2.2 一元二次方程的解法（1） 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
浙教版八下数学
2.2 一元二次方程的解法 （1）
---------------因式分解法
(1)(x+2)(x+3)=___________
x2+5x+6
(2)(x-4)(x+1)=__________；
(3)(x+a)(x+b)=__________ ；
x2-3x-4
x2+(a+b)x+ab
1.计算：
(1)x2+5x+6=
(x+2)(x+3)
(2)x2-3x-4=
(x-4)(x+1)
2+3
2×3
－4+1
-4×1
a+b
a×b
特点：
（1）所给因式是二次项系数为1的二次三项式；
（2）常数项可分解成两个整数的乘积的形式，
并且这两个整数的和恰好等于一次项的系数
简记口诀：
首尾分解，交叉相乘，
求和凑中，横写因式。
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
= (x+a)(x+b)
(3)
x2+(a+b)x+ab
温故知新：
2.把一个多项式变形成几个整式的乘积的形式，这种变形叫因式分解。
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法：
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
3.若 a b = 0
（1）a=0 , 且 b≠0
（2）a≠0 , 且 b=0
（3）a=0, 且 b=0
三种情况：
综上：a和b中至少有一个为0
a=0 或 b=0
如果两个数a,b相乘的积为0
a=0, 且 b=1
a=, 且 b=0
.
例1 解下列方程：
（1）x2－3x＝0 （2）25x2=16
解：将原方程的左边分解因式得：
则x=0，或x-3=0
解得x1=0，x2=3
解：移项，得 25x2-16=0
将方程的左边分解因式得：
则5x+4=0或5x-4=0
若 A B= 0，那么 A = 0 或 B = 0，
∴x1=， x2=-
.
（5x+4) (5x-4）=0
x（x-3）=0
简记口诀：右化零 左分解 两因式 各求解
学以致用：
1.因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2.理论依据：“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
3.“至少”有下列三层含义
① ② ③
.
归纳总结：
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10；
（2）(3x－4)2 = (4x－3)2.
移项、合并同类项得：3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，
得 x(3x－17)=0,
则x=0 ，或3x－17=0，
解：移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
[(3x－4)+(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0,
即 (7x－7) (-x－1)=0.
则7x－7=0，或-x－1=0.
解得：x1=1, x2=-1.
解：去括号得：3x2-2x-15x+10=10
因式分解法口诀：右化零 左分解 两因式 各求解
解得：x1=0，x2=
.
例3 解方程：
表示一元二次方程有两个相等的实数根
则 （x-)2=0
.
归纳小结：
1.十字相乘法：
首尾分解，交叉相乘，
求和凑中，横写因式。
2.因式分解法：
右化零 左分解
两因式 各求解
3.“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
1.用提取公因式法法解下列方程：
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c).
（1） 7x2=21x
（2） (x+2)2=2x+4
（3） 4(x-3)2-x(x-3)=0
(4) (x-2)2=2(x-2)
解:7x2-21x=0
7x(x-3)=0
7x=0 或x-3=0
x1=0,x2=3
解： (x+2)2-2(x+2)=0
(x+2)(x+2-2)=0
x+2=0 或x+2-2=0
x1=-2, x2=0
解：(x-3)[4(x-3)-x]=0
x-3=0 或3x-12=0
x1=3,x2=4
解：(x-2)2-2(x-2)=0
(x-2)(x-2-2)=0
x-2=0 或x-2-2=0
x1=2,x2=4
简记口诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
夯实基础，稳扎稳打：
2.用平方差公式法解下列方程：
(3) (7x-1)2=4x2
(4) 9x2=(x-1)2
(1) x2 -25=0
(2) x2 -9=0
解：(x+5)(x-5)=0
x+5=0或x-5=0
x1=-5,x2=5
x1=-6,x2=6
解：(7x-1)2- 4x2=0
解： 9x2- （x-1）2=0
(7x-1+2x)(7x-1-2x)=0
(9x-1)(5x-1)=0
[3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0
(4x-1)(2x+1)=0
9x-1=0或5x-1=0
4x-1=0或2x+1=0
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，
口诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
解：(x+3)(x-3)=0
.
x+3=0x-3=0
.
x1=, x2=
.
x1=, x2= -
.
3.用完全平方公式法解下列方程：
（4) 27x2-18x= - 3
（1) x2+9= - 6x
（2) x(x - 4)= -4
（3) x2-2x= - 3
解：x2+6x+9=0
(x+3)2=0
x1=x2= -3
解：x2 - 4x+4=0
(x-2)2=0
x1=x2= 2
解：27x2-18x+3=0
9x2-6x+1=0
(3x-1)2=0
解：x2+2x+3=0
.
(x+)2=0
.
x1=x2= -
.
x1=x2=
.
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.
4.用十字相乘法解下列方程
1、x2－3x－10=0 2、(x+3)(x－1)=5
解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0
x－5=0或x+2=0
∴ x1=5 ,x2=-2
解：原方程可变形为
x2+2x－8=0
(x－2)(x+4)=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=2 ,x2=-4
x
x
2
-5
x
x
4
-2
1.十字相乘法分解因式:
x2+(a+b)x+ab=
(x+a)(x+b).
x2+(a+b)x+ab=0
(x+a)(x+b)=0
2.十字相乘法解一元二次方程：
x+a=0
或x+b=0
竖分、
横写.
叉乘、
x
x
a
b
温馨提醒：
⑴2x2－5x－3＝0； ⑵ 3x2＋8x－3＝0
x
3x
3
-1
x
2x
-3
1

竖分、叉乘、横写

拆两头，凑中间
连续递推，豁然开朗
5.用十字相乘法解下列方程
这样解是否正确呢？
不正确：方程的两边同时除以同一个不等于零的数，
所得的方程与原方程 同解。
解：方程的两边同时除以x,得 x=1
∴原方程的解为x=1
6： 解方程： x2=x
解：（1）当x=0时，左边=02=0，右边=0，
左边=右边，
∴x=0是原方程的解。
（2）当x≠0时，方程的两边同除以x，
得x=1
综上：原方程的解为：x1=1,x2=0.
7.一个数平方等于这个数本身,求这个数
（要求列出一元二次方程用因式分解法求解）.
解：设这个数为x,根据题意,得
x2=x.
x2-x=0,
x(x-1) =0,
∴x=0, 或 x-1 =0
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,
鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
8.用因式分解法解下列方程：
y1=0 ,
①y2=
.
（2） (3x+1)2－5=0
解：y(
.
y
.
.
y2
.
解： (3x+1)2－（）2=0
.
（3x+1+)(3x+1-)=0
.
3x+1+3x+1-=0
.
x1=
.
x2=
.