第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系单元检测卷
文档属性
| 名称 | 第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系单元检测卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 481.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-23 10:48:27 | ||
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文档简介
浙教版九年级下册《第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系》2014年单元检测卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
不确定
2．（2分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
3．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．
三点确定一个圆
B．
两个等圆不可能内切
C．
平分弦的直径垂直于弦
D．
三角形外接圆的圆心是它的内心
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．
与x轴相交，与y轴相切
B．
与x轴相离，与y轴相交
C．
与x轴相切，与y轴相交
D．
与x轴相切，与y轴相离
5．（2分）△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ）
A．
三条中线的交点
B．
三条高的交点
C．
三条角平分线的交点
D．
三条边的垂直平分线的交点
6．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．
3m
B．
5m
C．
7m
D．
9m
7．（2分）两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距为4．则当两圆外切时，圆心距为（ ）
A．
5
B．
11
C．
14
D．
20
8．（2分）如图，相距2cm的两个点A，B在直线l上，它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移．当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切，则点A平移到点A1所用的时间为（ ）
A．
s
B．
s
C．
3s
D．
s或3s
9．（2分）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．
甲、乙
B．
乙、丙
C．
甲、丙
D．
甲、乙、丙
10．（2分）如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
π
D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 _________ ．
12．（3分）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 _________ ．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 _________ ．（结果保留π）
14．（3分）⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B=90°，那么∠AO2B的度数是 _________ ．
15．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，则∠P的度数为 _________ ．
16．（3分）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k= _________ ．
17．（3分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是 _________ ．
18．（3分）如图，⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=5，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 _________ 次．
19．（3分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 _________ ．
20．（3分）如图①，施工工地的水平地面上有3根直径是1m的水泥管，两两相切地堆放成两层，则其最高点到地面的距离是 _________ m．如图②，当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是 _________ m．当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是 _________ m．
三、解答题（共50分）
21．（6分）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．
22．（6分）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2=AB?AD．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
26．（12分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
浙教版九年级下册《第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系》2014年单元检测卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
不确定
考点：
直线与圆的位置关系．5368454
分析：
先求出点C到直线AB的距离，比较与3的大小，从而得出答案．
解答：
解：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵BC=4cm，
∴CD=2cm，
∵2＜3，
∴⊙C与直线AB相交．
故选B．
点评：
本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离．
2．（2分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
考点：
扇形面积的计算．5368454
分析：
已知大圆的弦AB是小圆的切线，则OP垂直并且平分弦AB，AP=2，△OAP为等腰直角三角形，那么∠AOP=45°，代入扇形面积公式即可．
解答：
解：SOEP==π，故选C．
点评：
本题主要考查圆的切线及扇形的面积公式．
3．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．
三点确定一个圆
B．
两个等圆不可能内切
C．
平分弦的直径垂直于弦
D．
三角形外接圆的圆心是它的内心
考点：
命题与定理．5368454
分析：
分别根据确定圆的条件、两圆的位置关系、垂径定理及三角形内心的定义进行逐一分析即可．
解答：
解：A、应强调三点不在同一直线上，故错误；
B、根据内切的定义，故正确；
C、应强调这条弦不是直径，故错误；
D、三角形外接圆的圆心是它的外心，故错误．
故选B．
点评：
本题考查了圆的确定，垂径定理，外心与内心的区别，两圆内切的条件等知识点．
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．
与x轴相交，与y轴相切
B．
与x轴相离，与y轴相交
C．
与x轴相切，与y轴相交
D．
与x轴相切，与y轴相离
考点：
直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．5368454
专题：
推理填空题；数形结合．
分析：
首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
解答：
解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
点评：
本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键．
5．（2分）△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ）
A．
三条中线的交点
B．
三条高的交点
C．
三条角平分线的交点
D．
三条边的垂直平分线的交点
考点：
三角形的内切圆与内心．5368454
分析：
由题意知点O是△ABC的内心，因此OD=OE=OF，所以点O也是△DEF的外心，而外心是三角形三边中垂线的交点，由此得解．
解答：
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△DEF的外心，
∴O是△DEF三边垂直平分线的交点；
故选D．
点评：
此题主要考查了三角形的内心与外心的性质；
三角形的内心：三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；
三角形的外心：三边中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．
6．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．
3m
B．
5m
C．
7m
D．
9m
考点：
勾股定理的应用．5368454
专题：
应用题；压轴题．
分析：
为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．
解答：
解：连接OA，交半圆O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA==10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA﹣OE=4．
因此选用的绳子应该不大于4m，
故选A．
点评：
此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．
7．（2分）两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距为4．则当两圆外切时，圆心距为（ ）
A．
5
B．
11
C．
14
D．
20
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
分析：
只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．
解答：
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有
r：R=2：3；
又∵R﹣r=4，
解得R=12，r=8，
∴当它们外切时，圆心距=12+8=20．
故选D．
点评：
此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是正确的求出两个半径．
8．（2分）如图，相距2cm的两个点A，B在直线l上，它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移．当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切，则点A平移到点A1所用的时间为（ ）
A．
s
B．
s
C．
3s
D．
s或3s
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
分析：
首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案．
解答：
解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts，
根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=（2﹣2t）cm，BB1=tcm，
如图1，此时外切：2﹣2t=1+t，
∴t=；
如图2，此时内切：2﹣2t=1﹣t，
∴t=1，此时两圆心重合，舍去；
或2﹣2t=t﹣1，
解得：t=1，此时两圆心重合，舍去；
如图3，此时内切：2t﹣t+1=2，
∴t=1，此时两圆心重合，舍去；
如图4：此时外切：2t﹣t﹣1=2，
∴t=3．
∴点A平移到点A1，所用的时间为1（此时两圆重合，舍去）或3s．
故选：D．
点评：
此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解．
9．（2分）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．
甲、乙
B．
乙、丙
C．
甲、丙
D．
甲、乙、丙
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
专题：
应用题．
分析：
根据勾股定理，将面积问题转化为线段长度平方的和差问题计算．
解答：
解：（1）连接OB、OC，
则πBO2﹣πOC2=π（）2，
甲测得AB的长，可求出阴影面积；
（2）因为AC=CB=，同（1）．
乙测得AC的长，可以算出截面面积；
（3）作OK⊥AD垂足为K，连接OD、OF，
因为πOD2﹣πOF2=π（OD2﹣OF2）=π（KD2+OK2﹣KF2﹣OK2）=π（KD2﹣KF2），
丙测得AD与EF的长，可以算出截面面积．
故选D．
点评：
本题主要考查了将面积问题转化为线段长度平方的和差问题的能力．
10．（2分）如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
π
D．
考点：
扇形面积的计算；切线的性质．5368454
分析：
根据三角形面积求法，得出△OCB与△ACB同底等高面积相等，再利用切线的性质得出∠COB=60°，利用扇形面积求出即可．
解答：
解：延长CB，做AD⊥CB，交于一点D，
∵△OCB与△ACB同底等高面积相等，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积，
∵A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B
∴BO⊥AB，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积为：=π．
故选：A．
点评：
此题主要考查了切线的性质以及三角形面积求法和扇形的面积公式等知识，根据已知得出△OCB与△ACB面积相等以及∠COB=60°是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 （3，2） ．
考点：
切线的性质；反比例函数的性质．5368454
专题：
综合题．
分析：
⊙P的半径为2，⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标是2，把y=2代入函数解析式，得到x=3，因而点P的坐标是（3，2）．
解答：
解：根据题意可知，把y=2代入得：x=3，
∴点P的坐标是（3，2）．
点评：
本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．
12．（3分）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 1 ．
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
分析：
根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即可求解．
解答：
解：∵CD与⊙O相切，切点为D，
∴CD2=BC?AC，
即CD2=BC?3BC=3，
解得：BC=1．
故答案是：1．
点评：
本题主要考查了切割线定理，正确理解定理是解题的关键．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
考点：
切线的性质；扇形面积的计算．5368454
专题：
压轴题．
分析：
连接OE．先求空白部分BCE的面积，再用△BCD的面积﹣空白部分BCE的面积得阴影面积．
解答：
解：连接OE．
阴影部分的面积=S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE）=×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）=π．
点评：
本题利用了正方形和矩形的性质，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式求解．
14．（3分）⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B=90°，那么∠AO2B的度数是 45°或135° ．
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
专题：
压轴题．
分析：
根据两圆相交时两圆半径的大小进行求解．
解答：
解：∵∠AO1B=90°，
∴当⊙O1的半径＞⊙O2的半径时，∠AO2B=180°﹣45°=135°，
当⊙O1的半径＜⊙O2的半径时，∠AO2B=45°，
∴∠AO2B的度数是45°或135°．
点评：
主要考查了圆与圆的位置关系中的相交．相交时要注意两个圆心的位置，即圆的半径的大小，所以此题有两种情况．
15．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，则∠P的度数为 50° ．
考点：
切线的性质．5368454
分析：
根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解即可．
解答：
解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=65°，
所以∠P=50°．
故答案为：50°．
点评：
此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
16．（3分）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k= 28 ．
考点：
垂径定理；待定系数法求反比例函数解析式．5368454
专题：
压轴题．
分析：
先设y=再根据k的几何意义求出k值即可．
解答：
解：连接PM，作PQ⊥MN，
根据勾股定理可求出PQ=4，
根据圆中的垂径定理可知点OQ=|﹣4﹣3|=7，
所以点P的坐标为（﹣4，﹣7），
则k=28．
点评：
主要考查了圆中有关性质和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
17．（3分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是 ﹣2＜a＜2 ．
考点：
圆与圆的位置关系；坐标与图形性质．5368454
专题：
压轴题．
分析：
已知两圆圆心的坐标（0，0），（a，0），圆心距为|a﹣0|=|a|，两圆内含时，圆心距＜5﹣3．
解答：
解：根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a﹣0|=|a|，
因为，两圆内含时，圆心距＜5﹣3，
即|a|＜2，解得﹣2＜a＜2．
点评：
当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．
18．（3分）如图，⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=5，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 3 次．
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
专题：
压轴题．
分析：
本题根据两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：
解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，O1O2=5，
∴O1P=3，
∴分别过O2，P以3为半径可找到相切2次．
O1O2的延长线可找到相切1次．
故⊙O1与⊙O2共相切3次．
点评：
此题考查了两圆相切的位置关系，外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
19．（3分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 r=8cm时，r=a；当r＞8时， ．
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
解答：
解：①如图所示，0＜r≤8时，
∵OA⊥BA，OC⊥BC，∠B=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=AO，
∴r=a；
②当r＞8时，
如图：连接OC，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
则四边形ABCD是矩形，即AD=BC，CD=AB．
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即：r2=（r﹣8）2+a2，
整理得：r=a2+4．
故答案是：r=8时，r=a；当r＞8时，．
点评：
本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
20．（3分）如图①，施工工地的水平地面上有3根直径是1m的水泥管，两两相切地堆放成两层，则其最高点到地面的距离是 （1+） m．如图②，当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是 （1+） m．当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是 （n﹣） m．
考点：
相切两圆的性质．5368454
分析：
三个等圆的圆心分别为A、B、C，过A作AD⊥BC于D，交地面于E，交⊙A于F，根据相切两圆的性质得到AB=BC=AC=1m，再利用等边三角形的性质可得到AD=BC，然后由AF+AD+DE计算出最高点到地面的距离，利用图形变化规律进而得出答案．
解答：
解：如图，三个等圆的圆心分别为A、B、C，过A作AD⊥BC于D，交地面于E，交⊙A于F，
则△ABC为等边三角形，且边长为1m，
∴AD=BC=，
∴EF=1+，
所以最高点到地面的距离为（1+）m．
当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是：1++=（1+）m；
当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是：1+（n﹣1）=（n﹣）m．
故答案为：（1+），（1+），n﹣．
点评：
本题考查了相切两圆的性质：相切两圆的圆心距等于两圆半径之和．也考查了等边三角形的性质，得出图形变化规律是解题关键．
三、解答题（共50分）
21．（6分）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．
考点：
切线的判定；勾股定理．5368454
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．
解答：
解：（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DC=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2DE=6，
∴AC=4．
∴BE=3．
∴AE=；
法2：∵（8分）
∴（10分）
∴．（12分）
点评：
此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用．
22．（6分）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．
考点：
解直角三角形的应用．5368454
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα==，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因为sinα==，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=FM，再根据MN=11﹣3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．
解答：
解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，
HM=OM×sinα=3，
所以OH=4，
MB=HA=5﹣4=1，
1×5=5cm．
所以铁环钩离地面的高度为5cm；
（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴=sinα=，
∴FN=FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC﹣AB=11﹣3=8．
∵FM2=FN2+MN2，
即FM2=（FM）2+82，
解得：FM=10，
10×5=50（cm）．
∴铁环钩的长度FM为50cm．
点评：
考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2=AB?AD．
考点：
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，而利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明题目的结论；
（2）如图，连接BC．由AB是直径得到∠ACB=90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽Rt△ABC 接着利用相似三角形的性质即可解决问题．
解答：
证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°﹣2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
两边除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD﹣∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，（8分）
∴，即AC2=AB?AD．（9分）
点评：
本题考查了圆的切线性质，及相似三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．
考点：
切线的判定；垂径定理；圆周角定理．5368454
专题：
几何综合题．
分析：
（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切线．
（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；
（3）Rt△OCE中，有三角函数的定义，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的长．
解答：
（1）解：CG是⊙O的切线．理由如下：
∵CG∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：
第一种方法：连接AC，如图，（2分）
∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE过圆心O，
∴，．
∴AC=AD=CD．
∴△ACD是等边三角形．（3分）
∴∠D=60°．
∴∠FCD=30°．（4分）
在Rt△COE中，
∴OE=OB．
∴点E为OB的中点．（5分）
第二种方法：连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．
∴△BDE∽△OCE．（3分）
．
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴CE=DE．（4分）
∴BE=OE．
∴点E为OB的中点．（5分）
（3）解：∵AB=8，
∴OC=AB=4．
又∵BE=OE，
∴OE=2．（6）
∴CE=OE×cot30°=．（7分）
∵AB⊥CD，
∴CD=2CE=．（8分）
点评：
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
考点：
圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
几何综合题；动点型．
分析：
（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；
（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．
解答：
解：（1）直线AB与⊙P相切，
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵P为BC中点，
∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，
∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴，
即，
∴PD=2.4（cm），
当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，
∴直线AB与⊙P相切；
（2）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO=AB=5cm，
连接OP，
∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，
∴PO=AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切，
∴当⊙P在⊙O内部时：5﹣2t=3，
当⊙O在⊙P内部时2t﹣5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．
点评：
此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．
26．（12分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
考点：
切线的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）PN与⊙O相切于点Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
解答：
解：（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP=90°，（2分）
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ==8（cm）．（3分）
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，（4分）
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半径为6，
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ﹣PB=8﹣4t，
∵BQ=6，
∴8﹣4t=6，
∴t=0.5（s）．（6分）
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB﹣PQ=4t﹣8，
∵BQ=6，
∴4t﹣8=6，
∴t=3.5（s）．
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．（8分）
点评：
本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
浙教版九年级下册《第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系》2014年单元检测卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
不确定
2．（2分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
3．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．
三点确定一个圆
B．
两个等圆不可能内切
C．
平分弦的直径垂直于弦
D．
三角形外接圆的圆心是它的内心
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．
与x轴相交，与y轴相切
B．
与x轴相离，与y轴相交
C．
与x轴相切，与y轴相交
D．
与x轴相切，与y轴相离
5．（2分）△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ）
A．
三条中线的交点
B．
三条高的交点
C．
三条角平分线的交点
D．
三条边的垂直平分线的交点
6．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．
3m
B．
5m
C．
7m
D．
9m
7．（2分）两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距为4．则当两圆外切时，圆心距为（ ）
A．
5
B．
11
C．
14
D．
20
8．（2分）如图，相距2cm的两个点A，B在直线l上，它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移．当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切，则点A平移到点A1所用的时间为（ ）
A．
s
B．
s
C．
3s
D．
s或3s
9．（2分）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．
甲、乙
B．
乙、丙
C．
甲、丙
D．
甲、乙、丙
10．（2分）如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
π
D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 _________ ．
12．（3分）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 _________ ．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 _________ ．（结果保留π）
14．（3分）⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B=90°，那么∠AO2B的度数是 _________ ．
15．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，则∠P的度数为 _________ ．
16．（3分）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k= _________ ．
17．（3分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是 _________ ．
18．（3分）如图，⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=5，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 _________ 次．
19．（3分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 _________ ．
20．（3分）如图①，施工工地的水平地面上有3根直径是1m的水泥管，两两相切地堆放成两层，则其最高点到地面的距离是 _________ m．如图②，当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是 _________ m．当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是 _________ m．
三、解答题（共50分）
21．（6分）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．
22．（6分）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2=AB?AD．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
26．（12分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
浙教版九年级下册《第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系》2014年单元检测卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
不确定
考点：
直线与圆的位置关系．5368454
分析：
先求出点C到直线AB的距离，比较与3的大小，从而得出答案．
解答：
解：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵BC=4cm，
∴CD=2cm，
∵2＜3，
∴⊙C与直线AB相交．
故选B．
点评：
本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离．
2．（2分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
考点：
扇形面积的计算．5368454
分析：
已知大圆的弦AB是小圆的切线，则OP垂直并且平分弦AB，AP=2，△OAP为等腰直角三角形，那么∠AOP=45°，代入扇形面积公式即可．
解答：
解：SOEP==π，故选C．
点评：
本题主要考查圆的切线及扇形的面积公式．
3．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．
三点确定一个圆
B．
两个等圆不可能内切
C．
平分弦的直径垂直于弦
D．
三角形外接圆的圆心是它的内心
考点：
命题与定理．5368454
分析：
分别根据确定圆的条件、两圆的位置关系、垂径定理及三角形内心的定义进行逐一分析即可．
解答：
解：A、应强调三点不在同一直线上，故错误；
B、根据内切的定义，故正确；
C、应强调这条弦不是直径，故错误；
D、三角形外接圆的圆心是它的外心，故错误．
故选B．
点评：
本题考查了圆的确定，垂径定理，外心与内心的区别，两圆内切的条件等知识点．
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．
与x轴相交，与y轴相切
B．
与x轴相离，与y轴相交
C．
与x轴相切，与y轴相交
D．
与x轴相切，与y轴相离
考点：
直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．5368454
专题：
推理填空题；数形结合．
分析：
首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
解答：
解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
点评：
本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键．
5．（2分）△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ）
A．
三条中线的交点
B．
三条高的交点
C．
三条角平分线的交点
D．
三条边的垂直平分线的交点
考点：
三角形的内切圆与内心．5368454
分析：
由题意知点O是△ABC的内心，因此OD=OE=OF，所以点O也是△DEF的外心，而外心是三角形三边中垂线的交点，由此得解．
解答：
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△DEF的外心，
∴O是△DEF三边垂直平分线的交点；
故选D．
点评：
此题主要考查了三角形的内心与外心的性质；
三角形的内心：三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；
三角形的外心：三边中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．
6．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．
3m
B．
5m
C．
7m
D．
9m
考点：
勾股定理的应用．5368454
专题：
应用题；压轴题．
分析：
为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．
解答：
解：连接OA，交半圆O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA==10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA﹣OE=4．
因此选用的绳子应该不大于4m，
故选A．
点评：
此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．
7．（2分）两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距为4．则当两圆外切时，圆心距为（ ）
A．
5
B．
11
C．
14
D．
20
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
分析：
只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．
解答：
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有
r：R=2：3；
又∵R﹣r=4，
解得R=12，r=8，
∴当它们外切时，圆心距=12+8=20．
故选D．
点评：
此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是正确的求出两个半径．
8．（2分）如图，相距2cm的两个点A，B在直线l上，它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移．当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切，则点A平移到点A1所用的时间为（ ）
A．
s
B．
s
C．
3s
D．
s或3s
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
分析：
首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案．
解答：
解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts，
根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=（2﹣2t）cm，BB1=tcm，
如图1，此时外切：2﹣2t=1+t，
∴t=；
如图2，此时内切：2﹣2t=1﹣t，
∴t=1，此时两圆心重合，舍去；
或2﹣2t=t﹣1，
解得：t=1，此时两圆心重合，舍去；
如图3，此时内切：2t﹣t+1=2，
∴t=1，此时两圆心重合，舍去；
如图4：此时外切：2t﹣t﹣1=2，
∴t=3．
∴点A平移到点A1，所用的时间为1（此时两圆重合，舍去）或3s．
故选：D．
点评：
此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解．
9．（2分）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．
甲、乙
B．
乙、丙
C．
甲、丙
D．
甲、乙、丙
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
专题：
应用题．
分析：
根据勾股定理，将面积问题转化为线段长度平方的和差问题计算．
解答：
解：（1）连接OB、OC，
则πBO2﹣πOC2=π（）2，
甲测得AB的长，可求出阴影面积；
（2）因为AC=CB=，同（1）．
乙测得AC的长，可以算出截面面积；
（3）作OK⊥AD垂足为K，连接OD、OF，
因为πOD2﹣πOF2=π（OD2﹣OF2）=π（KD2+OK2﹣KF2﹣OK2）=π（KD2﹣KF2），
丙测得AD与EF的长，可以算出截面面积．
故选D．
点评：
本题主要考查了将面积问题转化为线段长度平方的和差问题的能力．
10．（2分）如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
π
D．
考点：
扇形面积的计算；切线的性质．5368454
分析：
根据三角形面积求法，得出△OCB与△ACB同底等高面积相等，再利用切线的性质得出∠COB=60°，利用扇形面积求出即可．
解答：
解：延长CB，做AD⊥CB，交于一点D，
∵△OCB与△ACB同底等高面积相等，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积，
∵A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B
∴BO⊥AB，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积为：=π．
故选：A．
点评：
此题主要考查了切线的性质以及三角形面积求法和扇形的面积公式等知识，根据已知得出△OCB与△ACB面积相等以及∠COB=60°是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 （3，2） ．
考点：
切线的性质；反比例函数的性质．5368454
专题：
综合题．
分析：
⊙P的半径为2，⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标是2，把y=2代入函数解析式，得到x=3，因而点P的坐标是（3，2）．
解答：
解：根据题意可知，把y=2代入得：x=3，
∴点P的坐标是（3，2）．
点评：
本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．
12．（3分）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 1 ．
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
分析：
根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即可求解．
解答：
解：∵CD与⊙O相切，切点为D，
∴CD2=BC?AC，
即CD2=BC?3BC=3，
解得：BC=1．
故答案是：1．
点评：
本题主要考查了切割线定理，正确理解定理是解题的关键．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
考点：
切线的性质；扇形面积的计算．5368454
专题：
压轴题．
分析：
连接OE．先求空白部分BCE的面积，再用△BCD的面积﹣空白部分BCE的面积得阴影面积．
解答：
解：连接OE．
阴影部分的面积=S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE）=×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）=π．
点评：
本题利用了正方形和矩形的性质，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式求解．
14．（3分）⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B=90°，那么∠AO2B的度数是 45°或135° ．
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
专题：
压轴题．
分析：
根据两圆相交时两圆半径的大小进行求解．
解答：
解：∵∠AO1B=90°，
∴当⊙O1的半径＞⊙O2的半径时，∠AO2B=180°﹣45°=135°，
当⊙O1的半径＜⊙O2的半径时，∠AO2B=45°，
∴∠AO2B的度数是45°或135°．
点评：
主要考查了圆与圆的位置关系中的相交．相交时要注意两个圆心的位置，即圆的半径的大小，所以此题有两种情况．
15．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，则∠P的度数为 50° ．
考点：
切线的性质．5368454
分析：
根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解即可．
解答：
解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=65°，
所以∠P=50°．
故答案为：50°．
点评：
此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
16．（3分）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k= 28 ．
考点：
垂径定理；待定系数法求反比例函数解析式．5368454
专题：
压轴题．
分析：
先设y=再根据k的几何意义求出k值即可．
解答：
解：连接PM，作PQ⊥MN，
根据勾股定理可求出PQ=4，
根据圆中的垂径定理可知点OQ=|﹣4﹣3|=7，
所以点P的坐标为（﹣4，﹣7），
则k=28．
点评：
主要考查了圆中有关性质和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
17．（3分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是 ﹣2＜a＜2 ．
考点：
圆与圆的位置关系；坐标与图形性质．5368454
专题：
压轴题．
分析：
已知两圆圆心的坐标（0，0），（a，0），圆心距为|a﹣0|=|a|，两圆内含时，圆心距＜5﹣3．
解答：
解：根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a﹣0|=|a|，
因为，两圆内含时，圆心距＜5﹣3，
即|a|＜2，解得﹣2＜a＜2．
点评：
当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．
18．（3分）如图，⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=5，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 3 次．
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
专题：
压轴题．
分析：
本题根据两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：
解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，O1O2=5，
∴O1P=3，
∴分别过O2，P以3为半径可找到相切2次．
O1O2的延长线可找到相切1次．
故⊙O1与⊙O2共相切3次．
点评：
此题考查了两圆相切的位置关系，外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
19．（3分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 r=8cm时，r=a；当r＞8时， ．
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
解答：
解：①如图所示，0＜r≤8时，
∵OA⊥BA，OC⊥BC，∠B=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=AO，
∴r=a；
②当r＞8时，
如图：连接OC，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
则四边形ABCD是矩形，即AD=BC，CD=AB．
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即：r2=（r﹣8）2+a2，
整理得：r=a2+4．
故答案是：r=8时，r=a；当r＞8时，．
点评：
本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
20．（3分）如图①，施工工地的水平地面上有3根直径是1m的水泥管，两两相切地堆放成两层，则其最高点到地面的距离是 （1+） m．如图②，当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是 （1+） m．当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是 （n﹣） m．
考点：
相切两圆的性质．5368454
分析：
三个等圆的圆心分别为A、B、C，过A作AD⊥BC于D，交地面于E，交⊙A于F，根据相切两圆的性质得到AB=BC=AC=1m，再利用等边三角形的性质可得到AD=BC，然后由AF+AD+DE计算出最高点到地面的距离，利用图形变化规律进而得出答案．
解答：
解：如图，三个等圆的圆心分别为A、B、C，过A作AD⊥BC于D，交地面于E，交⊙A于F，
则△ABC为等边三角形，且边长为1m，
∴AD=BC=，
∴EF=1+，
所以最高点到地面的距离为（1+）m．
当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是：1++=（1+）m；
当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是：1+（n﹣1）=（n﹣）m．
故答案为：（1+），（1+），n﹣．
点评：
本题考查了相切两圆的性质：相切两圆的圆心距等于两圆半径之和．也考查了等边三角形的性质，得出图形变化规律是解题关键．
三、解答题（共50分）
21．（6分）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．
考点：
切线的判定；勾股定理．5368454
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．
解答：
解：（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DC=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2DE=6，
∴AC=4．
∴BE=3．
∴AE=；
法2：∵（8分）
∴（10分）
∴．（12分）
点评：
此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用．
22．（6分）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．
考点：
解直角三角形的应用．5368454
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα==，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因为sinα==，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=FM，再根据MN=11﹣3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．
解答：
解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，
HM=OM×sinα=3，
所以OH=4，
MB=HA=5﹣4=1，
1×5=5cm．
所以铁环钩离地面的高度为5cm；
（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴=sinα=，
∴FN=FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC﹣AB=11﹣3=8．
∵FM2=FN2+MN2，
即FM2=（FM）2+82，
解得：FM=10，
10×5=50（cm）．
∴铁环钩的长度FM为50cm．
点评：
考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2=AB?AD．
考点：
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，而利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明题目的结论；
（2）如图，连接BC．由AB是直径得到∠ACB=90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽Rt△ABC 接着利用相似三角形的性质即可解决问题．
解答：
证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°﹣2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
两边除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD﹣∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，（8分）
∴，即AC2=AB?AD．（9分）
点评：
本题考查了圆的切线性质，及相似三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．
考点：
切线的判定；垂径定理；圆周角定理．5368454
专题：
几何综合题．
分析：
（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切线．
（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；
（3）Rt△OCE中，有三角函数的定义，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的长．
解答：
（1）解：CG是⊙O的切线．理由如下：
∵CG∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：
第一种方法：连接AC，如图，（2分）
∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE过圆心O，
∴，．
∴AC=AD=CD．
∴△ACD是等边三角形．（3分）
∴∠D=60°．
∴∠FCD=30°．（4分）
在Rt△COE中，
∴OE=OB．
∴点E为OB的中点．（5分）
第二种方法：连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．
∴△BDE∽△OCE．（3分）
．
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴CE=DE．（4分）
∴BE=OE．
∴点E为OB的中点．（5分）
（3）解：∵AB=8，
∴OC=AB=4．
又∵BE=OE，
∴OE=2．（6）
∴CE=OE×cot30°=．（7分）
∵AB⊥CD，
∴CD=2CE=．（8分）
点评：
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
考点：
圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
几何综合题；动点型．
分析：
（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；
（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．
解答：
解：（1）直线AB与⊙P相切，
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵P为BC中点，
∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，
∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴，
即，
∴PD=2.4（cm），
当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，
∴直线AB与⊙P相切；
（2）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO=AB=5cm，
连接OP，
∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，
∴PO=AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切，
∴当⊙P在⊙O内部时：5﹣2t=3，
当⊙O在⊙P内部时2t﹣5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．
点评：
此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．
26．（12分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
考点：
切线的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）PN与⊙O相切于点Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
解答：
解：（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP=90°，（2分）
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ==8（cm）．（3分）
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，（4分）
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半径为6，
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ﹣PB=8﹣4t，
∵BQ=6，
∴8﹣4t=6，
∴t=0.5（s）．（6分）
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB﹣PQ=4t﹣8，
∵BQ=6，
∴4t﹣8=6，
∴t=3.5（s）．
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．（8分）
点评：
本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
不确定
2．（2分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
3．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．
三点确定一个圆
B．
两个等圆不可能内切
C．
平分弦的直径垂直于弦
D．
三角形外接圆的圆心是它的内心
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．
与x轴相交，与y轴相切
B．
与x轴相离，与y轴相交
C．
与x轴相切，与y轴相交
D．
与x轴相切，与y轴相离
5．（2分）△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ）
A．
三条中线的交点
B．
三条高的交点
C．
三条角平分线的交点
D．
三条边的垂直平分线的交点
6．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．
3m
B．
5m
C．
7m
D．
9m
7．（2分）两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距为4．则当两圆外切时，圆心距为（ ）
A．
5
B．
11
C．
14
D．
20
8．（2分）如图，相距2cm的两个点A，B在直线l上，它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移．当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切，则点A平移到点A1所用的时间为（ ）
A．
s
B．
s
C．
3s
D．
s或3s
9．（2分）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．
甲、乙
B．
乙、丙
C．
甲、丙
D．
甲、乙、丙
10．（2分）如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
π
D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 _________ ．
12．（3分）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 _________ ．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 _________ ．（结果保留π）
14．（3分）⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B=90°，那么∠AO2B的度数是 _________ ．
15．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，则∠P的度数为 _________ ．
16．（3分）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k= _________ ．
17．（3分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是 _________ ．
18．（3分）如图，⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=5，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 _________ 次．
19．（3分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 _________ ．
20．（3分）如图①，施工工地的水平地面上有3根直径是1m的水泥管，两两相切地堆放成两层，则其最高点到地面的距离是 _________ m．如图②，当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是 _________ m．当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是 _________ m．
三、解答题（共50分）
21．（6分）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．
22．（6分）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2=AB?AD．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
26．（12分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
浙教版九年级下册《第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系》2014年单元检测卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
不确定
考点：
直线与圆的位置关系．5368454
分析：
先求出点C到直线AB的距离，比较与3的大小，从而得出答案．
解答：
解：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵BC=4cm，
∴CD=2cm，
∵2＜3，
∴⊙C与直线AB相交．
故选B．
点评：
本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离．
2．（2分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
考点：
扇形面积的计算．5368454
分析：
已知大圆的弦AB是小圆的切线，则OP垂直并且平分弦AB，AP=2，△OAP为等腰直角三角形，那么∠AOP=45°，代入扇形面积公式即可．
解答：
解：SOEP==π，故选C．
点评：
本题主要考查圆的切线及扇形的面积公式．
3．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．
三点确定一个圆
B．
两个等圆不可能内切
C．
平分弦的直径垂直于弦
D．
三角形外接圆的圆心是它的内心
考点：
命题与定理．5368454
分析：
分别根据确定圆的条件、两圆的位置关系、垂径定理及三角形内心的定义进行逐一分析即可．
解答：
解：A、应强调三点不在同一直线上，故错误；
B、根据内切的定义，故正确；
C、应强调这条弦不是直径，故错误；
D、三角形外接圆的圆心是它的外心，故错误．
故选B．
点评：
本题考查了圆的确定，垂径定理，外心与内心的区别，两圆内切的条件等知识点．
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．
与x轴相交，与y轴相切
B．
与x轴相离，与y轴相交
C．
与x轴相切，与y轴相交
D．
与x轴相切，与y轴相离
考点：
直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．5368454
专题：
推理填空题；数形结合．
分析：
首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
解答：
解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
点评：
本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键．
5．（2分）△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ）
A．
三条中线的交点
B．
三条高的交点
C．
三条角平分线的交点
D．
三条边的垂直平分线的交点
考点：
三角形的内切圆与内心．5368454
分析：
由题意知点O是△ABC的内心，因此OD=OE=OF，所以点O也是△DEF的外心，而外心是三角形三边中垂线的交点，由此得解．
解答：
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△DEF的外心，
∴O是△DEF三边垂直平分线的交点；
故选D．
点评：
此题主要考查了三角形的内心与外心的性质；
三角形的内心：三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；
三角形的外心：三边中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．
6．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．
3m
B．
5m
C．
7m
D．
9m
考点：
勾股定理的应用．5368454
专题：
应用题；压轴题．
分析：
为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．
解答：
解：连接OA，交半圆O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA==10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA﹣OE=4．
因此选用的绳子应该不大于4m，
故选A．
点评：
此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．
7．（2分）两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距为4．则当两圆外切时，圆心距为（ ）
A．
5
B．
11
C．
14
D．
20
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
分析：
只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．
解答：
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有
r：R=2：3；
又∵R﹣r=4，
解得R=12，r=8，
∴当它们外切时，圆心距=12+8=20．
故选D．
点评：
此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是正确的求出两个半径．
8．（2分）如图，相距2cm的两个点A，B在直线l上，它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移．当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切，则点A平移到点A1所用的时间为（ ）
A．
s
B．
s
C．
3s
D．
s或3s
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
分析：
首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案．
解答：
解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts，
根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=（2﹣2t）cm，BB1=tcm，
如图1，此时外切：2﹣2t=1+t，
∴t=；
如图2，此时内切：2﹣2t=1﹣t，
∴t=1，此时两圆心重合，舍去；
或2﹣2t=t﹣1，
解得：t=1，此时两圆心重合，舍去；
如图3，此时内切：2t﹣t+1=2，
∴t=1，此时两圆心重合，舍去；
如图4：此时外切：2t﹣t﹣1=2，
∴t=3．
∴点A平移到点A1，所用的时间为1（此时两圆重合，舍去）或3s．
故选：D．
点评：
此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解．
9．（2分）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．
甲、乙
B．
乙、丙
C．
甲、丙
D．
甲、乙、丙
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
专题：
应用题．
分析：
根据勾股定理，将面积问题转化为线段长度平方的和差问题计算．
解答：
解：（1）连接OB、OC，
则πBO2﹣πOC2=π（）2，
甲测得AB的长，可求出阴影面积；
（2）因为AC=CB=，同（1）．
乙测得AC的长，可以算出截面面积；
（3）作OK⊥AD垂足为K，连接OD、OF，
因为πOD2﹣πOF2=π（OD2﹣OF2）=π（KD2+OK2﹣KF2﹣OK2）=π（KD2﹣KF2），
丙测得AD与EF的长，可以算出截面面积．
故选D．
点评：
本题主要考查了将面积问题转化为线段长度平方的和差问题的能力．
10．（2分）如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
π
D．
考点：
扇形面积的计算；切线的性质．5368454
分析：
根据三角形面积求法，得出△OCB与△ACB同底等高面积相等，再利用切线的性质得出∠COB=60°，利用扇形面积求出即可．
解答：
解：延长CB，做AD⊥CB，交于一点D，
∵△OCB与△ACB同底等高面积相等，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积，
∵A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B
∴BO⊥AB，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积为：=π．
故选：A．
点评：
此题主要考查了切线的性质以及三角形面积求法和扇形的面积公式等知识，根据已知得出△OCB与△ACB面积相等以及∠COB=60°是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 （3，2） ．
考点：
切线的性质；反比例函数的性质．5368454
专题：
综合题．
分析：
⊙P的半径为2，⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标是2，把y=2代入函数解析式，得到x=3，因而点P的坐标是（3，2）．
解答：
解：根据题意可知，把y=2代入得：x=3，
∴点P的坐标是（3，2）．
点评：
本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．
12．（3分）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 1 ．
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
分析：
根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即可求解．
解答：
解：∵CD与⊙O相切，切点为D，
∴CD2=BC?AC，
即CD2=BC?3BC=3，
解得：BC=1．
故答案是：1．
点评：
本题主要考查了切割线定理，正确理解定理是解题的关键．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
考点：
切线的性质；扇形面积的计算．5368454
专题：
压轴题．
分析：
连接OE．先求空白部分BCE的面积，再用△BCD的面积﹣空白部分BCE的面积得阴影面积．
解答：
解：连接OE．
阴影部分的面积=S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE）=×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）=π．
点评：
本题利用了正方形和矩形的性质，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式求解．
14．（3分）⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B=90°，那么∠AO2B的度数是 45°或135° ．
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
专题：
压轴题．
分析：
根据两圆相交时两圆半径的大小进行求解．
解答：
解：∵∠AO1B=90°，
∴当⊙O1的半径＞⊙O2的半径时，∠AO2B=180°﹣45°=135°，
当⊙O1的半径＜⊙O2的半径时，∠AO2B=45°，
∴∠AO2B的度数是45°或135°．
点评：
主要考查了圆与圆的位置关系中的相交．相交时要注意两个圆心的位置，即圆的半径的大小，所以此题有两种情况．
15．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，则∠P的度数为 50° ．
考点：
切线的性质．5368454
分析：
根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解即可．
解答：
解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=65°，
所以∠P=50°．
故答案为：50°．
点评：
此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
16．（3分）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k= 28 ．
考点：
垂径定理；待定系数法求反比例函数解析式．5368454
专题：
压轴题．
分析：
先设y=再根据k的几何意义求出k值即可．
解答：
解：连接PM，作PQ⊥MN，
根据勾股定理可求出PQ=4，
根据圆中的垂径定理可知点OQ=|﹣4﹣3|=7，
所以点P的坐标为（﹣4，﹣7），
则k=28．
点评：
主要考查了圆中有关性质和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
17．（3分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是 ﹣2＜a＜2 ．
考点：
圆与圆的位置关系；坐标与图形性质．5368454
专题：
压轴题．
分析：
已知两圆圆心的坐标（0，0），（a，0），圆心距为|a﹣0|=|a|，两圆内含时，圆心距＜5﹣3．
解答：
解：根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a﹣0|=|a|，
因为，两圆内含时，圆心距＜5﹣3，
即|a|＜2，解得﹣2＜a＜2．
点评：
当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．
18．（3分）如图，⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=5，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 3 次．
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
专题：
压轴题．
分析：
本题根据两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：
解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，O1O2=5，
∴O1P=3，
∴分别过O2，P以3为半径可找到相切2次．
O1O2的延长线可找到相切1次．
故⊙O1与⊙O2共相切3次．
点评：
此题考查了两圆相切的位置关系，外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
19．（3分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 r=8cm时，r=a；当r＞8时， ．
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
解答：
解：①如图所示，0＜r≤8时，
∵OA⊥BA，OC⊥BC，∠B=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=AO，
∴r=a；
②当r＞8时，
如图：连接OC，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
则四边形ABCD是矩形，即AD=BC，CD=AB．
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即：r2=（r﹣8）2+a2，
整理得：r=a2+4．
故答案是：r=8时，r=a；当r＞8时，．
点评：
本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
20．（3分）如图①，施工工地的水平地面上有3根直径是1m的水泥管，两两相切地堆放成两层，则其最高点到地面的距离是 （1+） m．如图②，当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是 （1+） m．当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是 （n﹣） m．
考点：
相切两圆的性质．5368454
分析：
三个等圆的圆心分别为A、B、C，过A作AD⊥BC于D，交地面于E，交⊙A于F，根据相切两圆的性质得到AB=BC=AC=1m，再利用等边三角形的性质可得到AD=BC，然后由AF+AD+DE计算出最高点到地面的距离，利用图形变化规律进而得出答案．
解答：
解：如图，三个等圆的圆心分别为A、B、C，过A作AD⊥BC于D，交地面于E，交⊙A于F，
则△ABC为等边三角形，且边长为1m，
∴AD=BC=，
∴EF=1+，
所以最高点到地面的距离为（1+）m．
当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是：1++=（1+）m；
当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是：1+（n﹣1）=（n﹣）m．
故答案为：（1+），（1+），n﹣．
点评：
本题考查了相切两圆的性质：相切两圆的圆心距等于两圆半径之和．也考查了等边三角形的性质，得出图形变化规律是解题关键．
三、解答题（共50分）
21．（6分）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．
考点：
切线的判定；勾股定理．5368454
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．
解答：
解：（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DC=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2DE=6，
∴AC=4．
∴BE=3．
∴AE=；
法2：∵（8分）
∴（10分）
∴．（12分）
点评：
此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用．
22．（6分）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．
考点：
解直角三角形的应用．5368454
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα==，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因为sinα==，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=FM，再根据MN=11﹣3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．
解答：
解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，
HM=OM×sinα=3，
所以OH=4，
MB=HA=5﹣4=1，
1×5=5cm．
所以铁环钩离地面的高度为5cm；
（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴=sinα=，
∴FN=FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC﹣AB=11﹣3=8．
∵FM2=FN2+MN2，
即FM2=（FM）2+82，
解得：FM=10，
10×5=50（cm）．
∴铁环钩的长度FM为50cm．
点评：
考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2=AB?AD．
考点：
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，而利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明题目的结论；
（2）如图，连接BC．由AB是直径得到∠ACB=90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽Rt△ABC 接着利用相似三角形的性质即可解决问题．
解答：
证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°﹣2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
两边除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD﹣∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，（8分）
∴，即AC2=AB?AD．（9分）
点评：
本题考查了圆的切线性质，及相似三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．
考点：
切线的判定；垂径定理；圆周角定理．5368454
专题：
几何综合题．
分析：
（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切线．
（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；
（3）Rt△OCE中，有三角函数的定义，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的长．
解答：
（1）解：CG是⊙O的切线．理由如下：
∵CG∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：
第一种方法：连接AC，如图，（2分）
∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE过圆心O，
∴，．
∴AC=AD=CD．
∴△ACD是等边三角形．（3分）
∴∠D=60°．
∴∠FCD=30°．（4分）
在Rt△COE中，
∴OE=OB．
∴点E为OB的中点．（5分）
第二种方法：连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．
∴△BDE∽△OCE．（3分）
．
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴CE=DE．（4分）
∴BE=OE．
∴点E为OB的中点．（5分）
（3）解：∵AB=8，
∴OC=AB=4．
又∵BE=OE，
∴OE=2．（6）
∴CE=OE×cot30°=．（7分）
∵AB⊥CD，
∴CD=2CE=．（8分）
点评：
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
考点：
圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
几何综合题；动点型．
分析：
（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；
（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．
解答：
解：（1）直线AB与⊙P相切，
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵P为BC中点，
∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，
∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴，
即，
∴PD=2.4（cm），
当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，
∴直线AB与⊙P相切；
（2）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO=AB=5cm，
连接OP，
∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，
∴PO=AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切，
∴当⊙P在⊙O内部时：5﹣2t=3，
当⊙O在⊙P内部时2t﹣5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．
点评：
此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．
26．（12分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
考点：
切线的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）PN与⊙O相切于点Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
解答：
解：（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP=90°，（2分）
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ==8（cm）．（3分）
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，（4分）
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半径为6，
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ﹣PB=8﹣4t，
∵BQ=6，
∴8﹣4t=6，
∴t=0.5（s）．（6分）
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB﹣PQ=4t﹣8，
∵BQ=6，
∴4t﹣8=6，
∴t=3.5（s）．
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．（8分）
点评：
本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
浙教版九年级下册《第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系》2014年单元检测卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
不确定
2．（2分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
3．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．
三点确定一个圆
B．
两个等圆不可能内切
C．
平分弦的直径垂直于弦
D．
三角形外接圆的圆心是它的内心
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．
与x轴相交，与y轴相切
B．
与x轴相离，与y轴相交
C．
与x轴相切，与y轴相交
D．
与x轴相切，与y轴相离
5．（2分）△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ）
A．
三条中线的交点
B．
三条高的交点
C．
三条角平分线的交点
D．
三条边的垂直平分线的交点
6．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．
3m
B．
5m
C．
7m
D．
9m
7．（2分）两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距为4．则当两圆外切时，圆心距为（ ）
A．
5
B．
11
C．
14
D．
20
8．（2分）如图，相距2cm的两个点A，B在直线l上，它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移．当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切，则点A平移到点A1所用的时间为（ ）
A．
s
B．
s
C．
3s
D．
s或3s
9．（2分）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．
甲、乙
B．
乙、丙
C．
甲、丙
D．
甲、乙、丙
10．（2分）如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
π
D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 _________ ．
12．（3分）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 _________ ．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 _________ ．（结果保留π）
14．（3分）⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B=90°，那么∠AO2B的度数是 _________ ．
15．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，则∠P的度数为 _________ ．
16．（3分）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k= _________ ．
17．（3分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是 _________ ．
18．（3分）如图，⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=5，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 _________ 次．
19．（3分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 _________ ．
20．（3分）如图①，施工工地的水平地面上有3根直径是1m的水泥管，两两相切地堆放成两层，则其最高点到地面的距离是 _________ m．如图②，当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是 _________ m．当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是 _________ m．
三、解答题（共50分）
21．（6分）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．
22．（6分）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2=AB?AD．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
26．（12分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
浙教版九年级下册《第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系》2014年单元检测卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
不确定
考点：
直线与圆的位置关系．5368454
分析：
先求出点C到直线AB的距离，比较与3的大小，从而得出答案．
解答：
解：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵BC=4cm，
∴CD=2cm，
∵2＜3，
∴⊙C与直线AB相交．
故选B．
点评：
本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离．
2．（2分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，则扇形OEP的面积为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
考点：
扇形面积的计算．5368454
分析：
已知大圆的弦AB是小圆的切线，则OP垂直并且平分弦AB，AP=2，△OAP为等腰直角三角形，那么∠AOP=45°，代入扇形面积公式即可．
解答：
解：SOEP==π，故选C．
点评：
本题主要考查圆的切线及扇形的面积公式．
3．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．
三点确定一个圆
B．
两个等圆不可能内切
C．
平分弦的直径垂直于弦
D．
三角形外接圆的圆心是它的内心
考点：
命题与定理．5368454
分析：
分别根据确定圆的条件、两圆的位置关系、垂径定理及三角形内心的定义进行逐一分析即可．
解答：
解：A、应强调三点不在同一直线上，故错误；
B、根据内切的定义，故正确；
C、应强调这条弦不是直径，故错误；
D、三角形外接圆的圆心是它的外心，故错误．
故选B．
点评：
本题考查了圆的确定，垂径定理，外心与内心的区别，两圆内切的条件等知识点．
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．
与x轴相交，与y轴相切
B．
与x轴相离，与y轴相交
C．
与x轴相切，与y轴相交
D．
与x轴相切，与y轴相离
考点：
直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．5368454
专题：
推理填空题；数形结合．
分析：
首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
解答：
解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
点评：
本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键．
5．（2分）△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F，则O是△DEF的（ ）
A．
三条中线的交点
B．
三条高的交点
C．
三条角平分线的交点
D．
三条边的垂直平分线的交点
考点：
三角形的内切圆与内心．5368454
分析：
由题意知点O是△ABC的内心，因此OD=OE=OF，所以点O也是△DEF的外心，而外心是三角形三边中垂线的交点，由此得解．
解答：
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△DEF的外心，
∴O是△DEF三边垂直平分线的交点；
故选D．
点评：
此题主要考查了三角形的内心与外心的性质；
三角形的内心：三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；
三角形的外心：三边中垂线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．
6．（2分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
A．
3m
B．
5m
C．
7m
D．
9m
考点：
勾股定理的应用．5368454
专题：
应用题；压轴题．
分析：
为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．
解答：
解：连接OA，交半圆O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA==10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA﹣OE=4．
因此选用的绳子应该不大于4m，
故选A．
点评：
此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．
7．（2分）两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距为4．则当两圆外切时，圆心距为（ ）
A．
5
B．
11
C．
14
D．
20
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
分析：
只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．
解答：
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有
r：R=2：3；
又∵R﹣r=4，
解得R=12，r=8，
∴当它们外切时，圆心距=12+8=20．
故选D．
点评：
此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是正确的求出两个半径．
8．（2分）如图，相距2cm的两个点A，B在直线l上，它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移．当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1与半径为BB1的⊙B相切，则点A平移到点A1所用的时间为（ ）
A．
s
B．
s
C．
3s
D．
s或3s
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
分析：
首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案．
解答：
解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts，
根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=（2﹣2t）cm，BB1=tcm，
如图1，此时外切：2﹣2t=1+t，
∴t=；
如图2，此时内切：2﹣2t=1﹣t，
∴t=1，此时两圆心重合，舍去；
或2﹣2t=t﹣1，
解得：t=1，此时两圆心重合，舍去；
如图3，此时内切：2t﹣t+1=2，
∴t=1，此时两圆心重合，舍去；
如图4：此时外切：2t﹣t﹣1=2，
∴t=3．
∴点A平移到点A1，所用的时间为1（此时两圆重合，舍去）或3s．
故选：D．
点评：
此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解．
9．（2分）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面的面积，甲、乙、丙三个同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度：甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD与EF的长．其中可以算出截面（图中阴影部分）面积的同学是（ ）
A．
甲、乙
B．
乙、丙
C．
甲、丙
D．
甲、乙、丙
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
专题：
应用题．
分析：
根据勾股定理，将面积问题转化为线段长度平方的和差问题计算．
解答：
解：（1）连接OB、OC，
则πBO2﹣πOC2=π（）2，
甲测得AB的长，可求出阴影面积；
（2）因为AC=CB=，同（1）．
乙测得AC的长，可以算出截面面积；
（3）作OK⊥AD垂足为K，连接OD、OF，
因为πOD2﹣πOF2=π（OD2﹣OF2）=π（KD2+OK2﹣KF2﹣OK2）=π（KD2﹣KF2），
丙测得AD与EF的长，可以算出截面面积．
故选D．
点评：
本题主要考查了将面积问题转化为线段长度平方的和差问题的能力．
10．（2分）如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
π
D．
考点：
扇形面积的计算；切线的性质．5368454
分析：
根据三角形面积求法，得出△OCB与△ACB同底等高面积相等，再利用切线的性质得出∠COB=60°，利用扇形面积求出即可．
解答：
解：延长CB，做AD⊥CB，交于一点D，
∵△OCB与△ACB同底等高面积相等，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积，
∵A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B
∴BO⊥AB，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵弦BC∥OA，
∴∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积为：=π．
故选：A．
点评：
此题主要考查了切线的性质以及三角形面积求法和扇形的面积公式等知识，根据已知得出△OCB与△ACB面积相等以及∠COB=60°是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为 （3，2） ．
考点：
切线的性质；反比例函数的性质．5368454
专题：
综合题．
分析：
⊙P的半径为2，⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标是2，把y=2代入函数解析式，得到x=3，因而点P的坐标是（3，2）．
解答：
解：根据题意可知，把y=2代入得：x=3，
∴点P的坐标是（3，2）．
点评：
本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．
12．（3分）如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 1 ．
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
分析：
根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即可求解．
解答：
解：∵CD与⊙O相切，切点为D，
∴CD2=BC?AC，
即CD2=BC?3BC=3，
解得：BC=1．
故答案是：1．
点评：
本题主要考查了切割线定理，正确理解定理是解题的关键．
13．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
考点：
切线的性质；扇形面积的计算．5368454
专题：
压轴题．
分析：
连接OE．先求空白部分BCE的面积，再用△BCD的面积﹣空白部分BCE的面积得阴影面积．
解答：
解：连接OE．
阴影部分的面积=S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE）=×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）=π．
点评：
本题利用了正方形和矩形的性质，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式求解．
14．（3分）⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B=90°，那么∠AO2B的度数是 45°或135° ．
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
专题：
压轴题．
分析：
根据两圆相交时两圆半径的大小进行求解．
解答：
解：∵∠AO1B=90°，
∴当⊙O1的半径＞⊙O2的半径时，∠AO2B=180°﹣45°=135°，
当⊙O1的半径＜⊙O2的半径时，∠AO2B=45°，
∴∠AO2B的度数是45°或135°．
点评：
主要考查了圆与圆的位置关系中的相交．相交时要注意两个圆心的位置，即圆的半径的大小，所以此题有两种情况．
15．（3分）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，则∠P的度数为 50° ．
考点：
切线的性质．5368454
分析：
根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解即可．
解答：
解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=65°，
所以∠P=50°．
故答案为：50°．
点评：
此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
16．（3分）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y=（x＜0）的图象过点P，则k= 28 ．
考点：
垂径定理；待定系数法求反比例函数解析式．5368454
专题：
压轴题．
分析：
先设y=再根据k的几何意义求出k值即可．
解答：
解：连接PM，作PQ⊥MN，
根据勾股定理可求出PQ=4，
根据圆中的垂径定理可知点OQ=|﹣4﹣3|=7，
所以点P的坐标为（﹣4，﹣7），
则k=28．
点评：
主要考查了圆中有关性质和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
17．（3分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值范围是 ﹣2＜a＜2 ．
考点：
圆与圆的位置关系；坐标与图形性质．5368454
专题：
压轴题．
分析：
已知两圆圆心的坐标（0，0），（a，0），圆心距为|a﹣0|=|a|，两圆内含时，圆心距＜5﹣3．
解答：
解：根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a﹣0|=|a|，
因为，两圆内含时，圆心距＜5﹣3，
即|a|＜2，解得﹣2＜a＜2．
点评：
当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．
18．（3分）如图，⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=5，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切 3 次．
考点：
圆与圆的位置关系．5368454
专题：
压轴题．
分析：
本题根据两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：
解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2，O1O2=5，
∴O1P=3，
∴分别过O2，P以3为半径可找到相切2次．
O1O2的延长线可找到相切1次．
故⊙O1与⊙O2共相切3次．
点评：
此题考查了两圆相切的位置关系，外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
19．（3分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 r=8cm时，r=a；当r＞8时， ．
考点：
切线的性质；勾股定理．5368454
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
解答：
解：①如图所示，0＜r≤8时，
∵OA⊥BA，OC⊥BC，∠B=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=AO，
∴r=a；
②当r＞8时，
如图：连接OC，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
则四边形ABCD是矩形，即AD=BC，CD=AB．
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即：r2=（r﹣8）2+a2，
整理得：r=a2+4．
故答案是：r=8时，r=a；当r＞8时，．
点评：
本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
20．（3分）如图①，施工工地的水平地面上有3根直径是1m的水泥管，两两相切地堆放成两层，则其最高点到地面的距离是 （1+） m．如图②，当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是 （1+） m．当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是 （n﹣） m．
考点：
相切两圆的性质．5368454
分析：
三个等圆的圆心分别为A、B、C，过A作AD⊥BC于D，交地面于E，交⊙A于F，根据相切两圆的性质得到AB=BC=AC=1m，再利用等边三角形的性质可得到AD=BC，然后由AF+AD+DE计算出最高点到地面的距离，利用图形变化规律进而得出答案．
解答：
解：如图，三个等圆的圆心分别为A、B、C，过A作AD⊥BC于D，交地面于E，交⊙A于F，
则△ABC为等边三角形，且边长为1m，
∴AD=BC=，
∴EF=1+，
所以最高点到地面的距离为（1+）m．
当6根水泥管堆成三层时，其最高点到地面的距离是：1++=（1+）m；
当水泥管堆成n层时，其最高点到地面的距离是：1+（n﹣1）=（n﹣）m．
故答案为：（1+），（1+），n﹣．
点评：
本题考查了相切两圆的性质：相切两圆的圆心距等于两圆半径之和．也考查了等边三角形的性质，得出图形变化规律是解题关键．
三、解答题（共50分）
21．（6分）如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．
考点：
切线的判定；勾股定理．5368454
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现BC=2DE，根据勾股定理求得AC的长，进一步求得直角三角形斜边上的高BE，最后根据勾股定理求得AE的长．
解答：
解：（1）证明：连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DC=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2DE=6，
∴AC=4．
∴BE=3．
∴AE=；
法2：∵（8分）
∴（10分）
∴．（12分）
点评：
此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用．
22．（6分）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘
米）．
考点：
解直角三角形的应用．5368454
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα==，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；
（2）因为∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因为sinα==，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=FM，再根据MN=11﹣3=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位．
解答：
解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=5，
HM=OM×sinα=3，
所以OH=4，
MB=HA=5﹣4=1，
1×5=5cm．
所以铁环钩离地面的高度为5cm；
（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴=sinα=，
∴FN=FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC﹣AB=11﹣3=8．
∵FM2=FN2+MN2，
即FM2=（FM）2+82，
解得：FM=10，
10×5=50（cm）．
∴铁环钩的长度FM为50cm．
点评：
考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC2=AB?AD．
考点：
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，而利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明题目的结论；
（2）如图，连接BC．由AB是直径得到∠ACB=90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽Rt△ABC 接着利用相似三角形的性质即可解决问题．
解答：
证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°﹣2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
两边除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD﹣∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，（8分）
∴，即AC2=AB?AD．（9分）
点评：
本题考查了圆的切线性质，及相似三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．
考点：
切线的判定；垂径定理；圆周角定理．5368454
专题：
几何综合题．
分析：
（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切线．
（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；
（3）Rt△OCE中，有三角函数的定义，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的长．
解答：
（1）解：CG是⊙O的切线．理由如下：
∵CG∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：
第一种方法：连接AC，如图，（2分）
∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE过圆心O，
∴，．
∴AC=AD=CD．
∴△ACD是等边三角形．（3分）
∴∠D=60°．
∴∠FCD=30°．（4分）
在Rt△COE中，
∴OE=OB．
∴点E为OB的中点．（5分）
第二种方法：连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．
∴△BDE∽△OCE．（3分）
．
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴CE=DE．（4分）
∴BE=OE．
∴点E为OB的中点．（5分）
（3）解：∵AB=8，
∴OC=AB=4．
又∵BE=OE，
∴OE=2．（6）
∴CE=OE×cot30°=．（7分）
∵AB⊥CD，
∴CD=2CE=．（8分）
点评：
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
考点：
圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
几何综合题；动点型．
分析：
（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；
（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．
解答：
解：（1）直线AB与⊙P相切，
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∵P为BC中点，
∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，
∠PBD=∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴，
即，
∴PD=2.4（cm），
当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，
∴直线AB与⊙P相切；
（2）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO=AB=5cm，
连接OP，
∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，
∴PO=AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切，
∴当⊙P在⊙O内部时：5﹣2t=3，
当⊙O在⊙P内部时2t﹣5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．
点评：
此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．
26．（12分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
考点：
切线的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．5368454
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）PN与⊙O相切于点Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
解答：
解：（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP=90°，（2分）
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ==8（cm）．（3分）
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，（4分）
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半径为6，
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ﹣PB=8﹣4t，
∵BQ=6，
∴8﹣4t=6，
∴t=0.5（s）．（6分）
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB﹣PQ=4t﹣8，
∵BQ=6，
∴4t﹣8=6，
∴t=3.5（s）．
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．（8分）
点评：
本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．