4·2 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的性质(一)[学生用书B28]
1．[2013·杭州]在?ABCD中，下列结论一定正确的是 ( )
图4－2－1
A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°
C．AB＝AD D．∠A≠∠C
2．[2013·黔西南]已知?ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是 ( )
A．100° B．160°
C．80° D．60°21世纪教育网
图4－2－2
3．如图4－2－2所示，在?ABCD中，AC＝3 cm，若△ABC的周长为8 cm，则?ABCD的周长为 ( )
A．5 cm B．10 cm
C．16 cm D．11 cm
4．?ABCD的四个内角度数的比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是 ( )
A．2∶3∶3∶2
B．2∶3∶2∶3
C．1∶2∶3∶4
D．2∶2∶1∶1
5．[2013·哈尔滨]如图4－2－3，在?ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为 ( )
图4－2－3
A．4 B．3
C. D．2
6．[2012·聊城]如图4－2－4所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是
( )
图4－2－4
A．DF＝BE B．AF＝CE
C．CF＝AE D．CF∥AE
7．[2012·成都]如图4－2－5所示，将?ABCD的一边BC延长至E，若∠A＝110°，则∠1＝____.21世纪教育网
图4－2－5
8．在?ABCD中，若AB∶BC＝3∶5，周长为40 cm，则AB＝____cm，BC＝____cm.
9．[2013·广安]如图4－2－6，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF.
图4－2－6
10．如图4－2－7所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求证：DF＝EC. 21世纪教育网
图4－2－7
11．如图4－2－8所示，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF∥BE，交BC于点F，求∠1的大小．
图4－2－8
12．[2013·泸州]如图4－2－9，已知?ABCD中，F是BC边的中点，连结DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.
图4－2－9
13．[2012·雅安]如图4－2－10所示，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．21世纪教育网
图4－2－10
14．如图4－2－11所示，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作?CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连结BG，DE. 21世纪教育网
图4－2－11
(1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)求证：△BCG≌△DCE.
答案
1、B
2、C
3、B
【解析】 ∵△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝8 cm，AC＝3 cm，∴AB＋BC＝5 cm，∴?ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2×5＝10(cm)．
4、B
【解析】 平行四边形的对角相等．21世纪教育网
5、B
6、C
7、70°
【解析】 ∵平行四边形ABCD中，∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.
8、7.5 ，12.5
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC.
∴∠DAE＝∠AEB.
又∵AE∥CF，
∴∠DFC＝∠DAE.∴∠DFC＝∠BEA. 21世纪教育网
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠C＝180°.
又∠ABC＝70°，21世纪教育网
∴∠C＝180°－∠ABC＝110°.
∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠ABC＝35°.
又DF∥BE，∴∠DFC＝∠EBF＝35°.
∵∠C＋∠DFC＋∠1＝180°，
∴∠1 ＝180°－∠C－∠DFC＝35°.
12、证明：∵F是BC边的中点，
∴BF＝CF. 21世纪教育网
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E.
∵在△CDF和△BEF中，
∴△CDF≌△BEF(AAS)，
∴BE＝DC.∵AB＝DC，∴AB＝BE.
13、解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°，
∴∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°.
(2)∵AP平分∠DAB且AB∥CD，21世纪教育网
∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5 cm.
同理PC＝CB＝5 cm，
即 AB＝DC＝DP＋PC＝10 cm.
在Rt△APB中，AB＝10 cm，AP＝8 cm，
∴BP＝＝6(cm)，
∴△APB的周长是6＋8＋10＝24(cm)．
14、解：(1)∠ACB＝∠GCD.
(2)证明：∵四边形CDFE是平行四边形，
∴EF∥CD，
∴∠ACB＝∠GEC，∠EGC＝∠GCD.
∵∠ACB＝∠GCD，21世纪教育网
∴∠GEC＝∠EGC，
∴EC＝GC.
∵∠GCD＝∠ACB，
∴∠GCB＝∠ECD.
∵BC＝DC，
∴△BCG≌△DCE.
第3课时 平行四边形的性质(三)[学生用书B30]
1．平行四边形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等21cnjy
2．[2013·襄阳]如图4－2－26，?ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则?ABCD的两条对角线的和是 ( )
图4－2－26
A．18 B．28
C．36 D．46
3．[2013·海南]如图4－2－27，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是 ( )
图4－2－27
A．BO＝DO B．CD＝AB
C．∠BAD＝∠BCD D．AC＝BD21cnjy
4．[2012·南宁]如图4－2－28，
图4－2－28
在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是 ( )
A．2 cm＜OA＜5 cm 21cnjy
B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm
D．3 cm＜OA＜8 cm
5．已知?ABCD的一条边长是5，则两条对角线的长可能是 ( )
A．6和16 B．6和821cnjy
C．5和5 D．8和18
6．如图4－2－29所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O，若AC＝6，则线段AO的长度等于____．
图4－2－29
7．如图4－2－30所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为____．21cnjy
图4－2－30
8．如图4－2－31所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是____．
图4－2－31
9．如图4－2－32所示，?ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O.
图4－2－32
(1)图中有哪些三角形是全等的？
(2)选出其中的一对全等三角形进行证明．21cnjy
10．如图4－2－33所示，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM＝CN.求证：BM∥DN.
图4－2－33
11．[2012·永州]如图4－2－34所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为___ _．21cnjy
图4－2－34
12．如图4－2－35所示，在?ABCD中，AD⊥BD，AD＝4，OD＝3.
图4－2－35
(1)求△COD的周长；21cnjy
(2)直接写出?ABCD的面积．
13．如图4－2－36，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，过O作一直线交AB，CD于M，N，E，F在MN上，OE＝OF.
图4－2－36
(1)写出图中全等三角形；
(2)证明：∠EAM＝∠NCF. 21cnjy
14．[2013·台州]如图4－2－37，在?ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连结DG，B′G.
图4－2－37
求证：(1)∠1＝∠2；
(2)DG＝B′G.
答案
1、C
2、C
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5.
∵△OCD的周长为23，
∴OD＋OC＝23－5＝18. 21cnjy
∵BD＝2DO，AC＝2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD＋AC＝2(DO＋OC)＝36.
3、D
4、C
【解析】 ∵平行四边形ABCD中，
AB＝3 cm，BC＝5 cm，21cnjy
∴OA＝OC＝AC，2 cm＜AC＜8 cm，
∴1 cm＜OA＜4 cm.
5、B
【解析】 设两条对角线长分别为a，b(a≥b)，则(a＋b)＞5，(a－b)＜5，∴a＋b＞10，a－b＜10，故选B. 21cnjy
在△AOB和△COD中，21cnjy
∴△AOB≌△COD.
10、证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AM＝CN，21cnjy
∴OA－AM＝OC－CN，
即OM＝ON.
在△BOM和△DON中，
∴△BOM≌△DON，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴BM∥DN.
11、20
12、解：(1)在Rt△AOD中，
OA＝＝＝5.
∵BD＝2OD＝6，21cnjy
△AOE与△COF；21cnjy
(2)证明：在平行四边形ABCD中，AO＝CO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，∴∠OAE＝∠OCF.
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠OCD＝∠OAM，
∴∠OAE－∠OAM＝∠OCF－∠OCD，
即∠EAM＝∠NCF.
14、证明：在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠2＝∠FEC. 21cnjy
由折叠的性质，得∠1＝∠FEC，
∴∠1＝∠2.
(2)由(1)知：∠1＝∠2，
∴EG＝GF.
∵AB∥CD，
∴∠DEG＝∠EGF.
由折叠的性质，得EC′∥FB′，BF＝B′F，
∴∠B′FG＝∠EGF. 21cnjy
∴∠B′FG＝∠DEG.
∵DE＝BF，
∴DE＝B′F. 21cnjy
∴△DEG≌△B′FG.
∴DG＝B′G.
第2课时 平行四边形的性质(二)[学生用书A30]
1．[2013·益阳]如图4－2－12，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是
( )
图4－2－12
A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD21*cnjy*com
C．AB＝CD D．AC⊥BD
2．如图4－2－13所示，在?ABCD中，若∠A＝45°，AD＝，则AB与CD之间的距离为 ( )
图4－2－13
A. B.
C. D．3
3．如图4－2－14所示，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，若∠B＝45°，则?ABCD的面积为 ( )
图4－2－14
A．8 B．12
C．16 D．2421*cnjy*com
4．如图4－2－15，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为 ( )
图4－2－15
A．24 B．36
C．40 D．4821*cnjy*com
5．如图4－2－16，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则点C的坐标是 ( )
图4－2－16
A．(8，2) B．(5，3) 21*cnjy*com
C．(7，3) D．(3，7)
6．[2011·黑龙江]如图4－2－17，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为 ( )
图4－2－17
A．3 B．4
C．5 D．6
7．如图4－2－18所示，在?ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，则BC边上的高为____．
图4－2－18
8．如图4－2－19，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在边AD上，且AE＝DF，连结BE，CA，CE，CF，图中与△CDF面积相等的三角形共有____个．
9．[2012·无锡]如图4－2－20所示，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.求证：∠BAE＝∠CDF. 21*cnjy*com
图4－2－20
10．两个长、宽各为a米、b米的矩形花圃，都修建了形状不同的一条宽为c米的小路，问：这两条小路的面积是否相等__ __(填“相等”或“不相等”)，若相等，面积是__ __m2. 21*cnjy*com
图4－2－21
11．[2012·广安]如图4－2－22所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB.
求证：△AEF≌△DFC.
图4－2－22
12．如图4－2－23所示，在?ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得AE＝AB，CH＝CD，连结EH，分别交AD，BC于点F，G.求证：△AEF≌△CHG.
图4－2－23
13．如图4－2－24所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条弯曲的小路EFG.现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地面积不变，请在图中画出改动后的小路，并说明理由．21*cnjy*com
图4－2－24
14．[2013·济宁]如图4－2－25，矩形ABCD的面积为20 cm2，对角线交于点O；以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；以此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为
( )
图4－2－25
A. cm2 B. cm221*cnjy*com
C. cm2 D. cm2
答案
1、D
2、B
【解析】 过点D作DE⊥AB于点E，则∠A＝∠ADE＝45°，∴DE＝AE.设DE＝AE＝x，则x2＋x2＝()2，∴x2＝3，∴x＝.故选B.
3、B
【解析】 过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠B＝45°，∴∠BAE＝45°，∴BE＝AE.
设AE＝x，则BE＝x，∵AB2＝BE2＋AE2，
∴2x2＝42，∴x＝2，
∴?ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.21*cnjy*com
4、D
∵AB∥CD，AB＝5，∴CD＝5. 21*cnjy*com
∵D点的横坐标为2，∴C点的横坐标为2＋5＝7.
∵AB∥CD，∴C点和D点的纵坐标相等都为3，
∴C点的坐标为(7，3)．
6、A
7、3
【解析】 过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，21*cnjy*com
∴BE＝AB＝×6＝3，
∴AE＝＝＝3.
8、2
图4－2－19
【解析】 由四边形ABCD是平行四边形且AE＝DF，则AD到BC的距离是一定的，
故S△ABE＝S△AEC＝S△CFD.
9、证明：在?ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，
∴∠B＝∠DCF. 21*cnjy*com
在△ABE和△DCF中，
∵AB＝DC，∠B＝∠DCF，BE＝CF，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠BAE＝∠CDF.
10、相等，bc
【解析】 左图的小路可看作矩形，根据矩形面积计算方法，得小路面积为bc m2.
右图小路可看作由几个平行四边形组成，底为c，几个平行四边形高的和为b，根据平行四边形面积的计算方法，得小路面积为bc m2，故这两条小路的面积相等．
11、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠D＝∠EAF. 21*cnjy*com
∵AF＝AB，BE＝AD，
∴AF＝CD，
AD－AF＝BE－AB，
即DF＝AE.
∵AE＝AB，CH＝CD，21*cnjy*com
∴AE＝CH，
∴△AEF≌△CHG.
13、解：连结EG，过点F作FH∥EG，交AD于点H，连结EH，则EH就是所求作的直路，作图及理由略．
14、B
【解析】设矩形ABCD的面积为S＝20 cm2，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，
∴平行四边形AOC1B的面积＝S. 21*cnjy*com
∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，
∴平行四边形AO1C2B的面积＝×S＝，…，21*cnjy*com
以此类推，平行四边形AO4C5B的面积＝＝＝(cm2)．故选B.
