5=0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、 x2+2x-4=0 ，x1+x2=-2，错误；
B、 x2-4x+4=0 ，x1+x2=4，错误；
C、 x2+4x+10=0 ，△=b2-4ac=16-40=-24<0，∴方程无实数根，错误；
D、 x2+4x-5=0 ，x1+x2=-4，正确；
故答案为：D.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，结合△=b2-4ac≥0，依此解答即可.
4．已知 是一元二次方程 的两个根，且 ，则a，b的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴ ，
解得a=-，b=1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系分别列式求出a、b值，即可解答.
5．（2022八下·常熟期末）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根
C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：方程可化为，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，
∴该方程的两个根为一正一负，
故答案为：C.
【分析】由题意将原方程去括号、移项化为一般形式，计算b2-4ac的值，由平方的非负性可得b2-4ac＞0，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断该方程有两个不相等的实数根；设该方程的两个根为x1、x2，则根据根与系数的关系可判断该方程的两个根为一正一负.
6．（2022八下·乳山期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
此方程根的判别式，且，
解得且，
又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可。
7．（2022八下·金东期末）若p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则p2+2p﹣q的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根 ，
∴p2+2p=9-p，p+q=-3
∴ p2+2p﹣q=9-p-q=9-（p+q） =9-（-3）=12.
故答案为：C.
【分析】利用p，q是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根 ，可得到p2+2p=9-p，利用一元二次方程根与系数可求出p+q的值，再整体代入求值即可.
8．（2020八下·八步期末）设 是方程 的两个根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由已知得： ， =－2
∴ = = 5.
故答案为：B.
【分析】可以把 变形为 的形式，然后由一元二次方程根与系数的关系可以得解.
9．（2022八下·萧山期中）已知关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（ ）
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．若x 是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1
C．无论m取何值，方程都有一个负数根
D．当m≠0时，方程有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、当m=0时，方程化为x+1=0，解得x=-1，故A不符合题意；
B、把x=代入方程，得，解得m=4，
∴+x=-，解得x=-1，
∴方程的另一根为x=-1，故B不符合题意；
C、∵mx2+x﹣m+1＝0， ∴（x+1）（x-m+1）=0，
∴x=-1或x=m-1，故C不符合题意；
D、∵△=1-4m（-m+1）=（2m-1）2≥0，
∴当m≠0时，方程有两个实数根，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、把m=0代入方程，得出一元一次方程，即可判断A正确；
B、把x=代入方程，得出m=4，再根据根与系数的关系得出+x=-，解得x=-1，即可判断B正确；
C、利用因式分解法求出方程的解，即可判断C正确；
D、先求出△=（2m-1）2≥0，得出方程有两个实数根，即可判断D错误.
10．（2019八下·宣州期中）设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（ ）
A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣2011
【答案】B
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a为x2+x-2011=0的根，
∴a2+a-2011=0，
∴a2+a=2011，
∴a3+a2+3a+2014b=a（a2+a）+3a+2014b
=2011a+3a+2014b
=2014（a+b），
∵a、b为x2+x-2011=0的两个实根，
∴a+b=-1，
∴a3+a2+3a+2014b=-2014．
故答案为：B,
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a-2011=0，则a2+a=2011，再利用因式分解的方法变形得到a3+a2+3a+2014b=2014（a+b），然后根据根与系数的关系得a+b=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2020八下·杭州期中）已知一元二次方程2x +bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，则b= ，c= 。
【答案】-6；4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x +bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，
∴
解之 ：b=-6，c=4.
故答案为：-6，4.
【分析】利用一元二次方程根与系数，根据两根之和为3，两根之积为2，建立关于a，b的方程，解方程求出a，b的值。
12．（2022八下·拱墅期末）若方程 为常致，且 的一个解是 ，则另一个解是 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程 的另一个解为 ，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为：0．
【分析】根据根与系数的关系可得a+x2==a，据此可得方程的另一个解.
13．请构造一个二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别为2和3，则这个方程为 .
【答案】（x+2）（x-3）=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵∵一元二次方程（二次项系数为1）的两个根为2和3，
∴这个方程为（x+2）（x-3）=0.
故答案为：（x+2）（x-3）=0.
【分析】利用以x1，x2为根的一元二次方程是x2-（x1+x2）x+x1·x2=0，利用已知条件可得到这个方程.
14．（2022八下·浦江月考）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两个实数根为α，β，则α+β+α β＝ .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
，
故答案为：3.
【分析】若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2=- ，x1x2= ，求出和的值，然后代值计算即可.
15．（2022八下·钢城期末）若m，n为一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n为一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=2，mn=-2，再将其代入计算即可。
16．（2019八下·东台月考）已知x1，x2是方程3x2﹣4x+1＝0的两根，则x12+x22＝ .
【答案】
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1、x2是方程 的两根，
∴
则
故答案为：
【分析】由题意根据一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2=-=，x1x2==，再把所求代数式根据完全平方式变形得原式=（x1+x2）2-2x1x2，然后把两根之和与两根之积代入变形后的代数式计算即可求解。
17．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与-3；小王看错了q，解得方程的根为4与-2，则p和q的值分别为 .
【答案】-2，-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵小张看错了p， q是正确的，
∴q=-3×1=-3，
∵小王看错了q， p是正确的，
∴p=-(-2+4)=-2.
故答案为：-2，-3.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两根为 为x1，x2， 则x1+x2 =-，x1x2 =-，结合题意分别求出正确的系数，即可解答.
18．（2021八下·新昌期末）已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是 .
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设两直角边的长度分别为，n，
由题意可得：，n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】设Rt△ABC两直角边的长度分别为m，n，根据一元二次方程的根与系数的关系"mn="可得mn的值，然后根据S△ABC=mn可求解.
19．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a= ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，
∴x22+5x2﹣3=0，
∴x22+5x2=3，
∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，
∴2x1 x2+a=4，
∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，
∴x1x2=﹣3，
∴2×（﹣3）+a=4，
∴a=10.
故答案为：10.
【分析】根据方程根的定义可把 x2代入方程，变形得x22+5x2=3，把此式代入2x1（x22+6x2﹣3）+a=4可得2x1 x2+a=4，再由根与系数的关系得x1x2=﹣3，从而求出a的值.
三、综合题（共5题，共50分）
20．（2022九上·晋江月考）已知是方程的一个根，求方程的另一个根及k的值．
【答案】解：设方程的另一个根为，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，，
解得，
即方程的另一个根为，的值为9．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 设方程的另一个根为a，根据一元二次方程的根与系数的关系（x1+x2=，）得到关于字母a、k的方程组，解这个方程组，即可得到方程的另一个根及k的值 .
21．（2022九上·汉阴月考）已知关于的一元二次方程（为常数）．设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．
【答案】解：∵，为方程的两个实数根，
∴，
∵，
解得：，．
将代入中，得：，
解得：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得α+β=6，结合α+2β=14可得α、β的值，将α的值代入方程中可得关于k的方程，求解可得k的值.
22．（2022九上·公安月考）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，
∵，
∴，
即，解得，或0，
由（1）知：，
∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可；
（2） 一元二次方程根与系数的关系可得， ，进而将题干中所给方程的左边利用通分计算后整体代入可得关于字母k的方程，求解并结合（1）中k的取值范围可得到符合题意的k的值.
23．（2021·无棣模拟）已知： ， （ ＞ ）是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ， …， ．根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得 ，于是，得 ．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求 ， 的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出 ， 的值．
②猜想：当n≥3时， ， ， 之间满足的数量关系，并证明你的猜想的符合题意性．
(注：关于x的一元二次方程 若有两根 ，则有 )
【答案】解：①移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
开平方，得 ，
即 ，
∴ ， ．
于是， ， ．
②猜想： ．
证明：根据根的定义， ，
两边都乘以 ，得 ，①
同理， ，②
①＋②，得 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 ．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【分析】①由移项、开平方、配方即可得到，得到 ， ．于是， ， ；②根据根的定义， ，两边都乘以 ，得 ，①同理， ，②，①＋②，得 ，
因为 ， ， ，所以 ，即可得到 ．
24．（2021八下·合肥期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求衍生点M的轨迹的解析式；
（3）若无论k为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b与c满足的关系．
【答案】（1）证明：
不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：
，，
衍生点M的轨迹的解析式；y=x+2；
（3）解：
直线经过定点
关于x的方程有两个根
由根与系数的关系式得，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 (1) 由一元二次方程根的判别式的△=4>0，即可得出结论；
(2) 解方程得出两根，可知衍生点M的坐标，由坐标的关系可得轨迹方程；
(3)由直线方程可知直线经过定点（2，4），可得一元二次方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系可得a，b，c的关系。
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