4·4 平行四边形的判定定理__
第1课时 平行四边形的判定(一)
1．[2012·巴中]下面不能判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等21世纪教育网
2．在下面给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A．AB＝BC，AD＝CD
B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠B＝∠D
D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
3．[2012·益阳]如图4－4－1所示，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是 ( )
图4－4－1
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
4．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有 ( )
A．6种 B．5种
C．4种 D．3种
5．如图4－4－2所示，在?ABCD中，EF∥BC，则四边形AEFD是__ __四边形，这说明两组对边_ _ __的四边形是平行四边形．
图4－4－2
6．[2013·三明]如图4－4－3，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是__ ．
图4－4－3
7．[2013·玉溪]如图4－4－4，在?ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF＝CE. 21世纪教育网
图4－4－4
8．已知：如图4－4－5所示，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.
图4－4－5
(1)求证：△AFD≌△CEB；
(2)四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
9．[2012·泰州]如图4－4－6所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
图4－4－6
10．[2013·十堰]如图4－4－7，?ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝，则AB的长是__1__.
图4－4－7
11．[2012·南平]如图4－4－8所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E，F分别在边BC，AD上，连结AE，CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并予以证明．备选条件：AE＝CF，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，我选择添加的条件是：________．
图4－4－8
12．如图4－4－9所示，E，F是?ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF.
图4－4－9
求证：(1)△ABE≌△CDF；21世纪教育网
(2)∠1＝∠2.
13．[2012·沈阳]已知：如图4－4－10所示，在?ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连结EF，分别交AB，CD于点M，N，连结DM，BN. 21世纪教育网
图4－4－10
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
14．如图4－4－11所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD.若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．
图4－4－11
答案
1、B
【解析】 根据平行四边形的判定，A，C，D均符合平行四边形的判定条件，B则不能判定是平行四边形．对于判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．21世纪教育网
2、C
【解析】 利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定．选C.
3、A
【解析】 ∵分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD＝BC，AB＝CD，21世纪教育网
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
4、C
【解析】 共有选法①②，①③，①④，②③，②④，③④，其中能判定平行四边形的有①②，①③，②④，③④，共有4种．选C.
5、平行，分别平行
6、答案不唯一，如AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°或∠C＋∠D＝180°等。21世纪教育网
∴∠DFA＝∠BEC. 21世纪教育网
在△AFD和△CEB中，
∵DF＝BE，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE，
∴△AFD≌△CEB(SAS)．
(2)四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵△AFD≌△CEB，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
9、证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°. 21世纪教育网
∵AE＝CF，
∴△EAD≌△FCB(AAS)，
∴AD＝CB.
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
10、【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD.
∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，即D为CE中点．21世纪教育网
∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°.
∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝30°.
∵EF＝，∴CE＝2，∴AB＝1.
11、解：添加的条件是BE＝DF.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵BE＝DF，∴AF＝CE，
即AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
12、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE.
∴∠AEB＝∠CFD.
∴△ABE≌△CDF(AAS)．21世纪教育网
(2)由△ABE≌△CDF得BE＝DF.
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴∠1＝∠2.
(2)由(1)得AM＝CN，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB綊CD，
∴BM綊DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
14、解：∵∠ACB＝90°，
DE⊥BC，21世纪教育网
∴AC∥DE.
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2.
在Rt△CDE中，由勾股定理，得
CD＝＝2.
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4.
在Rt△ABC中，
由勾股定理得AB＝＝2.
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝CE＝4，21世纪教育网
∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋EB＋AB＝10＋2.
第2课时 平行四边形的判定(二)
1．下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是 ( )
A．一组对角相等
B．两条对角线互相垂直21*cnjy*com
C．两条对角线互相平分
D．一组邻角和为180°
2．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A．AD∥BC且AD＝BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB＝CD
D．AD∥BC，AB＝CD
3．在给定条件下，能画出平行四边形的是 ( )
A．以20 cm，36 cm为对角线，22 cm为一条边
B．以6 cm，10 cm为对角线，2 cm为一条边21*cnjy*com
C．以60 cm为一条对角线，20 cm，34 cm为两条邻边
D．以6 cm为一条对角线，3 cm，10 cm为两条邻边
4．[2013·泸州]如图4－4－12，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 ( )
图4－4－12
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
5．[2012·广东]已知：如图4－4－13所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图4－4－13
6．如图4－4－14所示，在?ABCD中，E是AB的中点，延长DE，CB相交于点F. 21*cnjy*com
求证：四边形AFBD是平行四边形．
图4－4－14
7．如图4－4－15所示，已知点M，N是?ABCD的对角线AC上的两点，且AN＝CM，求证：四边形BMDN是平行四边形．21*cnjy*com
图4－4－15
8．如图4－4－16所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.
求证：四边形AECF是平行四边形．
图4－4－16
9．如图4－4－17所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG. 21*cnjy*com
求证：GF∥HE.
图4－4－17
10．[2013·牡丹江]如图4－4－18，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，若DE＝BF，
图4－4－18
则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是 ( )
A．4 B．3
C．2 D．121*cnjy*com
11．[2013·镇江]如图4－4－19，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.
图4－4－19
(1)求证：△ABE≌△DCF；
(2)试证明：以A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．21*cnjy*com
第11题答图
12．已知：如图4－4－20，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，给出下列5个条件：
①AB∥DC；②OA＝OC；③AB＝DC；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC.
(1)从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有(用序号表示)：如①与⑤、________(直接在横线上再写出两种)；
(2)对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明．21*cnjy*com
图4－4－20
答案
1、C
2、D
【解析】 A可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；B可由对角线互相平分的四边形是平行四边形判定；C可由两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定．故选D.
3、A21*cnjy*com
【解析】 A，B是看对角线的一半与一边能否组成一个三角形；C，D是看两边与对角线能不能组成三角形．
4、D
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故不符合题意．21*cnjy*com
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故符合题意．
5、证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∠BAO＝∠DCO.
又∵BO＝DO，∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．21*cnjy*com
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠FBE.
∵AE＝BE，∠AED＝∠BEF，
∴△ADE≌△BFE，∴AD＝BF.
∵AD∥BF，
∴四边形AFBD是平行四边形．
7、证明：连结BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AN＝CM，
∴OA－AN＝OC－CM，21*cnjy*com
即ON＝OM，
∴四边形BMDN是平行四边形．
8、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，∴OF＝OE. 21*cnjy*com
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AF＝CE，
∴AF－OA＝CE－OC，
∴OF＝OE.
同理可得：OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GF∥HE. 21*cnjy*com
10、B
【解析】 ∵DE＝BF，∴DF＝BE.
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL)，
∴FC＝EA，故①正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC.
∵FC＝EA，∴四边形CFAE是平行四边形，
∴EO＝FO，故②正确；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，21*cnjy*com
∴∠CDF＝∠ABE，∴CD∥AB.
∵CD＝AB，
故④图中共有四对全等三角形错误．21*cnjy*com
故正确的结论有3个．
11、证明：(1)∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C.
∵在△ABE与△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
(2)如图，连结AF，DE.
由(1)知，△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴AE∥DF，
∴以A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．21*cnjy*com
12、解：(1)①与②、①与③；
(2)③与⑤不能推出四边形ABCD是平行四边形，反例：如图所示．
第12题答图
