4·5 三角形的中位线
1．[2012·朝阳]如图4－5－1，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为 ( )
图4－5－1
A．80° B．90°
C．100° D．110°
2．如图4－5－2，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是 ( )
图4－5－2
A．10 B．20 21世纪教育网
C．30 D．40
3．[2012·台州]如图4－5－3所示，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 ( )
图4－5－3
A．5 B．10
C．20 D．40
4．[2013·宁波]如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的三角形的周长可能是下列数据中的 ( )
A．6 B．821世纪教育网
C．10 D．12
5．[2013·宿迁]如图4－5－4，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是____m.
图4－5－4
6．如图4－5－5所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝8，则AB的长为____．
图4－5－5
7．[2013·烟台]如图4－5－6，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为____．21世纪教育网
图4－5－6
8．如图4－5－7所示，在△ABC中，延长AC到点F，使得CF＝AC，D，E分别为边AB，BC的中点．
求证：DC＝EF.
图4－5－7
9．如图4－5－8所示，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长．21世纪教育网
图4－5－8
10．[2013·淄博]如图4－5－9，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC＝10，则PQ的长为 ( )
图4－5－9
A. B.
C．3 D．4
11．[2012·泰安]如图4－5－10所示，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是 ( )
图4－5－10
A．4 B．3
C．2 D．121世纪教育网
12．[2013·鞍山]如图4－5－11，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ____．
图4－5－11
13．[2013·永州]如图4－5－12，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.
(1)求证：BN＝DN；21世纪教育网
(2)求△ABC的周长．
图4－5－12
14．如图4－5－13所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AC＝BD，E，F分别是AB，CD的中点，连结EF，分别交AC，BD于点G，H.
求证：OG＝OH. 21世纪教育网
图4－5－13
答案
1、A
【解析】 ∵C，D分别为EA，EB的中点，
∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，
∴∠2＝∠ECD.
∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝80°，
∴∠2＝80°. 21世纪教育网
∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，故△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝2(DF＋EF＋DE)＝20.故选C.
4、B
【解析】 设三角形的三边分别是a，b，c，令a＝4，b＝6，则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，故6＜中点三角形周长＜10.故选B.
5、40
6、16
【解析】 在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，又CE＝AE，∴DE为△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×8＝16. 21世纪教育网
7、15
【解析】 ∵?ABCD的周长为36，∴2(BC＋CD)＝36，则BC＋CD＝18.∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，∴OD＝OB＝BD＝6.又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋(BC＋CD)＝6＋9＝15，即△DOE的周长为15.
8、证明：∵D，E分别为边AB，BC的中点，
∴DE綊AC.又CF＝AC，
∴DE綊CF. 21世纪教育网
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴DC＝EF.
9、解：(1)∵DE∥BC，BD是∠ABC的平分线，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABC＝40°.
(2)∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，
∴D为AC的中点．
∵DE∥BC，∴E为AB的中点，
∴DE＝BC＝6 cm.
10、C
【解析】 ∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点(三线合一)，
∴PQ是△ADE的中位线．
∵BE＋CD＝AB＋AC＝26－BC＝26－10＝16，
∴DE＝BE＋CD－BC＝6，
∴PQ＝DE＝3. 21世纪教育网
11、D
【解析】 如图，连结DE并延长交AB于点H，
第11题答图
∵CD∥AB，∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE.
∵E是AC的中点，
∴CE＝AE，
∴△DCE≌△HAE，
∴DE＝HE，CD＝AH.
∵F是BD的中点，
∴EF是△DHB的中位线，∴EF＝BH.
∵BH＝AB－AH＝AB－CD＝2，
∴EF＝1.
12、11
【解析】 ∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5. 21世纪教育网
∵E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，
∴∠1＝∠2，∠ANB＝∠AND＝90°.
在△ABN和△ADN中，
∵.
∴△ABN≌△ADN，∴BN＝DN.
(2)∵△ABN≌△ADN，
∴AD＝AB＝10，DN＝NB，
又∵点M是BC的中点，
∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，
故△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41.
14、证明：取BC的中点M，连结EM，MF.
由题意可知EM是△ABC的中位线，
∴EM綊AC.同理MF綊BD.
∵AC＝BD，∴EM＝MF，
∴∠MEF＝∠MFE. 21世纪教育网
又AC∥EM，
∴∠OGH＝∠MEF，
又MF∥BD，∴∠OHG＝∠MFE，
∴∠OHG＝∠OGH，
∴OG＝OH.
