(共22张PPT)
新浙教版数学八年级（下）
4.4 平行四边形的判定定理(2)
满足下列条件的四边形ABCD是不是平行四边形，若是，在括号内打“√”，若不是，则打“×”。
√
√
√
×
×
√
A
B
C
D
1.AB=CD，AB∥CD （ ）
2.AB=CD，AD=BC （ ）
3.AB=BC，AD=DC （ ）
4.AB ∥ CD，AD ∥ BC （ ）
5.AB ∥ CD，AD=BC （ ）
6.∠A+∠B=180°,AD=BC ( )
A
B
C
D
平行四边形有哪些性质？
1.边:
2.角:
3. 对角线:
平行四边形对角线互相平分.
D
A
C
B
我们学过平行四边形有哪些判定方法？
从边看:
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？
平行四边形对边平行且相等
平行四边形对角相等、邻角互补
创设情境，引入新课
小明家的书柜上有一块平行四边形的玻璃块，不小心碰碎了一部分，他拿到玻璃店去配。
同学们，你知道他用的是什么方法吗？
D
A
B
C
D
*
1．动手操作：如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD并观察：转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
自主探究，获得新知
活动
A
B
C
D
O
*
2. 符号表示：
∵OA=OC,OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
自主探究，获得新知
活动
A
B
C
D
O
判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
*
到现在你有几种判定平行四边形的方法了？
自主探究，获得新知
③一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
*
如图，四边形ABCD中，
①若AB//CD,当 时，四边形ABCD是平行四边形。
②若AD=8cm,AB=4cm,那么BC= cm, CD= cm时，四边形ABCD是平行四边形。
③若对角线AC、BD相交于点O，OA=OC=3cm,OB=5cm,当 OD= cm时，四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
初步运用，巩固理解
O
例1：已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF 求证：四边形AECF是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
O
证明:
连结AC,交BD于点O
∵AB∥CD
在 ABCD中，BO=DO，
AO=CO
∴∠ABE=∠CDF
又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD
∴△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO
∴四边形AECF是平行四边形
大显身手
例2：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形
D
O
A
B
C
E
F
证明：作对角线BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF
∴EO=FO
又 BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
3、如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点；G，H是对角线BD上的两个点，已知AE=CF，DG=BH，求证：四边形EHFG是平行四边形
D
A
B
C
O
E
G
F
H
证明：
在 ＡＢＣＤ中，
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ
∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ
∴四边形EHFG是平行四边形
如图
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
A
B
C
D
x
y
o
-1
-1
1
1
∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ
连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段a，b，两条对角线的夹角等于∠α
A
B
C
D
O
α
从边看:
平行四边形的四个判定方法
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
从对角线看:
两组对角线互相平分
AD//BC
（或AB=CD）
自我挑战
A
B
C
D
1.根据图形，添加一个条件使四边形ABCD
是平行四边形.
∵AB//CD ， .
∴四边形ABCD是平行四边形
2.∵AB=CD ， .
∴四边形ABCD是平行四边形
AD=BC（或AB//CD）
∵∠A=∠C ， .
∴四边形ABCD是平行四边形
∠B=∠D
A
B
C
D
o
2.根据右图填空
∵四边形对角线AC、BD交于点O.
，OC=OA
∴四边形ABCD是 .
OB=OD
平行四边形
已知:如图.
求证:四边形MNOP是平行四边形.
分析:这是一道综合性题目,利用勾股定理,方程和平行四边形的判定进行计算性推理可获证.
证明:
O
M
N
P
4
5
x-3
11-x
x-5
∴四边形MNPO是平行四边形.
任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么 再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗 试证明你的发现。
发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。
E
已知：如图，AD是⊿ABC的中线，
求证：2AD
证明：
如图，延长AD至E,使ED=AD.连结BE,EC.
∵BD=CD,
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。
∵AC+CE>AE,
∴AB+AC>2AD,
即2ADD
C
B
A
见中线延长一倍
平行四边形的性质定理和判定定理
条 件 结 论
性质
定理
判定
定理
1
四边形是平行四边形
两组对边平行且相等
四边形是平行四边形
对角线互相平分
2
1
2
3
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形
两组对边分别相等
对角线互相平分
一组对边平行并且相等登陆21世纪教育 助您教考全无忧
4.4 平行四边形的判定定理(2) （巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预行四边形的判定定理3：对角线 的四边形是平行四边形.
基础自测
1. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是…………………………………………………………………………………………（ ）
A. AD∥BC且AD=BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB=CD D. AD∥BC，AB=CD
2. 如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是……………………( )
A. BE＝DF B. AF⊥BD，CE⊥BD
C. ∠BAE＝∠DCF D. AF＝CE
3. 如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，连结AF、CE与对角线BD分别交于点G、H，则图中与∠HED相等的角(不包括∠HED)共有……………………………………………………( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （任意添加一个符合题意的条件即可）.
5. 如图，□ABCD和□AEFD，则四边形BCFE是________.
6. 将一张平行四边形的纸片对折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这条折痕必通过 .
7. 请用刻度尺与圆规作一个平行四边形，使得两条对角线与一条边各为3cm，5cm，3cm. （不写作法，保留痕迹）
8.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.
（1）求证：△BDE≌△CDF.
（2）请连结，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.
9. 如图，已知AC∥DE且AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形.
能力提升
10. 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为……………………( )
A. 2＜AD＜14 B. 1＜AD＜7 C. 6＜AD＜8 D. 12＜AD＜16
11. 在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转达到重合的三角形有……………………………………………………（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
12.对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C 中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 .
13. 如图，已知E，F分别为□ABCD边AD，AB上的两点，则图形中与△BEC的面积相等的三角形有 个.
14. 如图，AC是□ABCD的对角线.
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q；
②连结PQ，PQ分别与交于点.
（2）求证：AE=CF.
创新应用
15.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA＝OC；②AB＝CD；③∠BAD＝∠DCB；④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明.
参考答案
4.4 平行四边形的判定定理(2) （巩固训练）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
4.如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （任意添加一个符合题意的条件即可）.
答案：如AB=CD等
5. 如图，□ABCD和□AEFD，则四边形BCFE是________.
答案：平行四边形
6. 将一张平行四边形的纸片对折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这条折痕必通过 .
答案：对角线的交点
7. 请用刻度尺与圆规作一个平行四边形，使得两条对角线与一条边各为3cm，5cm，3cm. （不写作法，保留痕迹）
解：如图，□ABCD就是所示的平行四边形.
∴AB=BD，BC=BE.
又∵ BF=CF，BG=GE，∴BF=BG，∴四边形AGDF是平行四边形.
能力提升
10. 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为……………………( )
A. 2＜AD＜14 B. 1＜AD＜7 C. 6＜AD＜8 D. 12＜AD＜16
解析：如图，延长AD至E，使DE=AD，连结BE、CE. 由于BD=CD，故四边形ABEC是平行四边形，得BE=AC=8，AE=2AD，而AB=6，因此BE-AB=8-6答案：B
11. 在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转达到重合的三角形有……………………………………………………（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
解析：△ABD与△CDB，△ABC与△CDA，△AOB与△COD，△AOD与△COB都可以以O为旋转中心旋转得到.
答案：C
12.对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C 中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 .
解析：将四个关系式两两组合共有6组，其中能推出是平行四边形的组合有：①②；①③；③④共3组，故概率为.
答案：
13. 如图，已知E，F分别为□ABCD边AD，AB上的两点，则图形中与△BEC的面积相等的三角形有 个.
解析：显然△BEC的面积为□ABCD面积的一半，故与它面积相等的三角形有△ABD，△BCD，△CDF共3个.
答案：3
14. 如图，AC是□ABCD的对角线.
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q；
②连结PQ，PQ分别与交于点.
（2）求证：AE=CF.
解：（1）作图如右.
（2）证明：根据作图知，PQ是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，且．
∵ABCD是平行四边形，∴．
∴．∴AE=CF．
D
Q
B
E
A
C
O
P
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4.4 平行四边形的判定定理(2)（讲练互动）21cnjy
姓名 班级 21世纪教育网
【要点预行四边形的判定定理3：对角线 的四边形是平行四边形.
【课前热身】
1. 已知：四边形ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD中点，则四边形BEDF为 ______________形.
2. 如图，AC、BD是相交的两条线段，O分别为它们的中点. 当BD绕点O旋转时，连接AB、BC、CD、DA所得到的四边形ABCD始终为 形.
3. 第2题的理由是 .
【讲练互动】
【例1】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是……………………………………………………………………………………（ ）
A. AD∥BC且AD=BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB=CD D. AD∥BC，AB=CD
【绿色通道】证明一个四边形是平行四边形共有4条途径：（定义）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（判定定理1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（判定定理2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（判定定理3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【变式训练】
1. 已知在四边形ABCD中，AD∥BC，请再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形(写出三种条件). (1) ________ ；(2) _______ _；(3) __ ______.
【例2】已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，并且AE＝CF.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
【变式训练】
2. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE＝CF，BM＝DN.
求证：四边形EMFN为平行四边形.
参考答案
【课前热身】
解析：选项A是利用了平行四边形的判定定理1，选项B是利用了平行四边形的判定定理3，选项C是利用了平行四边形的判定定理2，选项D不正确，反例是等腰梯形.
答案：D
【绿色通道】证明一个四边形是平行四边形共有4条途径：（定义）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（判定定理1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（判定定理2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（判定定理3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【变式训练】
1. 已知在四边形ABCD中，AD∥BC，请再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形(写出三种条件). (1) ________ ；(2) _______ _；(3) __ ______.
答案：AD=BC AB∥CD ∠A=∠C
第2题
B
C
D
E
F
O
M
N
A
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